厦门理工材料力学-复习

1、,材料力学复习,Mechanics of materials,杆件的强度与刚度,强度与刚度问题的求解过程：,外力,校核,尺寸设计,许用载荷, 杆件的强度与刚度, 组合变形, 压杆稳定, 应力状态与强度理论,材料力学 复习, 杆件的内力, 杆件的应力, 杆件的变形,杆件的强度与刚度, 杆件的内力,内力物体受外力作用，物体内各部分之间因相对位置的变化而引起的相互作用. 必须注意： 1 内力不是物体内各质点间相互作用力. 2 内力是由外力引起的物体内部各部分之间附加相互作用力，即 附加内力. 3 作用在截面上的内力是一连续的分布力系.,杆件的强度与刚度, 杆件的内力,平衡的概念,杆件的强度与刚度,

2、杆件的内力,通常杆件的内力有6个分量，它们是轴力FN、剪力FQy、FQz，扭矩Mx和弯矩My、Mz等，称之为内力分量，如图所示。,杆件的强度与刚度, 杆件的内力,轴向拉伸,一个内力参数：轴 力,应用截面法,P,P,P,FN,P,FN,FN = P,FN = P,符号规定：拉伸为正，压缩为负.,绘制轴力图的方法与步骤如下：,其次，根据杆件上作用的载荷以及约束力，轴力图的分段点：在有集中力作用处即为轴力图的分段点；,第三，应用截面法，用假想截面从控制面处将杆件截开，在截开的截面上，画出未知轴力，并假设为正方向；对截开的部分杆件建立平衡方程，确定轴力的大小与正负：产生拉伸变形的轴力为正，产生压缩变形

3、的轴力为负；,最后，建立FNx坐标系，将所求得的轴力值标在坐标系中，画出轴力图。,首先，确定作用在杆件上的外载荷与约束力；,杆件的强度与刚度, 杆件的内力,直杆，A端固定，在B、C两处作用有集中载荷F1和F2，其中F15 kN，F210 kN。,试画出：杆件的轴力图。,例题,杆件的强度与刚度, 杆件的内力,杆件的强度与刚度, 杆件的内力,扭转变形,一个内力参数：扭矩,应用截面法,符号规定：右手法则，外法线方向为正，反之为负 画扭矩图的步骤及方法与轴力图同。,例题,圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中，其中力偶矩的单位为N.m，尺寸单位为mm。,试 ：画出圆轴的

4、扭矩图。,杆件的强度与刚度, 杆件的内力,弯曲变形,弯曲变形有两个内力参数：,剪力FQ和弯矩Mz,杆件的强度与刚度, 杆件的内力,剪力与弯矩的正负号规则,弯矩M(My或Mz)的确定：使梁产生上凹、下凸变形的弯矩为正；反之为负。,杆件的强度与刚度, 杆件的内力,1、求支反力,2、1-1面上的内力,杆件的强度与刚度, 杆件的内力,应用截面法,剪力图与弯矩图的绘制方法与轴力图和扭矩图大体相似，但略有差异。主要步骤如下：, 根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。, 应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值(假定剪力和弯矩都为正方向)。, 建立FQ - x 和M x 坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标

5、在相应的坐标系中。, 应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。,杆件的强度与刚度, 杆件的内力,上述微分关系，也说明剪力图和弯矩图图线的几何形状与作用在梁上的载荷集度有关。,杆件的强度与刚度, 杆件的内力, 剪力图的斜率等于作用在梁上的均布载荷集度；弯矩图在某一点处的斜率等于对应截面处剪力的数值。, 如果一段梁上没有分布载荷作用，即q0，这一段梁上剪力的一阶导数等于零，弯矩的一阶导数等于常数，因此，这一段梁的剪力图为平行于x轴的水平直线；弯矩图为斜直线。, 如果一段梁上作用有均布载荷，即q常数，这一段梁上剪力的一阶导数等于常数，弯矩的一阶导数为x的线性

6、函数，因此，这一段梁的剪力图为斜直线；弯矩图为二次抛物线。, 弯矩图二次抛物线的凸凹性与载荷集度q的正负有关：当q为正(向上)时，抛物线为凹曲线，凹的方向与M坐标正方向一致，：当q为负(向下)时，抛物线为凸曲线，凸的方向与M坐标正方向一致。,杆件的强度与刚度, 杆件的内力,无荷载,集中力,F,C,集中力偶,M,C,向下倾斜的直线,下凹的二次抛物线,在FQ=0的截面,水平直线,一般斜直线,或,在C处有转折,在剪力突变的截面,在紧靠C的某一侧截面,一段梁上的外力情况,剪力图 的特征,弯矩图 的特征,Mmax所在 截面的可 能位置,向下的均布荷载,在C处有突变,在C处有突变,在C处无变化,杆件的强度

7、与刚度, 杆件的内力,简支梁受力的大小和方向如图所示。,例 题 4,试画出：其剪力图和弯矩图,并确定剪力和弯矩绝对值的最大值。,B,D,E,C,杆件的强度与刚度, 杆件的内力,杆件的强度与刚度, 杆件的内力,试作出图示简支梁的剪力图和弯矩图，写出 ， 。,课堂练习一, 应力的概念, 应力的计算方法, 强度条件,杆件的强度与刚度, 杆件的应力,一般情形下横截面上的附加分布内力，总可以分解为两种：作用线垂直于截面的；作用线位于横截面内的。,分布内力在一点的集度，称为应力(stresses)。,作用线垂直于截面的应力称为正应力(normal stress)，用希腊字母 表示；作用线位于截面内的应力称

8、为切应力或剪应力(shrearing stress)，用希腊字母表示。应力的单位记号为Pa或MPa，工程上多用MPa。,杆件的强度与刚度, 杆件的应力,杆件的强度与刚度, 杆件的应力,假设： 平面假设 横截面上各点处仅存在正应力并沿截面均匀分布。,拉应力为正， 压应力为负。,一、轴向拉压杆横截面上的应力,杆件的强度与刚度, 杆件的应力,根据强度条件可进行强度计算： 强度校核 (判断构件是否破坏) 设计截面 (构件截面多大时，才不会破坏) 求许可载荷 (构件最大承载能力),强度条件,拉（压）杆的强度条件,杆件的强度与刚度, 杆件的应力,1.由 校核杆件的强度；,2.由 设计截面的尺寸；,3.由

9、确定许可载荷。,杆件的强度与刚度, 杆件的应力,杆件的强度与刚度, 杆件的应力,1. 在图示简易吊车中,BC为钢杆,AB为木杆,木杆AB的横截面面积A1=100 ,许用应力1=7MPa,钢杆BC的横截面面积A2=6 ,许用应力2=160MPa,试求许可吊重F。,课堂练习二,二、圆轴横截面应力与强度,1)横截面上任意点：,2)横截面边缘点：,其中：,杆件的强度与刚度, 杆件的应力,强度条件,强度条件： ， t许用切应力；,根据强度条件可进行： 强度校核; 选择截面; 计算许可荷载。,杆件的强度与刚度, 杆件的应力,杆件的强度与刚度, 杆件的应力,同轴线的芯轴AB与轴套CD，在D处二者无接触，而在

10、C处焊成一体。轴的A端承受扭转力偶作用，如图所示。已知轴直径d66mm，轴套外直径D80 mm，厚度6mm；材料的许用剪应力60 MPa。求：结构所能承受的最大外力偶矩。,课堂练习三,当中性轴是横截面的对称轴时：,三、梁的弯曲正应力及强度条件,Wz：抗弯截面系数（模量）,杆件的强度与刚度, 杆件的应力,梁的正应力强度条件,强度条件：,等直梁强度条件,对于铸铁等脆性材料，抗拉和抗压能力不同，所以有许用弯曲拉应力和许用弯曲压应力两个数值。强度条件为：,杆件的强度与刚度, 杆件的应力,杆件的强度与刚度, 杆件的应力,课堂练习四,铸铁制作的悬臂梁,尺寸及受力如图所示，图中FP=20kN。梁的截面为丁字

11、形，形心坐标yC=96.4mm，截面对于z轴的惯性矩Iz =1.02108 mm4。已知材料的拉伸许用应力和压缩许用应力分别为+40MPa，100MPa 。,试校核：梁的强度是否安全？, 变形的计算方法, 刚度条件,杆件的强度与刚度, 杆件的变形,一、轴向拉（压）杆的变形 胡克定律,胡克定律,其中：E-弹性模量，单位为Pa; EA-杆的抗拉（压）刚度。,胡克定律的另一形式：,杆件的强度与刚度, 杆件的变形,其中：拉应变为正， 压应变为负。,计算目的：刚度计算、为解超静定问题作准备。,相对扭转角：,GIp抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。,刚度条件,二、圆轴扭转时的变形 刚度条件,单位长度

12、的扭转角：,rad,rad/m,杆件的强度与刚度, 杆件的变形,杆件的强度与刚度, 杆件的变形,如图所示,圆轴的长度为2l , l=500mm, 直径d=150mm ,B、C两截面处承受外力偶分别为Me1=10KNm, Me2=8KNm, 已知材料的剪切弹性模量G=80GPa,求:(1)试作轴的扭矩图；(2)轴的最大切应力,并指出其所在位置；(3)C截面相对截面的相对扭转角。,课堂练习五,除满足强度条件外，梁的位移也需加以控制，从而保证其正常工作。,在工程中，通常对梁的挠度加以控制，例如：,梁的刚度条件为：,通常情况下，强度条件满足，刚度条件一般也满足。,但是，当位移限制很严，或按强度条件所选

13、截面过于单薄时，刚度条件也起控制作用。,三、梁的刚度校核,杆件的强度与刚度, 杆件的变形,1.梁的挠曲线：梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。,2.梁位移的度量：,挠度：梁横截面形心的竖向位移w,转角：梁横截面绕中性轴转动的角度q,转角方程(小变形下)：转角与挠度的关系,梁的挠曲线,杆件的强度与刚度, 杆件的变形,在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。 当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。,叠加法求梁的位移,杆件的强度与刚度, 杆件的

14、变形, 杆件的强度与刚度, 组合变形, 压杆稳定, 应力状态与强度理论,材料力学 复习, 应力状态的概念, 平面应力状态, 强度理论,一点的应力状态,1.一点的应力状态：通过受力构件一点处各个不同截面上的应力情况。,2.研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和切应力数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分析。,一、应力状态的概念,研究应力状态的方法微元法,1.微元：围绕构件内一所截取的微小正六面体。,应力状态与强度理论, 应力状态的概念,应力状态与强度理论, 应力状态的概念,平面应力分析的解析法,1.平面应力状态图示：,二、平面应力状态,应力状态与强度理论, 应力状态的概念,2

15、.任意a角斜截面上的应力,符号规定： a角以x轴正向为起线，逆时针旋转为正，反之为负 s拉为正，压为负 t使微元产生顺时针转动趋势者为正，反之为负,应力状态与强度理论, 应力状态的概念,3.主应力及其方位：,由主平面定义，令t =0，得：,可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。,即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。,主应力大小：,由s、s、0按代数值大小排序得出：s1s2s3,判断s、s作用方位(与两个a0如何对应),应力状态与强度理论, 应力状态的概念,4.极值切应力：,实际计算中应用公式为,应力状态与强度理论, 应力状态的概念,三、四个强度理论的相当应力表达式,第4强度

16、理论 形状改变比能理论,第1强度理论 最大拉应力理论,第2强度理论 最大伸长线应变理论,第3强度理论 最大剪应力理论,按某种强度理论进行强度校核时， 要保证满足如下两个条件: 1. 所用强度理论与在这种应力状态下发生的破坏形式相对应; 2. 用以确定许用应力 的,也必须是相应于该破坏形式的极限应力。,应力状态与强度理论, 应力状态的概念, 杆件的强度与刚度, 组合变形, 压杆稳定, 应力状态与强度理论,材料力学 复习, 斜弯曲, 拉伸与弯曲组合变形, 弯曲与扭转组合变形,1.组合变形：,2.分类-两个平面弯曲的组合(斜弯曲) 拉伸(或压缩)与弯曲的组合，以及偏心拉、压 扭转与弯曲或扭转与拉伸(

17、压缩)及弯曲的组合,3.一般不考虑剪切变形；含弯曲组合变形，一般以弯曲为主，其危险截面主要依据Mmax，一般不考虑弯曲剪应力。,杆件在外力作用下，同时发生两种或两种以上基本变形的组合。,组合变形的概念,组合变形, 组合变形的概念,用强度准则进行强度计算,1.叠加原理：在线弹性、小变形下，每一组载荷引起的变形和内力彼此不受影响，可采用代数相加；,基本解法(叠加法),2.基本解法：,外力分解或简化：使每一组力只产生一个方向的一种基本变形,分别计算各基本变形下的内力及应力,将各基本变形应力进行叠加(主要对危险截面的危险点),对危险点进行应力分析(s1s2s3),组合变形, 组合变形的概念,基本研究步

18、骤,1、分解：简化荷载：用静力等效的载荷，使每一组只引起一种基本变形。 2、分别计算：按基本变形求解每组载荷作用下的应力、位移。 3、叠加：按叠加原理叠加求出组合变形的解。,组合变形, 组合变形的概念,一、斜弯曲,对于周边具有棱角的截面，如矩形和工字形截面，最大拉、压应力必然发生在截面的棱角处。可直接根据梁的变形情况，确定截面上的最大拉、压应力所在位置，无需确定中性轴位置。, 斜弯曲,组合变形,合成后总弯矩为：,对于圆截面来说，不存在斜弯曲问题，两个平面弯曲合成后，还是一个平面弯曲的问题。危险截面A截面上弯矩的合成由矢量来表示。总弯矩的矢量方向与中性轴重合，说明总弯矩是绕中性轴弯曲（荷载作用平

19、面与中性轴垂直）离中性轴最远的两点（c,d）是正应力最大和最小的点。, 斜弯曲,组合变形,二、拉伸（压缩）与弯曲组合变形 当杆上的外力除弯矩外，还受有轴向拉（压）力时，所发生的组合变形。,计算方法：,1.分别计算轴向力引起的正应力和弯矩引起的正应力；,2.按叠加原理求正应力的代数和。,注意,如果材料许用拉应力和许用压应力不同，且截面部分区域受拉，部分区域受压，应分别计算出最大拉应力和最大压应力，并分别按拉伸、压缩进行强度计算。,偏心拉伸（压缩）也归结为拉（压）与弯曲组合变形的问题, 拉伸与弯曲组合变形,组合变形,1.求内力,2.求应力,3.建立强度条件, 拉伸与弯曲组合变形,组合变形,由于轴力

20、FN和弯矩Mmax的方向有不同形式的组合，因此横截面上的最大拉伸和压缩正应力的计算式也不完全相同。,式中MFPe；e为偏心距；A为横截面面积。, 拉伸与弯曲组合变形,偏心载荷,组合变形, 拉伸与弯曲组合变形,组合变形,课堂练习六,钻床立柱为空心铸铁管，管的外径为D140 mm，内、外径之比dD0.75。铸铁的拉伸许用应力为35 MPa，压缩许用压应力为90 Mpa。钻孔时钻头和工作台面的受力如图所示，其中FP15 kN，力FP作用线与立柱轴线之间的距离(偏心距)e400 mm。,试校核：立柱的强度是否安全？,三、弯曲与扭转组合变形,P,这类问题与前面两类问题有很大的不同，即危险点处于平面应力状

21、态，必须应用应力状态与强度理论来解决, 弯曲与扭转组合变形,组合变形,A截面为危险截面,一、简化外力：,二、分析危险截面：,三、分析危险点：, 拉伸与弯曲组合变形,组合变形, 拉伸与弯曲组合变形,组合变形,p, 拉伸与弯曲组合变形,组合变形,解组合变形的一般步骤, 杆件的强度与刚度, 组合变形, 压杆稳定, 应力状态与强度理论,材料力学 复习,稳定性主要针对细长压杆,稳定性：构件在外力作用下保持其原有平衡状态的能力，是杆件承载能力的一个方面。,干扰力去除，恢复直线,a)直线稳态,干扰力去除，保持微弯,干扰力去除，继续 变形，直至倒塌,c)失稳,b)微弯平衡,受压直杆平衡的三种形式,如何判断杆件

22、的稳定与不稳定？,一端自由，一端固定 : 2.0 一端铰支，一端固定 : 0.7 两端固定 : 0.5 两端铰支 : 1.0,压杆稳定,临界载荷欧拉公式的一般形式:,柔度(细长比)：,1.细长压杆的临界应力：临界力除以压杆横截面面积得到的压应力，用scr表示；, 横截面对微弯中性轴的惯性半径；,欧拉公式.经验公式. 临界应力总图,欧拉临界应力公式：,压杆稳定, p 细长杆发生弹性屈曲欧拉公式 p s 中长杆发生弹塑性屈曲经验公式 s 粗短杆不发生屈曲，而发生屈服,三类不同的压杆,压杆稳定,已知：在如图所示的结构中，梁AB为No.l4普通热轧工字钢，CD为圆截面直杆，其直径为 d20 mm，二者

23、材料均为 Q235钢。结构受力如图所示，A、C、D三处均为球铰约束。若已知FP25 kN，l11.25 m，l20.55 m，s235 MPa。强度安全因数ns1.45，稳定安全因数nst1.8。,校核: 此结构是否安全？,压杆稳定,课堂练习七,杆件的强度与刚度, 杆件的内力,试作出图示简支梁的剪力图和弯矩图，写出 ， 。,课堂练习一,杆件的强度与刚度, 杆件的应力,在图示简易吊车中,BC为钢杆,AB为木杆,木杆AB的横截面面积A1=100 ,许用应力1=7MPa,钢杆BC的横截面面积A2=6 ,许用应力2=160MPa,试求许可吊重F。,课堂练习二,杆件的强度与刚度, 杆件的应力,同轴线的芯

24、轴AB与轴套CD，在D处二者无接触，而在C处焊成一体。轴的A端承受扭转力偶作用，如图所示。已知轴直径d66mm，轴套外直径D80 mm，厚度6mm；材料的许用剪应力60 MPa。求：结构所能承受的最大外力偶矩。,课堂练习三,杆件的强度与刚度, 杆件的应力,杆件的强度与刚度, 杆件的应力,课堂练习四,铸铁制作的悬臂梁,尺寸及受力如图所示，图中FP=20kN。梁的截面为丁字形，形心坐标yC=96.4mm，截面对于z轴的惯性矩Iz =1.02108 mm4。已知材料的拉伸许用应力和压缩许用应力分别为+40MPa，100MPa 。,试校核：梁的强度是否安全？,解： 1.画弯矩图，判断可能的危险截面,本

25、例中的悬臂梁，可以不求约束力，直接由外加载荷画出弯矩图。从弯矩图可以看出，最大正弯矩作用在截面A上。最大负弯矩作用在截面B上。, 弯曲强度计算,第6章 梁的应力分析与强度计算(B),由于梁的截面只有一根对称轴，而且拉伸许用应力和压缩许用应力不相等，弯矩小的截面上最大拉应力作用点到中性轴的距离，大于弯矩大的截面上最大拉应力作用点到中性轴的距离。,解： 1.画弯矩图，判断可能的危险截面,所以弯矩小的截面上的最大拉应力也可能比较大。,因此，截面A和B都可能是危险截面。, 弯曲强度计算,第6章 梁的应力分析与强度计算(B),解： 1.画弯矩图，判断可能的危险截面,MA=16 kNm， MB=12 kN

26、m 。,这两个截面上的弯矩值分别为:,所以弯矩小的截面上的最大拉应力也可能比较大。,因此，截面A和B都可能是危险截面。, 弯曲强度计算,第6章 梁的应力分析与强度计算(B),根据危险截面上弯矩的实际方向，可以画出截面A、B上的正应力分布图。,解： 2.根据危险截面上的正应力分布确定可能的危险点, 弯曲强度计算,第6章 梁的应力分析与强度计算(B),解： 2. 根据危险截面上的正应力分布确定可能的危险点,从图中可以看出：截面A上的b点和截面B上的c点都将产生最大拉应力。,但是，截面A上的弯矩MA大于截面B上的弯矩MB ，而b点到中性轴的距离yb大于c点到中性轴的距离yc ，因此，b点的拉应力大于

27、c点的拉应力。,这说明b点比c点更危险。所以，对于拉应力，只要校核b点的强度即可。, 弯曲强度计算,第6章 梁的应力分析与强度计算(B),截面A上的上边缘各点(例如a点)和截面B上的下边缘各点(例如d点)都承受压应力。,解： 2. 根据危险截面上的正应力分布确定可能的危险点,但是，截面A上的弯矩MA大于截面B上的弯矩MB ，而a点到中性轴的距离ya小于d点到中性轴的距离yd 。,因此，不能判定a点的和d点的压应力哪一个大，哪一个小。这说明a点和d点都可能是危险点。所以，对于压应力，a点和d点的强度都需要校核。, 弯曲强度计算,第6章 梁的应力分析与强度计算(B),截面A上的下边缘各点(例如b点

28、)：,截面A上的上边缘各点(例如a点)：,解： 3.计算危险点的正应力，进行强度校核, 弯曲强度计算,第6章 梁的应力分析与强度计算(B),解： 3.计算危险点的正应力，进行强度校核,截面B上的下边缘各点(例如d点):, 弯曲强度计算,第6章 梁的应力分析与强度计算(B),解： 4. 结论,上述结果说明，梁上所有危险截面的危险点的强度都是安全的。, 弯曲强度计算,第6章 梁的应力分析与强度计算(B),杆件的强度与刚度, 杆件的变形,如图所示,圆轴的长度为2l , l=500mm, 直径d=150mm ,B、C两截面处承受外力偶分别为Me1=10KNm, Me2=8KNm, 已知材料的剪切弹性模

29、量G=80GPa,求:(1)试作轴的扭矩图；(2)轴的最大切应力,并指出其所在位置；(3)C截面相对截面的相对扭转角。,课堂练习五, 拉伸与弯曲组合变形,组合变形,课堂练习六,钻床立柱为空心铸铁管，管的外径为D140 mm，内、外径之比dD0.75。铸铁的拉伸许用应力为35 MPa，压缩许用压应力为90 Mpa。钻孔时钻头和工作台面的受力如图所示，其中FP15 kN，力FP作用线与立柱轴线之间的距离(偏心距)e400 mm。,试校核：立柱的强度是否安全？,用假想截面m-m将立柱截开，以截开的上半部分为研究对象。由平衡条件得到截面上的轴力和弯矩分别为,解：1.确定立柱横截面上的内力分量,FNFP

30、15 kN MzFPe6 kN.m, 弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算(B),立柱在偏心力FP作用下产生拉伸与弯曲组合变形。因为立柱内所有横截面上的轴力和弯矩都是相同的，所以，所有横截面的危险程度是相同的。根据横截面上轴力FN和弯矩Mz的实际方向可知，横截面上左、右两侧的b点和a点分别承受最大拉应力和最大压应力，其值分别为,解：2.确定危险截面并计算最大应力, 弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力,第6章 梁的应力分析与强度计算(B),解：2.确定危险截面并计算最大应力,二者的数值都小于各自的许用应力值。这表明立柱的最大拉伸应力点和最大压缩点的强度都是安全的。, 弯矩与轴力同时作用时横截面上