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文档简介

1、2 二元函数的极限,与一元函数的极限相类似， 二元函数的极限,同样是二元函数微积分的基础. 但因自变量个数,的增多, 导致二元函数的极限有重极限与累次极,限两种形式, 而累次极限是一元函数情形下所不,会出现的.,一、二元函数的极限,二、累次极限,返回,2,一、二元函数的极限,(也称为二重极限),3,常写作,说明：,2. 定义1中 的方式是任意的；,1.函数在P0点可以没有定义；,4,若P以某一种特殊方式趋于P0时, 即使 f(P)的极限为A，则不能断定二重极限存在.,若P以两种不同方式趋于P0时, f(P)的极限不同, 则可肯定二重极限不存在.,2. 定义中 的方式是任意的；,确定极限不存在的

2、方法：,5,3. 极限定义可推广到三元以上函数中去, 且多元函数极限的运算法则等都与一元函数相同.,6,例1 依定义验证,证 因为,不妨先限制在点(2, 1)的方邻域,内来讨论, 于是有,7,当,时, 就有,所以,所以,8,例2 设,证明,证 (证法一),9,故,注意 不要把上面的估计式错写成：,10,因此，,对任何,都有,11,都存在且相等.,定理 3.8（归结原则）,存在,复 习,由归结原则，得：,不存在.,12,13,14,存在极限( 注: 本题结论很重要, 以后常会用到. ),解 当动点 (x, y) 沿着直线 而趋于定点 (0, 0)时，,m 值不同极限不同 !,15,解,16,17

3、,( 非正常极限 ) 的定义,的一个聚点.,或,类似地可定义：,18,证,只需取,这就证得结果,19,20,例(1) 求极限,解,其中,原式,21,例(2) 求,解,原式,22,二、累次极限,定义3,的累次极限, 记作,23,类似地可以定义先对 y 后对 x 的累次极限:,24,从而有,同理可得,即 f 的两个累次极限都存在而且相等.,例6 设,.,25,它关于原点的两个累次极限分别为,26,27,（1）两个累次极限存在且相等，但二重极限 可能不存在.,注：二重极限,不同：,与累次极限,（2）二重极限存在，但两个累次极限可能都 不存在.,28,定理16.6 若 f (x, y) 的重极限 与,证 设,的 x, 存在极限,又由累次极限存在,对任一满足不等式,29,故由 (2), (4) 两式, 得,由 (3) 可得,所以,30,注: 推论 1 给出了累次极限次序可交换的一个充分条件,推论 2 可被用来否定重极限的存在性(如例7 ).,31,32,例 设,试证明:,33,证,34,根据柯西准则, 证得,35,又有,这就证得,36,注 本例给出了二累次极限相等的又一充分条件. 与,定理16. 6 的推论1 相比较, 在这里的条件 (i) 与 (ii),复习思考题,试问累次极限,是否就是动点,存在极限,解

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