江苏省2020年高考数学压轴卷（含解析）（通用）

1、江苏省2020年高考数学压轴卷（含解析）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1本试卷共4页，包含填空题（第1题第14题）、解析题（第15题第20题）本卷满分为160分，考试时间为120分钟考试结束后，请将答题卡交回2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效4如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗 参考公式：球体的体积公式：V，其中为球体的半径一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答

2、案写在答题纸的指定位置上）1全集，集合则 2已知是虚数单位，若，则 3我国古代数学算经十书之一的九章算术一哀分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽 人4如图是一个算法的流程图，则输出y的取值范围是 5已知函数，若f（m）6，则f（m61） 6已知f（x）sin（x1），若p1，3，5，7，则f（p）0的概率为 7已知函数f（x）2sin（x+）（0，|）的部分图象如图所示，则f（）的值为 8已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P（3，4）为C上一点，则PAB的外接圆的标准方程为 9已知f（x

3、）是R上的偶函数，且当x0时，f（x）|x23x|，则不等式f（x2）2的解集为 10若函数f（x）a1nx，（aR）与函数g（x），在公共点处有共同的切线，则实数a的值为 11设A，B在圆x2+y24上运动，且，点P在直线3x+4y150上运动则的最小值是 12在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC，ABC的平分线交AC于点D，BD1，则a+c的最小值为 13如图，点D为ABC的边BC上一点，En（nN）为AC上一列点，且满足：，其中实数列an满足4an10，且a12，则+ 14已知函数，其中e是自然对数的底数若集合xZ|x（f（x）m）0中有且仅有4个元素，则整数m的个数

4、为 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解析应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15(本小题满分14分) 如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知点M为棱BC上异于B，C的一点（1）若M为BC中点，求证：A1C平面AB1M；（2）若平面AB1M平面BB1C1C，求证：AMBC16.（本小题满分14分）已知（1）求的值；（2）求的值17(本小题满分14分) 学校拟在一块三角形边角地上建外籍教室和留学生公寓楼，如图，已知ABC中，C，CBA，BCa在它的内接正方形DEFG中建房，其余部分绿化，假设ABC的面积为S，正方形DEFG的面积为T（1）用a，

5、表示S和T；（2）设f（），试求f（）的最大值P；18.(本小题满分16分) 已知椭圆的离心率为，短轴长为（）求C的方程；（）如图，经过椭圆左项点A且斜率为k（k0）直线l与C交于A，B两点，交y轴于点E，点P为线段AB的中点，若点E关于x轴的对称点为H，过点E作与OP（O为坐标原点）垂直的直线交直线AH于点M，且APM面积为，求k的值19(本小题满分16分) 已知函数（1）当时，求函数的极值；（2）设函数在处的切线方程为，若函数是上的单调增函数，求的值； （3）是否存在一条直线与函数的图象相切于两个不同的点？并说明理由20(本小题满分16分) 已知集合Aa1，a2，a3，an，其中aiR（1

6、in，n2），l（A）表示和ai+aj（1ijn）中所有不同值的个数（）设集合P2，4，6，8，Q2，4，8，16，分别求l（P）和l（Q）；（）若集合A2，4，8，2n，求证：；（）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？数学（附加题）注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 本试卷共2页，均为非选择题（第2123题）。本卷满分为40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将答题卡交回。2 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B铅笔正确填涂考试号。3 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字

7、笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。 置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分请在答题卡指定区域内作答解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲如图，已知为半圆的直径，点为半圆上一点，过点作半圆的切线，过点作于点. 求证：B选修42：矩阵与变换已知矩阵，且，求矩阵C选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）在极坐标系中（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原

8、点O为极点，极轴与x轴的非负半轴重合），圆C的方程为，求直线l被圆C截得的弦长D选修45：不等式选讲已知正实数，满足，求的最小值【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分） 如图，在四棱锥PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD1，BC3，CD4，PD2（1）求异面直线AP与BC所成角的余弦值（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值23（本小题满分10分）在集合1，2，3，4，中，任取（，N*）元素构成集合若的所有元素之和为偶数，则称为的偶子集，其个数记为；若的所有元素之和为奇数，则

9、称为的奇子集，其个数记为令（1）当时，求，的值；（2）求2020 江苏省高考压轴卷 数学1【答案】1，2，4，5【解析】解：AB3，则U（AB）1，2，4，5，故答案为：1，2，4，5，2【答案】1【解析】解：（1i）（a+i）（a+1）+（1a）i2，即a1故答案为：13【答案】60【解析】解：由题意可知，抽样比为故北乡应抽8100180，南乡应抽5400120，所以18012060，即北乡比南乡多抽60人，故答案为：604【答案】【解析】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是计算并输出变量的值，由于当x0时，当x0时，y3x（0，1，则输出y的取值范围是故答案为：5【答案】-4【解析】

10、解：函数，f（m）6，当m3时，f（m）3m256，无解；当m3时，f（m）log2（m+1）6，解得m63，f（m61）f（2）32254故答案为：46【答案】【解析】解：f（x）sin（x1），p1，3，5，7，f（1）sin00，f（3）sin20，f（5）sin40，f（7）sin60，f（p）0的概率为p故答案为：7【答案】1【解析】解：根据函数f（x）2sin（x+）（0，|）的部分图象，可得，2，再根据五点法作图可得，求得，函数f（x）2sin（），f（）2sin（）2sin2sin1，故答案为：18【答案】x2+（y3）210【解析】解：P（3，4）为C上的一点，所以，解得m1

11、，所以A（1，0）B（1，0），设PAB的外接圆的圆心（0，b），则1+b232+（b4）2，解得b3，则PAB的外接圆的标准方程为x2+（y3）210故答案为：x2+（y3）2109【答案】x|3x1或0x或x4【解析】解：根据题意，当x0时，f（x）|x23x|，此时若有f（x）2，即，解可得0x1或2x，即此时f（x）2的解集为x|0x1或2x，又由f（x）为偶函数，则当x0时，f（x）2的解集为x|1x0或x2，综合可得：f（x）2的解集为x|1x1或2x或x2；则不等式f（x2）2的解集x|3x1或0x或x4；故答案为：x|3x1或0x或x410【答案】【解析】解：函数f（x）aln

12、x的定义域为（0，+），f（x），g（x），设曲线f（x）alnx与曲线g（x）公共点为（x0，y0），由于在公共点处有共同的切线，解得，a0由f（x0）g（x0），可得联立，解得故答案为：11【答案】5【解析】解：取AB的中点M，连OM，则OMAB，即点M的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆，设点O到直线3x+4y150的距离为，所以2|2d1615（当且仅当OPl，M为线段OP与圆x2+y21的交点时取等）故答案为：512【答案】4【解析】解：由题意得，即aca+c，得+1，得a+c（a+c）（+），当且仅当ac时，取等号，故答案为：413【答案】【解析】解：点D为ABC的边BC上一点，又，故

13、答案为：14已知函数f（x），其中e是自然对数的底数若集合xZ|x（f（x）m）0中有且仅有4个元素，则整数m的个数为 【答案】34【解析】解：x0A，符合条件的整数根，除零外有且只有三个即可画出f（x）的图象如下图：当x0时，f（x）m；当x0时，mf（x）即y轴左侧的图象在ym下面，y轴右侧的图象在ym上面，f（3）39+189，f（4）316+2424，f（3）（3）33（3）2+44，f（4）（4）33（4）2+420，平移ya，由图可知：当24a9时，A1，2，3，符合题意；a0时，A1，1，2，符合题意；2a3时，A1，1，2，符合题意；4a20时，A1，2，3，符合题意；整数m的

14、值为23，22，21，20，19，18，17，16，15，14，13，12，11，10，9，0，2，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，共34个故答案为：3415【答案】见解析.【解析】证明：（1）连结A1B，交AB1于N，则N是A1B的中点，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，M为BC中点，MNA1C，A1C平面AB1M，MN平面AB1M，A1C平面AB1M解：（2）过B作BPB1M，垂足为P，平面AB1M平面B1BCC1，且交线为B1M，BP平面AB1M，AM平面ABCD，BB1AM，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1平面ABCD，

15、AM平面ABCD，BB1AM，又BPBB1B，AM平面BB1C1C，又BC平面BB1C1C，AMBC16【答案】（1）（2）【解析】解：（1）已知，（2），求得，或（舍去），综上，17【答案】（1）Sa2tan，（0，）；，（0，）；（2）【解析】解：（1）由题意知，ACatan，所以ABC的面积为：SACBCa2tan，其中（0，）；又DGGFBGsin，所以BG，DG，所以正方形DEFG的面积为：=，其中（0，）；（2）由题意知，其中（0，），所以；由sincossin2（0，所以，即f（），当且仅当sin21，即时“”成立；所以f（）的最大值P为18.【答案】（）；（）.【解析】解：（）

16、由题意可得，解得a2，b，c，椭圆C的方程为.（）易知椭圆左顶点A（2，0），设直线l的方程为yk（x+2），则E（0，2k），H（0，2k），由消y可得（1+2k2）x2+8k2x+8k240设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），64k44（8k24）（1+2k2）16则有x1+x2，x1x2，x0（x1+x2），y0k（x0+2），直线EM的斜率kEM2k，直线EM的方程为y2kx+2k，直线AH的方程为yk（x+2），点M（，），点M到直线l：kxy+2k0的距离，解得. 19.【答案】（1）的极大值为；极小值为；（2）；（3）见解析【解析】（1） 当时，函数的定义域为

17、.则，令得，或列表：12+0-0+极大值极小值所以函数的极大值为；极小值为（2）依题意，切线方程为，从而，记，则在上为单调增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立 变形得在上恒成立 ，因为（当且仅当时，等号成立），所以，从而，所以 （3）假设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点，不妨，则处切线的方程为：，处切线的方程为：因为，为同一直线，所以即整理得， 消去得， 令，由与，得，记，则，所以为上的单调减函数，所以从而式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点20【答案】（）l（P）5 l（Q）6；（）证明见解析；（）l（A）存在最小值，且最小值为2n3【解析】解

18、：（）根据题中的定义可知：由2+46，2+68，2+810，4+610，4+812，6+814，得l（P）5由2+46，2+810，2+1618，4+812，4+1620，8+1624，得l（Q）6（5分）（）证明：因为ai+aj（1ijn）最多有个值，所以又集合A2，4，8，2n，任取ai+aj，ak+al（1ijn，1kln），当jl时，不妨设jl，则ai+aj2aj2j+1alak+al，即ai+ajak+al当jl，ik时，ai+ajak+al因此，当且仅当ik，jl时，ai+ajak+al即所有ai+aj（1ijn）的值两两不同，所以（9分）（）l（A）存在最小值，且最小值为2n3不

19、妨设a1a2a3an，可得a1+a2a1+a3a1+ana2+anan1+an，所以ai+aj（1ijn）中至少有2n3个不同的数，即l（A）2n3事实上，设a1，a2，a3，an成等差数列，考虑ai+aj（1ijn），根据等差数列的性质，当i+jn时，ai+aja1+ai+j1；当i+jn时，ai+ajai+jn+an；因此每个和ai+aj（1ijn）等于a1+ak（2kn）中的一个，或者等于al+an（2ln1）中的一个所以对这样的A，l（A）2n3，所以l（A）的最小值为2n3 21 A选修41：几何证明选讲【答案】证明见解析.【解析】证明：因为为圆的切线，弧所对的圆周角为，所以 又因为为半圆的直径，所以又BDCD，所以 由得，所以B选修42：矩阵与变换【答案】【解析】由题意，则 因为