四边形中的动态问题(动点)

1、四边形中的动态问题图形中的点、线的运动，构成了数学中的一个新问题动态几何。它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。在解这类题时，要充分发挥空间想象的能力，往往不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。例1、RtPMN中，P90，PMPN，MN8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上。令RtPMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动，直到C点与N点重合为止。设移动x秒后，矩形ABCD与PMN重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数关

2、系式？例练、菱形OABC的边长为4cm，AOC=600，动点P从O出发，以每秒1cm的速度沿O-A-B路线运动，点P出发2秒后，动点Q从O出发，在OA上以每秒1cm的速度运动，在AB上以每秒2cm的速度沿O-A-B运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线，设P点运动的时间为x秒，这两条平行线在菱形上截出的图形的周长为ycm，问当x为多少时，周长y可能为一个定值，定值为多少？四边形动点问题(一)1.（1） 如图，ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的角平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩

3、形？证明你的结论.显示答案2.已知等腰ABC中，AB=AC，AD平分BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EFAB，分别交AC，BC于E，F点，作PMAC，交AB于M点，连接ME（1）求证：四边形AEPM为菱形；（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？显示答案3. 如图，在梯形ABCD中，ADBC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=，C=45，点P是BC边上一动点，设PB的长为x（1）当x的值为时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；（2）当x的值为时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；（3）点P在BC边上运动

4、的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由 显示答案4. 如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，BC=4AD=，B=45直角三角板含45角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F若ABE为等腰三角形，则CF的长等于显示答案5.如图，在梯形ABCD中，ADBC，B=90，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M从点A开始，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s；点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（1）当t= 5时，四边形MNCD是平行

5、四边形（2）当t= 9 时，四边形MNCD是等腰梯形6. 如图，在ABC中，D是BC的中点，BC=10,AD=7,从点A沿着AD的方向运动，速度是每秒2，连结CE,BE,过点B作BFCE,交射线AD于点F,设运动时间为t秒（0t3.5） （1） 求证：BDFCDE （2） 当t为何值时，四边形BFCE是矩形，说明理由（3） 若四边形BFCE是矩形，当AB和CA满足什么条件时，四边形BFCE是正方形。7. 如图，在梯形ABCD中，ADBC, B=90,AD=16,AB=12,BC=21,动点P沿射线BC的方向以每秒2的速度运动 ,动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1 的速度向点D运动，点P、Q

6、分别从点B、A同时出发，当点Q 运动到点D时，点P也随之停止运动，设 运动时间 t（秒） （1）若四边形PQDC是平行四边形时，求此时t的值；（2）当t为何值时，以C,D,Q,P为顶点的梯形面积等于60？（3）当PQD是以PQ为腰的等腰三角形时，直接写出所有满足要求 的t的值。8 .如图梯形ABCD中ADBC,AD=CD,DEBC于点E,且DE=1,AD=4, B=45.（1）直接写出BC的长；（2）直线AB以每秒0.5个单位的速度向右平移，交AD于点Q,则当直线AB的移动时间为多少秒，形成的四边形ABQPQ恰好为菱形？（结果精确到0.01秒）；（3）AB移动的方向、速度如同第（2）题，移动时

7、间为t秒，AB扫过梯形ABCD的面积S（用t的代数式表示，直接写出答案即可）四边形动点问题（二）1.如图，四边形ABCD为矩形，动点E在DC边上移动，但点E不与点D、C重合（1）当点E移动到什么位置时，AEDBEC？请说明你的结论；（2）当AEB为多少度时，AEDEBC？请说明你的结论 2.如图，在ABC中，E为高AD上的动点，F是点D关于点E的对称点（点F在高AD上，且不与A、D重合）过点F作BC的平行线与AB交于P，与AC交于Q，连接PE并延长交直线BC于点N，连接QE并延长交直线BC于点M，连接PM、QN（1）试判断四边形PMNQ的形状，并说明理由；（2）若要使四边形PMNQ是一个矩形，

8、则ABC还应满足什么条件？请说明理由；（3）若BC=10，AD=6，则当点E在何处时，四边形PMNQ的面积与APQ的面积相等？3.如图，四边形ABCD中，ADBC，AD=15，BC=25，AB=DC=10，动点P从点D出发，以每秒1个单位长的速度沿线段DA的方向向点A运动，动点Q从点C出发，以每秒2个单位长的速度沿射线CB的方向运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动设运动的时间为t（秒）（1）当t=2时，求APQ的面积；（2）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t；（3）当t为何值时，以A、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？ 4.在直角梯形ABCD中

9、，ADBC，A=90，AB=12，BC=21，AD=16，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向D点运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t（秒）（1）设DPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式（2)当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形（3）当t为何值时，DPQ是等腰三角形 5. 如图所示，在ABC中，点O在AC边上运动，过O作直线MNBC交BCA内角平分线于E点，外角平分线于F点试探究：当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？ ACDOBFNEM6. 如图所示，在直角坐标系

10、中，四边形OABC为直角梯形，OABC，BC=14cm，A点坐标为（16，0），C点坐标为（0，2）点P、Q分别从C、A同时出发，点P以2cm/s的速度由C向B运动，点Q以4cm/s的速度由A向O运动，当点Q停止运动时，点P也停止运动，设运动时间为ts（0t4）（1）求当t为多少时，四边形PQAB为平行四边形（2）求当t为多少时，PQ所在直线将梯形OABC分成左右两部分的面积比为1:2，求出此时直线PQ的函数关系式ACOBPxQy7. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=4 cm，A=60，BDAD. 一动点P从A出发，以每秒1 cm的速度沿ABC的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PMAD

11、.(1) 当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求APE的面积；(2) 当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿ABC的路线运动，且在AB上以每秒1 cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2 cm的速度匀速运动. 过Q作直线QN，使QNPM. 设点Q运动的时间为t秒(0t10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm2 . 求S关于t的函数关系式； (附加题) 求S的最大值。四边形动点问题（三）1.如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE我们探究下列图中线段BG、线段DE

12、的长度关系及所在直线的位置关系：（1）猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2，如图3情形请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；（2）将原题中正方形改为矩形（如图4-6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb（ab，k0），第（1）题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由；（3）在第（2）题图5中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k= 0.5，求BE2+DG2的值2. 如图，四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=3，动

13、点M、N分别从D、B同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动过点N作NPBC，交AC于点P，连接MP已知动点运动了x秒（1）请直接写出PN的长；（用含x的代数式表示）（2）若0秒x1秒，试求MPA的面积S与时间x秒的函数关系式，利用函数图象，求S的最大值（3）若0秒x3秒，MPA能否为一个等腰三角形？若能，试求出所有x的对应值；若不能，试说明理由3.在四边形ABCD中，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，点E、F、G、H分别是在四边形ABCD的四边上的动点，但E、F、G、H不与A、B、C、D重合，且EFBDGH，FGACHE（1）若对角线AC=BD

14、=a（定值），求证：四边形EFGH的周长是定值；（2）若AC=m，BD=n，m、n为定值，但mn，则四边形EFGH的周长是定值吗？请指出，并说明理由4. 如图，在RtABC中，C=90，AC=12，BC=16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动在运动过程中，PCQ关于直线PQ对称的图形是PDQ设运动时间为t（秒）（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；（2）t为何值时，四边形PQBA是梯形？5如图所示，四边形OABC是矩形，点A

15、、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E（1）记ODE的面积为S，求S与的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.CDBAEO6如图，已知点，经过A、B的直线以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线上以每秒1个单位的速度沿直线向右下方向作匀速运动设它们运动的时间为秒（1）用含的代数式表示点P的坐标；（2）过O作OCA

16、B于C，过C作CD轴于D，问：为何值时，以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时圆P与直线CD的位置关系7已知：把RtABC和RtDEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上ACB = EDF = 90，DEF = 45，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm如图（2），DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向ABC匀速移动，在DEF移动的同时，点P从ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当DEF的顶点D移动到AC边上时，DEF停止移动，点P也随之停止移动DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时

17、间为t（s）（0t4.5）解答下列问题：（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由ADBCF（E）图（1）ADBCFE图（2）PQ四边形动点问题（四）1已知：如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从A，C处同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动问：（1）P

18、，Q两点从出发开始几秒时，四边形PBCQ的面积是33cm2； （2）P，Q两点从出发开始到几秒，在AB上存在一点M，使PMQ为等边三角形？2如图，四边形ABCD是边长为8的正方形，现有两个动点P、Q分别从A、C两点同时出发，其中点P以每秒2个单位的速度沿AB方向运动，点Q以每秒1个单位的速度沿CD方向运动，当一点到达终点时，另一点停止运动过点P作PECD于E，交DB于点F，连接AF、QF，设运动时间为t秒（1）记DFQ的面积为S，求出S关于t的函数关系式和自变量t的取值范围；（2）当ADF与BDC相似时，求tanQFE的值；（3）是否存在t，使得DFQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在

19、，请说明理由3如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为1cm/s（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形吗？说明理由；（2）若BD=12cm，AC=16cm，当运动时间t为何值时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形？ 4已知正方形ABCD的边长为4，E是CD上一个动点，以CE为一条直角边作等腰直角三角形CEF，连接BF、BD、FD（1）BD与CF的位置关系是 平行（2）如图，当CE=4（即点E与点D重合）时，BDF的面积为 8如图，当CE=2（即点E为CD中点）时，BDF的面积为 8如图，当

20、CE=3时，BDF的面积为 8（3）如图，根据上述计算的结果，当E是CD上任意一点时，请提出你对BDF面积与正方形ABCD的面积之间关系的猜想，并证明你的猜想5如图，在直角梯形ABCD中，D=BCD=90，B=60，AB=6，AD=9，点E是CD上的一个动点(E不与D重合)，过点E作EFAC，交AD于点F(当E运动到C时，EF与AC重合)把DEF沿EF对折，点D的对应点是点G，设DE=x，GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y。(1) 求CD的长及1的度数；(2) 若点G恰好在BC上，求此时x的值；(3) 求y与x之间的函数关系式。并求x为何值时，y的值最大?最大值是多少?6如图，已知一次函数

21、与正比例函数的图象交于点A，且与轴交于点B.（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC轴于点C，过点B作直线l轴动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿OCA的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由四边形动点问题（五）1、四边形ABCD中，DAB=60，AB=5，BC=3，点P从起点D出发，沿DC

22、、CB向终点B匀速运动，设点P所走过的路程为x，点P所经过的线段与线段AD、AP所围成图形面积为y，y随x的变化而变化，在下列图像中，能正确所映y与x的函数关系式的是（ ）ADPCB2、已知，如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与原点重合，对角线BD所在直线的函数关系式为y=3/4x，AD=8，矩形BCD沿DB方向以每秒1个单位长度运动，同时点P从点A出发做匀速运动，沿矩形ABCD的边经过点B到达点C，用了14秒。（1） 球矩形ABCD的周长.（2） 如图2，图形运动到第5秒时，求点P的坐标（3） 设矩形运动的时间为t，当0t6时，点P所经过的路线时一条线段，请求出线段所在直线的函数关

23、系式.ODCBAPCOB(P)(D)A3、已知，如图，在等腰三角形ABCD中，ABDC，AB=8cm，CD=2cm，AD=6cm。点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向终点A运动（P、Q两点中，有一个点运动到终点时，所有运动即终止）.设P、Q同时出发并运动了t秒，当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值。ABCDQP 4.如图，在平面直角坐标系中，O时原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18,0）、B（18,6）、C（8,6），四边形OABC时梯形，点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位长度，点Q沿OC。CB向终点运动，当着两点中有一

24、点到达自己的终点时，另一点也停止运动。设从出发起运动了运动了t秒，如果点Q的速度为每秒2个单位长度，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围 .OQCBAP5.已知，如图，在矩形ABCD中，AB=1/3AD=3cm，点Q从A点出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D运动，点P从点C出发，以1cm/s的速度沿CB向终点运动，当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动，两点同时出发，运动了t秒。（1）当0t9，判断四边形BQDP的形状，并说明理由（2）求四边形BQDP的面积S与运动时间t的函数关系式（3）求当t为何值时，四边形BQDP为菱形。ABCDQP6.如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B位止，点Q以2cm/s速度向D移动（1）P、Q两点，从出发开始到几秒时，四边形PBCQ面积是33cm？（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm？BPDQCA7、如图，在矩形ABCD中,AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/s的速度移动。如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0t6），那么：（1） 当t为何值时，A