电磁场与电磁波(第四版)谢处方 第四章习题解答

1、电磁场与电磁波（第四版）谢处方电磁场与电磁波（第四版）谢处方第第四章习题解答四章习题解答4.1如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为0u，求槽内的电位函数。解解根据题意，电位(,)xy满足的边界条件为(0,)(,)0yay(,0)0 x0(,)xbu根据条件和，电位(,)xy的通解应取为1(,)sinh()sin()nnnynxxyaaa由条件，有01sinh()sin()nnnbnxuaaa两边同乘以sin()nxa，并从0到a对x积分，得到002sin()dsinh()anunxaxanbaa02(1cos)sin

2、h()unnnba04,1,3,5,sinh()02,4,6,unnnban，故得到槽内的电位分布01,3,5,41(,)sinh()sin()sinh()nunynxxynnbaaa4.2两平行无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄的导体片由dy到by)(x。上板和薄片保持电位0u，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从0y到dy，电位线性变化，0(0,)yuyd。0uyxaabo题4.1图解解应用叠加原理，设板间的电位为(,)xy12(,)(,)xyxy其中，1(,)xy为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为0u）的电位，即10(,)xyuyb；2(,)xy是两个电位为零的

3、平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为：22(,0)(,)0 xxb2(,)0()xyx002100(0)(0,)(0,)(0,)()uuyydbyyyuuyydybdb根据条件和，可设2(,)xy的通解为21(,)sin()enxbnnnyxyab由条件有00100(0)sin()()nnuuyydnybauubyydybdb两边同乘以sin()nyb，并从0到b对y积分，得到0002211(1)sin()d()sin()ddbnduuynynyayyybbbbdbb022sin()()ubndndb故得到(,)xy0022121sin()sin()enxbnubundnyybdnbb

4、4.3求在上题的解中，除开0uyb一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。并按202uwcef定出边缘电容。解解在导体板（0y）上，相应于2(,)xy的电荷面密度002200121sin()enxbynundydnb则导体板上（沿z方向单位长）相应的总电荷0uyxoxboxdx题4.2图2220d2dqxx001022sin()ednxbnundxndb0022141sin()nubnddnb相应的电场储能为20020221211sin()2enbundwqudnb其边缘电容为022210241sin()efnwbndcudnb4.4如题4.4图所示的导体槽，底面保持电位0u，其余两面电位为零，

5、求槽内的电位的解。解解根据题意，电位(,)xy满足的边界条件为(0,)(,)0yay(,)0()xyy0(,0)xu根据条件和，电位(,)xy的通解应取为1(,)sin()nnnyanxxyaea由条件，有01sin()nnnxuaa两边同乘以sin()nxa，并从0到a对x积分，得到002sin()danunxaxaa02(1cos)unn04,1,3,5,02,4,6,unnn，故得到槽内的电位分布为01,3,5,41(,)sin()nyanunxxyena4.5一长、宽、高分别为a、b、c的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为()sin()sin()xzyybac的电荷。求体积内的电位

6、。解解在体积内，电位满足泊松方程22222201()sin()sin()xzyybxyzac（1）题4.4图0uyxaao长方体表面s上，电位满足边界条件0s。由此设电位的通解为11101(,)sin()sin()sin()mnpmnpmxnypzxyzaabc代入泊松方程（1），可得222111()()()mnpmnpmnpaabcsin()sin()sin()mxnypzabc()sin()sin()xzyybac由此可得0mnpa(1m或1)p222111()()()sin()npnnyaabcb()yyb（2）由式（2），可得2221102()()()()sin()dbnnnyayyb

7、yabcbb34()(cos1)bnbn2381,3,5,()02,4,6,bnnn故2532221,3,5,081(,)sin()sin()sin()11()()()nbxnyzxyznabcnabc4.6如题4.6图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与z轴平行的线电荷lq，其位置为),0(d。求板间的电位函数。解解由于在(0,)d处有一与z轴平行的线电荷lq，以0 x为界将场空间分割为0 x和0 x两个区域，则这两个区域中的电位1(,)xy和2(,)xy都满足拉普拉斯方程。而在0 x的分界面上，可利用函数将线电荷lq表示成电荷面密度0()()lyqyy。电位的边界条件为11(,0)(

8、,)0 xxa=22(,0)(,)0 xxa=1(,)0 xy()xxyoadlq题4.6图2(,)0 xy()x12(0,)(0,)yy2100()()lxqydxx由条件和，可设电位函数的通解为11(,)sin()nnnxanyxyaea(0)x21(,)sin()nnnxanyxybea(0)x由条件，有1sin()nnnyaa1sin()nnnyba（1）1sin()nnnnyaaa1sin()nnnnybaa0()lqyd（2）由式（1），可得nnab（3）将式（2）两边同乘以sin()mya，并从0到a对y积分，有nnab002()sin()dalqnyydyna02sin()lq

9、ndna（4）由式（3）和（4）解得0sin()lnnqndabna故1101(,)sin()sin()lnnxaqndnyxyenaa(0)x2101(,)sin()sin()lnnxaqndnyxyenaa(0)x4.7如题4.7图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷lq。求槽内的电位函数。解解由于在),(00yx处有一与z轴平行的线电荷lq，以0 xx为界将场空间分割为00 xx和0 xxa两个区域，则这两个区域中的电位1(,)xy和2(,)xy都满足拉普拉斯yxoalqb),(00yx题4.7图方程。而在0 xx的分界面上，可利用函数将线电荷lq表示成电荷面密度0()(

10、)lyqyy，电位的边界条件为1(0,)0y=，2(,)0ay11(,0)(,)0 xxb=22(,0)(,)0 xxb=1020(,)(,)xyxy02100()()lxxqyyxx由条件和，可设电位函数的通解为11(,)sin()sinh()nnnynxxyabb)0(0 xx2(,)xy1sin()sinh()nnnynbaxbb)(0axx由条件，有0011sin()sinh()sin()sinh()nnnnnxnynynabaxbbbb（1）01sin()cosh()nnnxnnyabbb01sin()cosh()nnnnynbaxbbb)(00yyql（2）由式（1），可得00si

11、nh()sinh()0nnnxnabaxbb（3）将式（2）两边同乘以sin()myb，并从0到b对y积分，有)(cosh)cosh(00 xabnbbxnann0002()sin()dblqnyyyynb002sin()lqnynb（4）由式（3）和（4）解得00021sinh()sin()sinh()lnqnynaaxnabnbb00021sinh()sin()sinh()lnqnxnybnabnbb故101021(,)sinh()sinh()lnqnxyaxnnabb0sin()sinh()sin()nynxnybbb)0(0 xx021021(,)sinh()sinh()lnqnxxy

12、nnabb0sin()sinh()sin()nynnyaxbbb)(0axx若以0yy为界将场空间分割为00yy和0yyb两个区域，则可类似地得到101021(,)sinh()sinh()lnqnxybynnbaa0sin()sinh()sin()nxnynxaaa0(0)yy021021(,)sinh()sinh()lnqnyxynnbaa0sin()sinh()sin()nxnnxbyaaa0()yyb4.8如题4.8图所示，在均匀电场00 xeee中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱，圆柱的半径为a。求导体圆柱外的电位和电场e以及导体表面的感应电荷密度。解解在外电场0e作用下，导体表面

13、产生感应电荷，圆柱外的电位是外电场0e的电位0与感应电荷的电位in的叠加。由于导体圆柱为无限长，所以电位与变量z无关。在圆柱面坐标系中，外电场的电位为000(,)cosrexcerc（常数c的值由参考点确定），而感应电荷的电位(,)inr应与0(,)r一样按cos变化，而且在无限远处为0。由于导体是等位体，所以(,)r满足的边界条件为(,)ac0(,)cos()rercr由此可设101(,)coscosrerarc由条件，有101coscoseaaacc于是得到021eaa故圆柱外的电位为210(,)()cosrrarec若选择导体圆柱表面为电位参考点，即(,)0a，则0c。导体圆柱外的电场则

14、为xyoa0e题4.8图1(,)rrrreee220022(1)cos(1)sinraaeerree导体圆柱表面的电荷面密度为000(,)2cosrarer4.9在介电常数为的无限大的介质中，沿z轴方向开一个半径为a的圆柱形空腔。沿x轴方向外加一均匀电场00 xeee，求空腔内和空腔外的电位函数。解解在电场0e的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场e为外加电场0e与极化电荷的电场pe的叠加。外电场的电位为000(,)cosrexer而感应电荷的电位(,)inr应与0(,)r一样按cos变化，则空腔内、外的电位分别为1(,)r和2(,)r的边界条件为r时，20(,)cos

15、rer；0r时，1(,)r为有限值；ar时，12(,)(,)aa，120rr由条件和，可设101(,)coscosrerar()ra1202(,)coscosrerar()ra带入条件，有112aaaa，2000102eaeaa由此解得0100ae，20200aae所以1002(,)cosrer()ra20200(,)1()cosarerr()ra4.10一个半径为b、无限长的薄导体圆柱面被分割成四个四分之一圆柱面，如题4.10图所示。第二象限和第四象限的四分之一圆柱面接地，第一象限和第三象限分别保持电位0u和0u。求圆柱面内部的电位函数。解解由题意可知，圆柱面内部的电位函数满足边界条件为(0

16、,)为有限值；xyo0u0ub00题4.10图000202(,)320322ubu；由条件可知，圆柱面内部的电位函数的通解为1(,)(sincos)nnnnrranbn()rb代入条件，有1(sincos)(,)nnnnbanbnb由此得到201(,)sindnnabnb2320001sindsindnununb0(1cos)nunbn02,1,3,5,02,4,6,nunnbn，201(,)cosdnnbbnb2320001cosdcosdnununb03(sinsin)22nunnbn3022(1),1,3,5,02,4,6,nnunnbn，故3021,3,5,21(,)()sin(1)c

17、osnnnurrnnnb()rb4.11如题4.11图所示，一无限长介质圆柱的半径为a、介电常数为，在距离轴线)(00arr处，有一与圆柱平行的线电荷lq，计算空间各部分的电位。解解在线电荷lq作用下，介质圆柱产生极化，介质圆柱内外的电位(,)r均为线电荷lq的电位(,)lr与极化电荷的电位(,)pr的叠加，即(,)(,)(,)lprrr。线电荷lq的电位为220000(,)lnln2cos22lllqqrrrrrr（1）而极化电荷的电位(,)pr满足拉普拉斯方程，且是的偶函数。介质圆柱内外的电位1(,)r和2(,)r满足的边界条件为分别为yxoalq0r0题4.11图1(0,)为有限值；2(

18、,)(,)()lrrrar时，12120,rr由条件和可知，1(,)r和2(,)r的通解为11(,)(,)cosnlnnrrarn(0)ra（2）21(,)(,)cosnlnnrrbrn()ar（3）将式（1）（3）带入条件，可得到11coscosnnnnnnaanban（4）110010ln()cos()2nnlnnranqranabnanr（5）当0rr时，将rln展开为级数，有0101lnln()cosnnrrrnnr（6）带入式（5），得1110011000()()cos()cos2nnnlnnnnqaanabnannrr（7）由式（4）和（7），有nnnnabaa11100000()

19、()2nnnlnnqaanabnarr由此解得0000()12()lnnqanr，20000()2()nlnnqabnr故得到圆柱内、外的电位分别为221000(,)ln2cos2lqrrrrr01000()1()cos2()nlnqrnnr（8）222000(,)ln2cos2lqrrrrr201000()1()cos2()nlnqannrr（9）讨论：利用式（6），可将式（8）和（9）中得第二项分别写成为000100000()()1()cos(lnln)2()2()nllnqqrnrrnr200100000()()1()cos(lnln)2()2()nllnqqanrrnrr其中22220

20、0()2()cosrrarrar。因此可将1(,)r和2(,)r分别写成为001000002()1(,)lnln22()llqqrrr00200000()()11(,)lnlnln222lllqqqrrrr由所得结果可知，介质圆柱内的电位与位于（,0r0）的线电荷002lq的电位相同，而介质圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于（,0r0）的线电荷lq；位于)0,(02ra的线电荷00lq；位于0r的线电荷00lq。4.12将上题的介质圆柱改为导体圆柱，重新计算。解解导体圆柱内的电位为常数，导体圆柱外的电位(,)r均为线电荷lq的电位(,)lr与感应电荷的电位(,)inr的叠加，

21、即(,)(,)(,)linrrr。线电荷lq的电位为220000(,)lnln2cos22lllqqrrrrrr（1）而感应电荷的电位(,)inr满足拉普拉斯方程，且是的偶函数。(,)r满足的边界条件为(,)(,)lrr()r；(,)ac。由于电位分布是的偶函数，并由条件可知，(,)r的通解为0(,)(,)cosnlnnrrarn（2）将式（1）和（2）带入条件，可得到220000cosln2cos2nlnnqaancarar（3）将2200ln2cosarar展开为级数，有22000101ln2cosln()cosnnaararrnnr（4）带入式（3），得001001cosln()cos2

22、nnlnnnqaaancrnnr（5）由此可得000ln2lqacr，200()2nlnqaanr故导体圆柱外的电为22000(,)ln2cos2lqrrrrr00(ln)2lqcr21001()cos2nlnqannrr（6）讨论：利用式（4），可将式（6）中的第二项写成为210001()cos(lnln)22nllnqqanrrnrr其中222200()2()cosrrarrar。因此可将(,)r写成为000(,)lnlnln222lllqqqrrrr00ln2lqcr由此可见，导体圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于（,0r0）的线电荷lq；位于)0,(02ra的线电荷l

23、q；位于0r的线电荷lq。4.13在均匀外电场00zeee中放入半径为a的导体球，设（1）导体充电至0u；（2）导体上充有电荷q。试分别计算两种情况下球外的电位分布。解解（1）这里导体充电至0u应理解为未加外电场0e时导体球相对于无限远处的电位为0u，此时导体球面上的电荷密度00ua，总电荷004qau。将导体球放入均匀外电场0e中后，在0e的作用下，产生感应电荷，使球面上的电荷密度发生变化，但总电荷q仍保持不变，导体球仍为等位体。设0(,)(,)(,)inrrr，其中000(,)cosrezer是均匀外电场0e的电位，(,)inr是导体球上的电荷产生的电位。电位(,)r满足的边界条件为r时，

24、0(,)cosrer；ar时，0(,)ac，0dssqr其中0c为常数，若适当选择(,)r的参考点，可使00uc。由条件，可设210111(,)coscosrerarbrc代入条件，可得到031eaa，01aub，001ucc若使00uc，可得到321000(,)coscosreraeraur（2）导体上充电荷q时，令004qau，有004qua利用（1）的结果，得到32000(,)coscos4qreraerr4.14如题4.14图所示，无限大的介质中外加均匀电场00zeee，在介质中有一个半径为a的球形空腔。求空腔内、外的电场e和空腔表面的极化电荷密度（介质的介电常数为）。解解在电场0e的

25、作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场e为外加电场0e与极化电荷的电场pe的叠加。设空腔内、外的电位分别为1(,)r和2(,)r，则oaz0题4.14图0e边界条件为r时，20(,)cosrer；0r时，1(,)r为有限值；ar时，12(,)(,)aa，120rr由条件和，可设101(,)coscosrerar2202(,)coscosrerar带入条件，有221aaaa，30001022eaeaa由此解得01002ae，302002aae所以1003(,)cos2rer30200(,)1()cos2arerr空腔内、外的电场为11003(,)2ree22(,)re300

26、00()()2cossin2reareee空腔表面的极化电荷面密度为202()prarranpee00003()cos2e4.15如题4.15图所示，空心导体球壳的内、外半径分别为1r和2r，球的中心放置一个电偶极子p，球壳上的电荷量为q。试计算球内、外的电位分布和球壳上的电荷分布。解解导体球壳将空间分割为内外两个区域，电偶极子p在球壳内表面上引起感应电荷分布，但内表面上的感应电荷总量为零，因此球壳外表面上电荷总量为q，且均匀分布在外表面上。球壳外的场可由高斯定理求得为220()4rqrree题4.15图o2rpzq1r20()4qrr外表面上的电荷面密度为2224qr设球内的电位为1(,)(

27、,)(,)pinrrr，其中12200cos(,)(cos)44ppprprr是电偶极子p的电位，(,)inr是球壳内表面上的感应电荷的电位。(,)inr满足的边界条件为(0,)in为有限值；1122(,)()rr，即1122(,)(,)()inprrr，所以1120201(,)(cos)44inqprprr由条件可知(,)inr的通解为0(,)(cos)ninnnnrarp由条件，有11200201(cos)(cos)44nnnnqparpprr比较两端(cos)np的系数，得到0024qar，13014par，0na(2)n最后得到12302011(,)()cos44qprrrrr球壳内表

28、面上的感应电荷面密度为1111100313cos4rrrrpnrr感应电荷的总量为21113103dcos2sind04spqsrrzpro题4.17图4.16欲在一个半径为a的球上绕线圈使在球内产生均匀场，问线圈应如何绕（即求绕线的密度）？解解设球内的均匀场为10zhhe()ra，球外的场为2h()ra，如题4.16图所示。根据边界条件，球面上的电流面密度为2120()()srarzrahjnhhehe20sinrrahehe若令20rraeh，则得到球面上的电流面密度为0sinshje这表明球面上的绕线密度正比于sin，则将在球内产生均匀场。4.17一个半径为r的介质球带有均匀极化强度p。

29、（1）证明：球内的电场是均匀的，等于0p；（2）证明：球外的电场与一个位于球心的偶极子p产生的电场相同，343r。解解（1）当介质极化后，在介质中会形成极化电荷分布，本题中所求的电场即为极化电荷所产生的场。由于是均匀极化，介质球体内不存在极化电荷，仅在介质球面上有极化电荷面密度，球内、外的电位满足拉普拉斯方程，可用分离变量法求解。建立如题4.17图所示的坐标系，则介质球面上的极化电荷面密度为cosprppnpe介质球内、外的电位1和2满足的边界条件为1(0,)为有限值；2(,)0()rr；12(,)(,)rr120()cosrrprr因此，可设球内、外电位的通解为11(,)cosrar122(

30、,)cosbrr由条件，有112barr，10132()baprz1hao题4.16图2hre解得103pa，3103prb于是得到球内的电位100(,)cos33pprrz故球内的电场为110033zppee（2）介质球外的电位为332220014(,)coscos343prrprrr20cos4pr其中343r为介质球的体积。故介质球外的电场为22221(,)rrrrreee30(2cossin)4rpree可见介质球外的电场与一个位于球心的偶极子p产生的电场相同。4.18半径为a的接地导体球，离球心)(11arr处放置一个点电荷q，如题4.18图所示。用分离变量法求电位分布。解解球外的电

31、位是点电荷的电位与球面上感应电荷产生的电位的叠加，感应电荷的电位满足拉普拉斯方程。用分离变量法求解电位分布时，将点电荷的电位在球面上按勒让德多项式展开，即可由边界条件确定通解中的系数。设0(,)(,)(,)inrrr，其中0220011(,)442cosqqrrrrrr是点电荷q的电位，(,)inr是导体球上感应电荷产生的电位。电位(,)r满足的边界条件为r时，(,)0r；ar时，(,)0a。由条件，可得(,)inr的通解为10(,)(cos)ninnnnrarpzoaq1r题4.18图为了确定系数na，利用r1的球坐标展开式11011110(cos)()1(cos)()nnnnnnnnrpr

32、rrrrprrr将0(,)r在球面上展开为01001(,)(cos)4nnnnqaapr代入条件，有110001(cos)(cos)04nnnnnnnnqaaappr比较)(cosnp的系数，得到211014nnnqaar故得到球外的电位为2110001(,)(cos)44()nnnnqqarprrr讨论：将(,)r的第二项与r1的球坐标展开式比较，可得到211122220111(cos)()()2()cosnnnnaraprrrarrar由此可见，(,)r的第二项是位于12rar的一个点电荷1raqq所产生的电位，此电荷正是球面上感应电荷的等效电荷，即像电荷。4.19一根密度为lq、长为2a

33、的线电荷沿z轴放置，中心在原点上。证明：对于ar的点，有3524350(,)p(cos)p(cos)235lqaaarrrr解解线电荷产生的电位为220011(,)442cosaallaaqqrdzdzrrzrz对于ar的点，有aaoz(,)prrr题4.19图12201()(cos)2cosnnnnzprrzrz故得到100()(,)(cos)4anlnnaqzrpdzr111001()(cos)41nnlnnnqaapnr3524350p(cos)p(cos)235lqaaarrr4.20一个半径为a的细导线圆环，环与xy平面重合，中心在原点上，环上总电荷量为q，如题4.20图所示。证明：

34、空间任意点电位为241240131p(cos)p(cos)428qrraaa()ra242240131p(cos)p(cos)428qaarrr()ra解解以细导线圆环所在的球面ar把场区分为两部分，分别写出两个场域的通解，并利用函数将细导线圆环上的线电荷q表示成球面ar上的电荷面密度22(coscos)(cos)222qqaa再根据边界条件确定系数。设球面ar内、外的电位分别为1(,)r和2(,)r，则边界条件为：1(0,)为有限值；2(,)0()rr12(,)(,)aa，1202()(cos)2raqrra根据条件和，可得1(,)r和2(,)r的通解为10(,)(cos)nnnnrarp（

35、1）aoyxz题4.20图120(,)(cos)nnnnrbrp（2）代入条件，有1nnnnabaa（3）12200(1)(cos)(cos)2nnnnnnqanabnapa（4）将式（4）两端同乘以sin)(cosmp，并从0到对进行积分，得12(1)nnnnanabna200(21)(cos)(cos)sind4nnqpa20(21)(0)4nnqpa（5）其中201,3,5,(0)135(1)(1)2,4,6,246nnnpnnn由式（3）和（5），解得10(0)4nnnqapa，0(0)4nnnqabp代入式（1）和（2），即得到241240131p(cos)p(cos)428qrra

36、aa()ra242240131p(cos)p(cos)428qaarrr()ra4.21一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移到无穷远处，需要作多少功？解解利用镜像法求解。当点电荷q移动到距离导体平面为x的点p处时，其像电荷qq，与导体平面相距为xx，如题4.21图所示。像电荷q在点p处产生的电场为20()4(2)xqxxee所以将点电荷q移到无穷远处时，电场所作的功为220()dd4(2)eddqwqxxxer2016qdxxxxqq题4.21图o外力所作的功为dqwweo02164.22如题4.22图所示，一个点电荷q放在60的接地导体角域内的点)0,1,1(处。求：（1）所有镜

37、像电荷的位置和大小；（2）点1,2yx处的电位。解解（1）这是一个多重镜像的问题，共有5个像电荷，分布在以点电荷q到角域顶点的距离为半径的圆周上，并且关于导体平面对称，其电荷量的大小等于q，且正负电荷交错分布，其大小和位置分别为366.175sin2366.075cos2,111yxqq366.0165sin2366.1165cos2,222yxqq366.0195sin2366.1195cos2,333yxqq366.1285sin2366.0285cos2,444yxqq1315sin21315cos2,555yxqq（2）点1,2yx处电位351240123451(2,1,0)4qqqq

38、qqrrrrrr0(10.5970.2920.2750.3480.477)4q900.3212.8810(v)4qq4.23一个电荷量为q、质量为m的小带电体，放置在无限大导体平面下方，与平面相距为h。求q的值以使带电体上受到的静电力恰与重力相平衡（设kg1023m，m02.0h）。解解将小带电体视为点电荷q，导体平面上的感应电荷对q的静电力等于镜像电荷q对q的作用力。根据镜像法可知，镜像电荷为qq，位于导体平面上方为h处，则小带电体q受到q2q1q5q4q3q题4.22图)0,1,1()0,1,2(60yxo的静电力为2204(2)eqfh令ef的大小与重力mg相等，即2204(2)qmgh

39、于是得到8045.910cqhmg4.24如题4.24（a）图所示，在0z的下半空间是介电常数为的介质，上半空间为空气，距离介质平面距为h处有一点电荷q，求：（1）0z和0z的两个半空间内的电位；（2）介质表面上的极化电荷密度，并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷q。解解（1）在点电荷q的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷。根据镜像法可知，镜像电荷分布为（如题4.24图（b）、（c）所示）00qq，位于hz00qq，位于hz上半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q共同产生，即101044qqrr0222200114()()qrzhrzh下半空间内的电位

40、由点电荷q和镜像电荷q共同产生，即22220142()()qqqrrzh（2）由于分界面上无自由电荷分布，故极化电荷面密度为1200120()pzzzzeenpp0210022320()()2()()zhqzzrh极化电荷总电量为0d2dpppsqsrr0223200()d()hqrrrh00()qq4.25一个半径为r的导体球带有电荷量为q，在球体外距离球心为d处有一个点电荷q。（1）求点电荷q与导体球之间的静电力；（2）证明：当q与q同号，且drrdrdqq2223)(成立时，f表现为吸引力。题4.24图（b）图2.13zqhhq1rpro题4.24图（a）zqho0z0h0qq2rpo题4.24图（c）解解（1）导体球上除带有电荷量q之外，点电荷q还要在导体球上感应出等量异号的两种不同电荷。根据镜像法，像电荷q和q的大小和位置分别为（如题4.25图所示）qdrq，drd2qdrqq，0d导体球自身所带的电荷q则与位于球心的点电荷q等效。故点电荷q