小学数学精讲教案4_3_2 三角形等高模型与鸟头模型（二） 教师版

1、4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型例题精讲板块一 三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化比如当高变为原来的3倍，底变为原来的，则三角形面积与原来的一样这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化同时也告诉我们：一个三角形在面积

2、不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图 夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图；反之，如果，则可知直线平行于等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比板块二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角(相等

3、角或互补角)两夹边的乘积之比如图在中，分别是上的点如图 (或在的延长线上，在上)，则 图 图【例 1】 如图在中，分别是上的点，且，平方厘米，求的面积 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 连接，所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【答案】70【巩固】如图，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面积等于1，那么三角形的面积是多少？ 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 连接 又，【答案】15【巩固】如

4、图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 连接，又，【答案】5【例 2】 如图在中，在的延长线上，在上，且，平方厘米，求的面积 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 连接， ，所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【答案】50【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米

5、平行四边形的面积是多少平方厘米？【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 连接FB三角形AFB面积是三角形CFB面积的2倍，而三角形AFB面积是三角形AEF面积的2倍，所以三角形ABC面积是三角形AEF面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的倍因此，平行四边形的面积为(平方厘米)【答案】48【例 4】 已知的面积为平方厘米，求的面积【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 ，设份，则份，份，份，份，恰好是平方厘米，所以平方厘米【答案】24【例 5】 如图16-4，已知AE=AC，CD=BC，BF

6、=AB，那么等于多少? 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【关键词】迎春杯，决赛，第一题，9题【解析】 如下图，连接AD，BE，CF. 有ABE，ABC的高相等，面积比为底的比，则有=，所以=同理有=,即=.类似的还可以得到=，= 所以有=-(+)=(1-)=即为【答案】【例 6】 如图，三角形的面积为3平方厘米，其中，三角形的面积是多少？【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 由于，所以可以用共角定理，设份，份，则份， 份，由共角定理，设份，恰好是平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，三角形的面积是平方厘米【答案】12.5【例 7】 如图所示，正

7、方形边长为6厘米，三角形的面积为_平方厘米【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【关键词】走美杯，五年级，初赛【解析】 由题意知、，可得根据”共角定理”可得，；而；所以；同理得，;，故(平方厘米)【答案】10【例 8】 如图，已知三角形面积为，延长至，使；延长至，使；延长至，使，求三角形的面积 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 (法)本题是性质的反复使用连接、，同理可得其它，最后三角形的面积(法)用共角定理在和中，与互补，又，所以同理可得，所以【答案】18【例 9】 如图，把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH如果ABCD的面积是5

8、平方厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米?【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答【解析】 方法一：如下图，连接BD，ED，BG， 有EAD、ADB同高，所以面积比为底的比，有同理类似的，还可得，有=30平方厘米连接AC，AF，HC，还可得，有=30平方厘米.有四边形EFGH的面积为EAH,FCG,EFB,DHG,ABCD的面积和，即为30+30+5=65(平方厘米.)方法二：连接BD，有EAH 、ABD中EAD+BAD=180又夹成两角的边EA、AH，AB、AD的乘积比，=23=6，所以=6类似的，还可得=6，有+=6（+)=6=30平方厘米连接AC，还可得=6，=6，有+=6（

9、+）=6=30平方厘米有四边形EFGH的面积为EAH，FCG，EFB，DHG，ABCD的面积和，即为30+30+5=65平方厘米【答案】65【例 10】 如图，平行四边形，平行四边形的面积是， 求平行四边形与四边形的面积比 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答【解析】 连接、根据共角定理 在和中，与互补，又，所以同理可得，所以所以【答案】【例 11】 如图，四边形的面积是平方米，求四边形的面积 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答【解析】 连接由共角定理得，即同理，即所以连接，同理可以得到所以平方米【答案】13.2【例 12】 如图，将四边形的四条边、分别延长两

10、倍至点、，若四边形的面积为5，则四边形的面积是 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答【解析】 连接、由于，于是，同理于是再由于，于是，同理于是那么【答案】60【例 13】 如图，在中，延长至，使，延长至，使，是的中点，若的面积是，则的面积是多少？【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 在和中，与互补，又，所以同理可得，所以【答案】3.5【例 14】 如图，求【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的

11、两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的种情况最后求得的面积为【答案】【例 15】 如图所示，正方形边长为厘米，是的中点，是的中点，是的中点，三角形的面积是多少平方厘米？ 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答【解析】 连接、因为，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到，所以平方厘米【答案】12【例 16】 四个面积为的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星

12、 【题型】解答【解析】 如图，将原图扩展成一个大正三角形，则与都是正三角形假设正六边形的边长为为，则与的边长都是，所以大正三角形的边长为，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为，三角形的面积为由于，所以与三角形的面积之比为同理可知、与三角形的面积之比都为，所以的面积占三角形面积的，所以的面积的面积为【答案】【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形的面积是 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答【解析】 从图中可以看出，虚线和虚线外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线和虚线外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的，所以虚线外图形的面积等于，所以五边形的面积是【答案】【例 17】 仅用下图这把刻度