第九讲-卡氏定理

1、第 11 章 能量法（一）,1 外力功与应变能2 互等定理3 余能与卡氏第二定理4 变形体虚功原理5 单位载荷法,讲授内容,上讲回顾, 上讲回顾,相应位移 载荷 F 作用点处沿载荷作用方向的位移 D. 由所有载荷共同引起,外力功 载荷 F 在其相应位移 D 上所作之功,广义载荷 力，力偶，一对大小相等、方向相反的力或力偶等,广义位移 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等,应变能 构件因变形而储存的能量（变形能）,基本公式, 一般物体,相应位移 d : 0 D, 线性弹性体,载荷 f : 0 F,k线弹体在载荷作用点、沿其作用方向产生单位位移所需之力，称为刚度系数,克拉比隆定理, Fi广义载

2、荷，D i相应广义位移,（与加载次序无关）, 本定理只适用于线性弹性体, 非圆截面杆或杆系：, 圆截面杆或杆系：,y , z轴主形心轴, 功的互等定理,D i j,引起位移的载荷,发生位移的部位,两种加载状态,功的互等定理（简单形式）,先加 F1，后加 F2,先加 F2，后加 F1,线性弹性体的两种加载方式与外力功：,总功与加载次序无关,对于线性弹性体，F1在F2引起的位移D12上所作的功，等于F2 在F1引起的位移 D21上所作的功,功的互等定理（一般形式）,对于线性弹性体，第一组外力 Fi 在第二组外力引起的位移 DiP 上所作的功，等于第二组外力 Pj在第一组外力引起的位移 DjF上所作

3、的功, 位移互等定理,位移互等定理,当F1= F2时,当F1与F2的数值相等时， F2在点1沿F1方位引起的位移D12，等于F1在点2沿F2方位引起的位移D21,3 余能与卡氏第二定理, 余能概念 克罗第恩格塞定理 卡氏定理 例题, 余能概念,余功与余能Complementary Work and Complementary Energy,弹性体的余能Vc数 值上等于余功：,余功的定义:,单向应力状态下的余能密度为,故拉压杆与梁的余能为,余能计算,余能是载荷的函数,对线弹体, 克罗第恩格塞定理,问题：弹性结构受n个载荷作用， 求指定载荷Fk的相应位移k,给载荷增量,余功增量,余能增量, 克罗第

4、恩格塞定理,弹性体的余能对载荷 Fk 的偏导数，等于该载荷的相应位移 Dk 克罗第恩格塞定理 Crotti-Engessers theorem, 卡氏定理,线性弹性体的应变能，对载荷 Fk 的偏导数，等于该载荷的相应位移 D k 卡氏第二定理,对于线性弹性体：,A. Castigliano (1847-1884)，意大利工程师。1870年入都灵工业学院，1873年提出工程师学位论文。 卡氏第一定理, 卡氏定理直接推导,线弹性体受n个载荷,外力功,考虑两个加载过程,给载荷增量,线弹性体外力功 与加载次序无关, 例题,例 3-1 用卡氏定理求DBy,解：,（）,解：1. 分析方法,施加矩为 Me的力偶,附加力偶,附加力法,转角B所对应的载荷？,2. 位移计算,(),解：1.应力分析,例 3-3 利用克罗第恩格塞定理计算 wA ，,2. 余能与位移计算,（）,合力的相应位移？,A点合位移？,解：考虑该刚架的另一载荷