多元复合函数微分法

1、,8-4.,多元复合函数微分法,多元函数经复合运算后，一般仍,是多元函数，也可能成为一元函数。,按前面关于多元函数的讨论方法，复,合函数求导法则的研究可从复合后成,为一元函数的情况开始。,这就是全导数问题。,一、,全导数,例,设,求,解,故,解,(将x, y 的表达式带入),+,你能由此猜想到多元函数的复合函数求导法则吗 ？,定理1 (全导数),设函数,可复合成,若,在点 x 处可微，函数,在相应于 x 的点,处可微，则复合函数,在点 x 处可偏导，且,+,证,给 x 以增量,，相应地有,由,的可微性，有,从而,由一元函数导数导定义, 取,的极限,由,可导，,故必连续, 从而,时，,即有,于是

2、,定理获证,例,设,求,解,令,则,则,写出二元和三元函数的全导数公式,请同学自己写,开始对答案,二、链导法则,一般多元复合函数的求导法则,假设所有出现的函数求导运算均成立，试想一下如何求下面的导数：,求,将 y 看成常数,将 x 看成常数,是按全导数公式求导，而对具体函数来说，实质上又是求偏导数。,定理2,设,在点,处均可导，,且,在对应点,可微，,则复合函数,在点,处可导，,且,m 个 n 元函数,一个m 元函数,复合成一个n 元函数,定理可视为全导数定理的推广: 将诸 xk (kj) 看成常数，运用全导数公式， 求导记号作相应改变即可证明该定理。,设,满足定理的条件，则有,例,设,求,解

3、,例,设,求,解,令,则,例,设,求,解,自己做,例,例,设,其中,求,解,令,则,请你自己在下面写出导数关系式,答案：,你做对了吗？,加,油,啊,！,课后自己计算,例,设函数,均可微，,求,解,g,g,三、全微分形式不变性,一元函数的微分有一个重要性质：,一阶微分形式不变性,对函数,不论 u 是自变量,还是中间变量 , 在可微的条件下, 均,有,记得吗?,对二元函数,来说，,论 x 和 y 是自变量还是中间变量，,可微的条件下, f 的全微分总可写为：,不,不,在,论 x 和 y 是自变量还是中间变量，,详细的推导过程请同学自己看书。,呀！看书。,呀！看书。,呀！看书。,设,不论,是自变量,

4、还是中间变量，在可微的条件下，均有,设,应用全微分形式不变性求,解,与,比较，得,例,8-5,隐函数的 微分法,与一元函数的情形类似，多元函,也有隐函数。,如果在方程式,中，,时，,相应地总有满足,该方程的唯一的 z 值存在 , 则称该方,程在 内确定隐函数,每一个方程都能 确定一个隐函数吗？,此外，隐函数不一定都能显化。,如果在方程式,中，,时，,相应地总有满足该,在 内确定隐函数,方程的唯一的 u 值存在 , 则称该方程,将概念推广到一般情形,一元函数的 隐函数的求导法,一、,设,确定隐函数,若,则对方程,两边关于 x 求导，得,从而得到一元隐函数求导公式,这是利用多元函数的偏导数求一元函

5、数的隐函数导数的公式,设,求,解,令,则,故,例,二、由一个方程确定 的隐函数的求导法,定理 2,(隐函数存在定理),设,1.,2.,3.,则方程,在,内唯一,确定一个函数,且,由隐函数存在定理的条件及一元隐函数求导方法, 利用多元函数求导方法，对方程 F(x, y, u) = 0 两边关于x , y 求偏导，得,由于,又,由连续函数性质,在其中,自己算一下，z 对 x , y 的偏导数是多少。,求方程,所确定的,函数,的偏导数。,解,令,则,故,例,设,确定,求,其中，,解,例,定理,(隐函数存在定理),设,1.,2.,3.,则方程,在,内唯,一确定一个函数,且,请同学们自己将上面的隐函数存

6、在 定理推广至一般的 n 元函数情形,三、由方程组确定的 隐函数的求导法,雅可比行列式,当所出现的函数均有一阶连续偏导数时，雅可比行列式有以下两个常用的性质：,1.,2.,设方程组,确定函数,求,想一想，怎么做 ？,问题1,方程组中每个方程两边关于x 求导：,运用克莱满法则解此二元一次方程组,移项，得,当,时，,方程组有唯一解：,这样我们实际上已找到了求方程组确定的隐函数的偏导数的公式(之一)。,问题2,设方程组,确定函数,求,利用问题 1 的结论，你可能已经知道应该怎么做了。,依葫芦画瓢哦 ！,将 x 或 y 看成常数,自己动手做！,当,时，,将 y 看成常数,公式,当,时,将 x 看成常数,公式,设,