电磁场与微波技术 第2章

1、,第2章 电磁场的基本理论,电磁场基本理论分静电场、恒定电场、恒定磁场和时变电磁场四部分。其中静电场、恒定电场和恒定磁场是静态场，它们只是空间位置的函数，不随时间变化，这时电场和磁场虽然可以共处一个空间，但它们却是相互无关、各自独立存在的；时变电磁场既是空间的函数，也是时间的函数，这时变化的电场可以产生磁场，变化的磁场可以产生电场，电场与磁场不再独立，它们同时存在，形成统一的电磁场。,2.1 电磁场中的基本物理量和基本实验定律,2.1.1 电荷及电荷密度 电量的单位是C（库仑），基本电荷 带的电量为 C,1. 体电荷分布,连续分布于一个体积 之内的电荷，称为体电荷。体电荷密度 定义为 (2.1

2、),2. 面电荷分布,连续分布于一个几何曲面上的电荷，称为面电荷。设面积元 内有 的带电量，则面电荷密度 定义为 (2.3),3. 线电荷分布,连续分布于一条线上的电荷，称为线电荷。设线元 内有 的带电量，则线电荷密度 定义为 (2.4),4. 点电荷分布 当某一电荷量被想象地集中在一个几何点上时，这样的电荷称为点电荷。,2.1.2 电流及电流密度 电荷的宏观定向运动称为电流。,1.体电流分布,电荷在某一体积内定向运动所形成的电流为体电流。表示为 (2.6),2.面电流分布,电流在厚度可以忽略的薄层内流动所形成的电流称为面电流。表示为 (2.8),图2.1 面电流密度,3.线电流分布,电荷在一

3、个横截面可以忽略的细线中流动所形成的电流称为线电流。若长度元 中流过的线电流为 ，则称 为电流元。,2.1.3 库仑定律和电场强度 一个基本的实验现象是两个带电体之间有相互作用力。带电体之间没有相互接触，却有相互作用力，是因为带电体在周围的空间产生了电场，带电体之间的相互作用力是通过电场传递的。也就是说，一个带电体在周围产生的电场对另一个带电体有作用力。,假设在电场中引入一个足够小的试验电荷 ，则试验电荷必然受到作用力F 。我们将电场强度定义为 (2.9),E的单位是V/m（伏特/米）。库仑于1785年从实验中总结出， 受到的 作用力为 (2.10),式中， F/m F/m（法拉/米），称为真

4、空中的介电常数；如图2.2所示。 式（2.10）称为库仑定律。 （2.11）,图2.2 两个点电荷之间的相互作用力,(2.13) (2.14) (2.15),例2.1 无界真空中，有限长直线 上均匀分布着线密度为 的电荷，如图2.4所示，求线外任意点的电场强度。 解,图2.3 q点电荷的电场,例2.2 一个均匀带电的环形薄圆盘，内半径为a，外半径为b，电荷面密度 为常数，如图2.5所示，求环形薄圆盘轴线上任一点的电场强度。 解,图2.5 例2.2用图,实验结果表明，在真空中两个通有恒定电流的回路之间有相互作用力。1820年1825年间，安培从实验中总结出这个作用力的规律，称为安培力定律，该实验

5、定律用图2.6和说明。设有两个电流回路C1和C2，分别通有电流I1和I2，则回路C1对回路的作用力为,2.1.4 安培力定律和磁感应 强度,(2.17a) 式中， H/m （亨利/米），称为真空中的磁导率。,图2.6 两电流回路间的相互作用力,B1为回路C1中的电流在电流元 所在点产生的磁场，称为磁感应强度或磁通密度，表示为 (2.18),磁感应强度的单位为T（特斯拉）或Wb/m2（韦伯/米2）。,2.2 静电场,2.2.1 真空中静电场的基本方程 静电场基本方程的积分形式为 (2.20) (2.21),图2.8 立体角,图2.9 电场的线积分,微分形式：,例2.4 利用高斯定理求无限长线电荷

6、 在任意点P产生的电场强度。 解 由静电场的高斯定理有,上式等号左边为,高斯面S内的总电荷为 于是有 (2.28),例2.5 利用高斯定理求电场强度。已知电荷分布于一个半径为a的球形区域内， 电荷体密度为 。 解 用高斯定理求解电场，高斯面S为半径为r的同心球面。 当 时,所以 (2.29),当 时 所以 (2.30),电位函数 ，定义为 (2.31) (2.33),2.2.2 电位函数,当电荷分布已知时，可以求出任一点的电位函数。对于点电荷 ，其周围的电位为 (2.36),例2.7 求电偶极子的电位分布。 解 一对等值异号的电荷相距一个小的距离 ，称为电偶极子，如图2.11所示。,图2.11

7、 电偶极子,(2.40a) 电偶极子的电场为 (2.41),现在我们来推导电位 的微分方程。 (2.42) 式(2.43)称为电位函数 的泊松方程。对于 的区域，式(2.43)为 (2.44) 式(2.44)称为电位函数的拉普拉斯方程。,在直角坐标中，拉普拉斯算子表示为 (2.45),例2.8 平行板电容器由两块面积为S、距离为d的平行导体组成，极板间为空气，板间加电压为U，如图2.12所示。求极板间的电位和电场分布。,图2.12 电容器的截面图,解 忽略电场的边缘效应，极板间电位 的拉普拉斯方程为 其通解为 。又因为 ,所以 、 。即 (2.48) (2.49) 平行板电容器极板间电位是线性

8、的，电场是匀强的。,2.2.3 电介质中的高斯定理及边界条件 1.电介质中的高斯定理 (2.53) 为束缚面电荷密度；令 (2.54),图2.13 电介质的极化,为束缚体电荷密度。 (2.57) 称D为电位移矢量或电通密度。 在介质中高斯定理成为 (2.59) (2.60),2. 边界条件 (2.61),图2.14 分界面上电位移法向边界条件,(2.64) (2.65),图2.15 分界面上电场切向边界条件,(2.67) (2.68) (2.69),例2.9 平行板电容器的长和宽为a和b，距离为，极板间一半填充介电常数为 的介质，一半为空气，板间加电压为U，如图2.16所示。求极板间的电场分布

9、和电容器的电容。,图2.16 例2.9用图,(2.70),2.2.4 静电场的能量,(2.71),(2.74) 静电能量的体密度为 (2.76),例2.10 同轴线内导体半径为a，外导体内半径为，内外导体间填充介电常数为 的介质，外加电压为U，如图2.17所示。求同轴线单位长度内储存的电能。,图2.17 同轴线,2.2.5 直角坐标中的分离变量法 本节介绍在直角坐标系解拉普拉斯方程的分离变量法。,采用分离变量法的前提是：问题所给出的边界面与一个坐标系的坐标面平行或相合，或分段地与坐标面平行或相合。,(2.79) 将 用三个未知函数的乘积表示为 (2.80),的解为 (2.86) 或 (2.87

10、) 或 (2.88) 或 (2.89),例2.11 求如图2.18所示一个长方体内的电位分布。已知 面的电位为 ，其它各面的电位为0。,图2.18 长方体内的电位,(2.90),(2.92),例2.12 如图2.19所示，无限长金属槽，两平行侧壁相距为a，高度向上方无限延伸，两侧壁的电位为零0，槽底的电位为U。求槽内电位分布。,图2.19 例2.12图,(2.93),2.2.6 唯一性定理及镜像法 如图2.20所示，在无限大导体平面（ ）的上半空间，放一点电荷q。在计 算上半空间观察点的电位时，由于导体表 面上分布有感应电荷，故不能直接用无界 空间点电荷的电位公式来计算。,如果用点电荷-q来代

11、替导体表面上的感应电荷，并把它放在原电荷的镜像位置上，同时移去导体，则上半空间的电力线没有改变，此时两点电荷在观察点产生的电位就是原问题的解。,图2.20 点电荷对无限大导体平面的镜像法,(2.94) (2.95),2.3 恒定电场,2.3.1 恒定电场的基本方程 （2.96） 式（2.96）称为电流连续性方程的积分形式。,(2.97） 式（2.97）称为电流连续性方程的微分形式。,恒定电流得出 （2.98） （2.99） （2.100） （2.101）,2.3.2 导电媒质中的传导 电流,金属导体、电解液或漏电的介质中都可以存在传导电流。实验表明，传导电流密度与电场强度之间满足如下关系 （2

12、.102）,单位体积的功率（单位为W/m3）为 （2.104） 对于传导电流，单位体积的功率是变为热的功率，即焦耳损耗。此时，式（2.104）为 （2.105）,还应指出，导电媒质内净电荷密度 ，是指电荷分布达到稳态的情形。在给导电媒质充电时，开始时是有电荷进入导电媒质内的，设电荷密度的初始值为 。但由于电荷的相互排斥作用，它们都向导电媒质表面扩散，我们称其为暂态过程。 的解为 （2.107）,上式表明，体积内的随时间按指数规律减小，减小的速度取决于=/。当由0减小到0/e时，所需时间为s，称为弛豫时间。 （2.108）,不同导电媒质分界面上的边界条件为 或 （2.110） 或 （2.111）

13、,例2.13 如图2.21所示，一个有两层介质 、 的平行板电容器，两层介质的电导率分别为 、 ，极板的面积为S，求该电容器的漏电导G。在外加电压U时，求两极板及介质分界面上的自由电荷密度。,图2.21 具有两层介质的平行板电容器,解 ， （2.112）,， （2.113）,2.3.3 恒定电场与静电场的比拟 恒定电场 静电场,2.4 恒定磁场,2.4.1 真空中恒定磁场的基本方程 （2.118） （2.119）,式（2.118）和（2.119）称为磁通连续性方程。 （2.120） （2.121）,例2.14 半径为a的无限长直导体通过电流I，计算导体内外的B。 解 由于对称，场的分布明显与

14、和z 无关，磁力线是圆心在导线轴上的圆。所以有 。可以用安培定律直接计算B。,当 时,当 时 （2.122）,2.4.2 矢量磁位 （2.123） 式中A称为矢量磁位。 （2.124） 其称为库仑规范。,（2.125） 称为矢量磁位的泊松方程。 （2.126） 称为矢量磁位的拉普拉斯方程。,矢量泊松方程的解为 （2.129） （2.130） （2.131）,例2.15 求半径为a、通过电流为I的小圆环在远离圆环处的B。,图2.22 小圆环电流矢量磁位的计算,解 （2.133） （2.134）,2.4.3 磁介质中的安培定律及边界条件 （2.136） （2.137）,（2.138） （2.139

15、） （2.140） （2.141）,B的法向边界条件由磁通连续性方程得出。 或 （2.142）,H的切向边界条件由安培定律 得出。 （2.143） （2.144） （2.145）,例2.16 如图2.16所示，环行铁芯螺线管的半径a远小于环半径R，环上均匀密绕N匝线圈，通过电流为I，铁芯磁导率为 ，计算环中的B、磁通 、磁链 和自感L。如果在环上开一个小的切口，长度为l，匝数、电流如前，假设铁芯的 也不变，再计算环中和空气隙的B和H。,图2.24 环形螺线管,解,当在环上开一个小的切口时 因为 ，所以 ，与没有切口相比，B值将下降许多。,2.4.4 恒定磁场的能量,2.5 时变电磁场,随时间变

16、化的电磁场称为时变电磁场。1831年法拉第发现电磁感应定律，得出（随时间）变化的磁场可以产生电场。1864年麦克斯韦提出位移电流假说，表明（随时间）变化的电场可以产生磁场。,同年麦克斯韦概括了前人成果，对宏观电磁场的运动规律加以总结，提出著名的麦克斯韦方程组。以麦克斯韦方程组为核心的经典电磁理论已成为研究宏观电磁现象和现代工程电磁问题的基础。,2.5.1 法拉第电磁感应定律 （2.148） 这就是法拉第电磁感应定律。,图2.26 感应电动势的正方向和磁通的正方向,（2.151） （2.152） 式（2.151）和（2.152）为法拉第电磁感应定律的积分形式和微分形式。,2.5.2 位移电流 （

17、2.154） 麦克斯韦称为位移电流密度。,图2.28 交流电路中的电容器,例2.19 如图2.28 所示电路，已知平行板电容器的横截面为S，极板间距为d，外加电压为 ，求导线上的传导电流i和极板间的位移电流id。,解 平行板电容器间的电场垂直于极板，大小为,极板上的电荷密度为 ，总电荷为,导线上的传导电流i是由于极板上的电荷q随时间变化导致的，因为有 （2.157）,极板间的位移电流id是由于极板间的电场随时间变化产生的，位移电流密 度 ，则有 （2.158） 平行板间的位移电流id等于导线中的传 导电流i，说明全电流是连续的。,2.5.3 麦克斯韦方程和边界条件 积分形式为 （2.160）,

18、微分形式为 （2.161） （2.162） （2.163） （2.164）,任何电磁场都存在于一定的媒质中，媒质中和的关系及和的关系由本构关系给出。若媒质是线性、各向同性的，有 （2.166） 式（2.166）称为媒质的本构关系。,切向分量的边界条件 或 （2.167） 切向分量的边界条件 或 （2.168）,法向分量的边界条件 或 （2.169） 法向分量的边界条件 或 （2.170）,例2.21 无限大无源区域中，已知 其中 和 是常数，求。,解,2.5.4 坡印廷定理 时变场的一个重要性质是电磁波能在媒质中传播。定义单位时间内穿过与能量流动方向相垂直的单位表面的能量为能流矢量，其方向为该点能量流动的方向。,能流矢量或坡印廷矢量，用S表示。 （2.187）,例2.22 在两导体平板 和 之间的空气中传播电磁波。已知 其中 及 为常数。求： （1）磁