直线与平面垂直的判定定理

1、直线与平面垂直的判定,生活中有很多直线与平面垂直的实例,实例引入,旗杆与地面垂直,大桥的桥柱与水面垂直,一条直线与一个平面垂直的意义是什么？,问题,旗杆AB所在直线 与地面内任意一条过点B的直线垂直,与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直,直线垂直于平面内的任意一条直线,如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面 互相垂直，,记作 ,平面 的垂线,垂足,直线与平面垂直的定义,1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都垂直，则直线 l 和平面 互相垂直（ ）,B,l,线线垂直 线面垂直,性质定理,直线 l 垂直于平面 ，则直线 l 垂直于平面中的任意一条直线

2、,概念辨析,思考,（1）一条直线l与平面内一条直线垂直可以判断 直线l与平面垂直吗？,（2）一条直线l与平面内无数条直线垂直呢？,l,a,思考：是否把平面中的直线一一找出，才能 证明直线与平面垂直？,结论：ADBD，ADCD，BDCD=D， 有AD.,定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。,符号语言：,思想：线线垂直,线面垂直,例1 一旗杆高8m，在它的顶点处系两条长10m的绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点（与旗杆脚不在同一直线上）。如果这两点与旗杆脚距6m，那么旗杆就与地面垂直。为什么？,分析： （1）两点与旗杆脚确定的平面就是地面。 （2）能

3、否在平面上找出两条相交直线，使得旗杆与它们垂直,解：如图，旗杆PO=8m，两绳长PA=PB=10m，OA=OB=6m 因为A，O，B三点不共线， 所以A，O，B三点确定平面（即地面所在面） 又因为PO2+OA2=PA2，PO2+OB2=PB2， 所以OPOA ，OPOB. 又因为OAOB=O， 所以OP. 因此，旗杆OP与地面垂直.,例2 如图，已知OA、OB、OC两两垂直 （1）求证：OA平面OBC （2）求证：OABC,B,C,O,A,分析：（1）要证OA平面OBC， 必须在平面OBC中找出两条 与OA垂直的相交直线。因 为OA、OB、OC两两垂直 OAOB、OAOC. OAOC，且OBO

4、C=O. （2）OA平面OBC，OA 垂直平面内任意一条直线.,证明：（1）OA、OB、OC两两垂直 OAOB，OAOC， 又OBOC=O OA平面OBC,（2） OA平面OBC BC 平面OBC OABC,例2 如图，已知ab,a, 求证b.,分析：能否在平面内找出两条相交直线，使得b与它们垂直？,证明：在平面内作两条 相交直线m，n.,因为直线a，根据直线与平面垂直的定义知 am，an. 又因为 ba， 所以 bm，bn. 又 m ， n ，m， n是两条相交直线， 所以 b,1、如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC， 求证VBAC.,A,B,C,V,分析：（1）要证线线垂直，首先证线面垂直 （2）ACVB所在的面，应该 是哪一个面？ 给出VA=VC，AB=BC可 以知道VAC与BAC都是 等腰三角形,证明：取AC的中点D，连结DV、DB,D,VA=VC，AB=BC VAC与BAC都是等腰三角形 ACDV ACDB DVDB=O AC平面VDB ACVB,若E、F分别是AB、BC 的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系,变式：, 在的条件下，有人说“