解三角形应用举例(经典).ppt

1、1.正弦定理：,复习回顾,高度,角度,距离,有关三角形计算,经纬仪，测量水平角和竖直角的仪器。是根据测角原理设计的。目前最常用的是光学经纬仪。,光学经纬仪,钢卷尺,引例：如图，A,B两点在河两岸，现有经纬仪和钢卷尺两种工具，如何测量A,B两点距离？,引例2.如图在铁路建设中需要确定隧道两端A,B的距离，请你设计一种测量A,B距离的方法？,引例3.如图河流的一岸有条公路，一辆汽车在公路上匀速行驶，某人在另一岸的C点看到汽车从A点到B点用了t秒，请你设计方案求汽车的速度？(A、B两点不可到达),分析：用引例的方法，可以计算出AC,BC的距离，再测出BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间

2、的距离。,公路,河流,解：在岸边选定一点D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得BCA=,ACD=,CDB=,BDA=.在ADC和BDC中，应用正弦定理得,计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离,如图,隔河看两目标A、B，但不能到达，在岸边选取相距千米的C、D两点，并测得ACB=750,BCD=450,ADC=300，ADB=450(A、B、C、D在同一平面)，求两目标AB之间的距离。,练习1,测量问题之一：,水平距离的测量,两点间不能到达，又不能相互看到。(如图1所示),需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理,可求得AB的长。,两点能相互看到，但不能到

3、达。(如图2所示),需要测量BC的长、角B和角C的大小，由三角形的内角和，求出角A然后由正弦定理，可求边AB的长。,图1,图2,两点都不能到达,1、分析：理解题意，画出示意图,2、建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中,3、求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这些三角形，求得数学模型的解。,4、检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。,实际问题数学问题（三角形）数学问题的解（解三角形）实际问题的解,解应用题的一般步骤是：,小结,300,450,一海轮以20nmile/h的速度向正东航行,它在A点测得灯塔P在船的北600东,2个小时后船到达B点时,测得灯塔在船的北450东

4、,求(1)船在B点时与灯塔P的距离.(2)已知以P为圆心,55nmile的半径的圆形水域内有暗礁,那么船工继续向正东航行,有无触礁的危险.,练习1,会,练习2：海中有岛A，已知A岛周围8海里内有暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见A岛在北75东，航行20海里后，见此岛在北30东，如货轮不改变航向继续前进，问有无触礁危险。,B,C,解：在ABC中ACB=120BAC=45由正弦定理得：,由BC=20,可求AB得AM=8.978,无触礁危险,高度和角度的测量,解应用题中的几个角的概念,1、仰角、俯角的概念：在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角。如图：

5、,2、方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，如图,3、方位角：从正北方向按照顺时针方向到目标方向线的水平夹角,解：选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上。在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是，CD=a,测角仪器的高是h.那么，在ACD中，根据正弦定理可得,练习1:在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角60，在塔底C处测得A处的俯角30。已知铁塔BC部分的高为28m，求出山高CD.,分析：根据已知条件，应该设法计算出AB或AC的长,CD=BD-BC=42-28=14(m),答：山的高度约为14米。,解：在ABC中，BCA=90+,ABC=90-,BAC=-

6、,BAD=.根据正弦定理，,例2如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北测远处一山顶D在西偏北15的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25的方向上，仰角为8，求此山的高度CD.,例3、某巡逻艇在A处发现北偏东450相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东750的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？,答：巡逻艇应该沿北偏东830方向去追，经过1.5小时才追赶上该走私船.,1、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。,练习2,某货轮在A处看灯塔S在北偏东方向.它以每小时36海里的速度向正北方向航行,经过40分钟航行到B处看灯塔S在北偏东方向.求此时货轮到灯塔S的距离.,某人在高出海面600m的山上P处，测得海面上的航标A在正东，俯角为300，航标B在南偏东600，俯角为450，求这两个航标间的距离。,练习3,补例、如图，已知AD为ABC的内角BAC的平分线，AB3，AC5，BAC120，求AD的长分析：由余弦定理可解三角形ABC，求出BC长度；由三角形内角平分线定理可求出BD长，再解ABD即可求出AD长,解析：在