现代控制理论大作业

1、课题背景,2020/7/2,1,两轮自平衡小车的左右轮共轴、独立驱动、整个车身质心基本位于车轮轴正上方， 通过车轮前后运动实现动态平衡，并且可以实现直立行走。作为人为驾驶的代步工具，将会使得人们小范围、短距离的上班出行变得更加方便、灵活、环保。,课题背景,2020/7/2,2,双轮机器人属于动态稳定而静态不稳定的系统，本身具有多变量、非线性、强耦合等特性，它能有效反映诸如稳定性、鲁棒性、随动性等控制理论中的关键问题，对于学生掌握控制系统设计的基本方法十分有帮助，因而具有较大的研究价值。,课题背景,2020/7/2,3,系统工作原理,课题背景,2020/7/2,4,系统工作原理,前进（后仰）,前

2、进（纠正前倾）,后退（前倾）,后退（纠正后仰）,由于车身是不断变化，检测、反馈就不断随之变化，动态地跟踪车身的倾角状态，使车身一直保持平衡状态，这就是动态自平衡原理。,控制对象分析与建模,2020/7/2,5,忽略空气阻力后，可以将两轮平衡车抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示：,其中，M小车质量 m摆杆质量 b小车的摩擦系数 l 摆杆的转动轴心到质心的长度 I摆杆惯量 F施加给小车的力 x小车的位置 摆杆与垂直向下方向的夹角 摆杆与垂直向上方向的夹角,自平衡车系统简图,图2 小车及摆杆受力分析,控制对象分析与建模,2020/7/2,6,忽略空气阻力后，可以将两轮平衡车抽象成小车和匀质杆组

3、成的系统，如下图所示：,其中，M小车质量 m摆杆质量 b小车的摩擦系数 l 摆杆的转动轴心到质心的长度 I摆杆惯量 F施加给小车的力 x小车的位置 摆杆与垂直向下方向的夹角 摆杆与垂直向上方向的夹角,图1 自平衡车系统简图,图2 小车及摆杆受力分析,控制对象分析与建模,2020/7/2,1.分析小车在水平方向所受合力可得：,2.分析摆杆在水平方向所受合力可得：,(1),(2),3.把（2）式带入（1）式可得系统的第一个运动方程：,(3),4.对摆杆垂直方向受力分析可得：,(4),5.把（4）式带入（3）式可得系统的第二个运动方程：,(5),控制对象分析与建模,2020/7/2,6.被控对象的输

4、入力F用u表示，线性化后得到运动方程：,(6),7.整理后得到系统状态空间方程：,(7),控制对象分析与建模,2020/7/2,6.各物理量取以下数值，得到状态空间矩阵为：,M=1.096kg m=0.109kg b=0.1N/(ms) I=0.034kgm2 l=0.25m g=9.8m/s2,状态变量,控制变量,输出变量,状态方程,控制对象分析与建模,2020/7/2,7.能控性和能观性分析：,Matlab程序：,结论： Rank（M）=4 系统完全能控 Rank（N）=4 系统完全能观,syms I m M l b g x fai; M=1.096;m=0.109;b=0.1;I=0.0

5、34;l=0.25;g=9.8; t=I*(M+m)+M*m*l2; A=0,1,0,0; 0,-(I+m*l2)*b/t,m2*g*l2/t,0; 0,0,0,1; 0,-m*l*b/t,m*g*l*(M+m)/t,0; B=0;(I+m*l2)/t;0;m*l/t; C=1,0,0,0; 0,0,1,0; Uc=ctrb(A,B) Vo=obsv(A,C) rankc=rank(Uc) ranko=rank(Vo) namid=eig(A),计算结果： rankc = 4 ranko = 4,稳定性分析,2020/7/2,运用Matlab解出矩阵A的特征值如下： namid=eig(A)

6、namid = 0 -0.0830 -2.5782 2.5769,A的特征值中有一个零点和一个整根， 故系统的状态是不稳定的。,传递函数：,阶跃输入的响应曲线,极点配置,2020/7/2,1.状态反馈矩阵K的计算,已知该系统不稳定，要使系统稳定，必须重新配置极点， 因为状态矩阵完全能控，所以可以采用状态反馈来使系统稳定。 通过设置不同的极点，可以得到不同的状态反馈矩阵，再通过比较不同输入下的响应曲线的响应速度和稳定性，可以得出一组较好的极点以及状态反馈矩阵。,pole=-1,-2,-3,-4; K=place(A,B,pole) A1=A-B*K; pole=-3,-4,-5,-6; K=pl

7、ace(A,B,pole) A2=A-B*K; pole=-8,-9,-10,-11; K=place(A,B,pole) A3=A-B*K;,Matlab计算程序:,极点为-1,-2,-3,-4时： K1=-4.3530 -9.1688 80.5406 31.3573 极点为-3,-4,-5,-6时： K2=-65.2954 -62.1306 321.1232 124.8984 极点为-8,-9,-10,-11时： K3=-1436.5 -613.5 3121.3 986.3,计算结果:,极点配置,2020/7/2,2.阶跃输入下的响应,Matlab计算程序:,sys1 = ss(A1,B,

8、C,D); curve1=step(sys1); sys2 = ss(A2,B,C,D); curve2=step(sys2); sys3 = ss(A3,B,C,D); curve3=step(sys3);,figure; hold on; plot(curve1(:,1),color,blue); plot(curve2(:,1),color,red); plot(curve3(:,1),color,green); xlabel(时间（s）); ylabel(位移（m）); hold off,figure; hold on; plot(curve1(:,2),color,blue); pl

9、ot(curve2(:,2),color,red); plot(curve3(:,2),color,green); xlabel(时间（s）); ylabel(摆动角度（rad）); hold off,极点配置,2020/7/2,2.阶跃输入下不同状态反馈矩阵K的响应曲线,极点配置,2020/7/2,2.白噪声输入下不同状态反馈矩阵K的响应曲线。,Matlab计算程序:,figure y1= wgn(100,1,0); t= 1:100; sys = ss(A,B,C,D); lsim(sys,y1,t); sys1 = ss(A1,B,C,D); curve1=lsim(sys1,y1,t)

10、; sys2 = ss(A2,B,C,D); curve2=lsim(sys2,y1,t); sys3 = ss(A3,B,C,D); curve3=lsim(sys3,y1,t);,figure; hold on; plot(curve1(:,1),color,blue); plot(curve2(:,1),color,red); plot(curve3(:,1),color,green); xlabel(时间（s）); ylabel(位移（m）); hold off,figure; hold on; plot(curve1(:,2),color,blue); plot(curve2(:,2

11、),color,red); plot(curve3(:,2),color,green); xlabel(时间（s）); ylabel(摆动角度（rad）); hold off,极点配置,2020/7/2,2.白噪声输入下不同状态反馈矩阵K的响应曲线,状态观测器设计,2020/7/2,系统能观，故可以设计状态观测器。设置极点设为-2,-3,-4,-5,1.全维状态观测器,Matlab计算程序:,全维观测器方程:,A = 0 1 0 0; 0 -0.0843 0.1502 0; 0 0 0 1.0000; 0 -0.0563 6.6437 0; C=1,0,0,0; 0,0,1,0; op=-2,-3,-4,-5; G=(place(A,C,op);,G= 3.998, -0.003487 603.4, -2207.0 -0