统计学终极教程7 假设检验.ppt

1、第四章 多元正态分布均值向量和协方差阵的检验,北京交通大学 李雪梅,多元正态分布均值向量和协方差阵的检验,总体均值向量的检验 协方差阵的检验 多个正态总体参数的检验,总体均值向量的推断,设 是取自多元正态总体的一个样本，这里，现欲检验,若协方差阵已知，服从自由度为p的卡方分布,用卡方检验， 。,若协方差阵未知，用T2检验。,单个总体均值向量的推断,例子,例4-1 企业市场结构研究 在企业市场结构研究中，起关键作用的指标有市场份额X1，企业规模（资产净值总额的自然对数）X2，资本收益率X3，总收益增长率X4。为了研究市场结构的变动，夏菲尔德（Shepherd,1972）抽取了美国231个大型企业

2、，调查了这些企业1960-1969年的资料。假设以前企业市场结构指标的均值向量为，而该次调查所得到的企业市场结构指标的均值向量和协方差矩阵。试问企业市场结构是否发生了变化？,例子,例4-2 探索新的诊断技术 对20名健康女性的汗水进行测量和化验，数据列在表4-1中。其中，X1=排汗量，X2=汗水中钠的含量，X3=汗水中钾的含量，为了探索新的诊断技术，需要检验假设H0：=（4，50，10）对H1：（4，50，10），取显著性水平=0.10。,两个总体均值向量的检验,协方差阵相等的情形 一、两个独立样本的情形,与一元随机变量的情形相同，常常我们需要检验两个总体的均值是否相等。,设从总体 ，中各自独

3、立地抽取样本 和 ， 。,考虑假设,若两总体有共同已知协差阵, 在H0成立时,检验统计量为 若两总体协差阵相等且未知时,根据两个样本可得1和2的无偏估计量为,其中,1,当原假设为真的条件下，,检验的规则为：,例子,例4-3 为了研究日、美两国在华投资企业对中国经营环境的评价是否存在差异，今从两国在华投资企业中各抽出10家，让其对中国的政治、经济、法律、文化等环境进行打分。问日、美两国在华投资企业对中国经营环境的评价是否存在显著差异。,协方差阵不等的情形,两正态总体均值与标准差均未知时的均值差的统计推断问题，称为贝伦斯-费希尔问题(Behrens-Fisher problem)。,协方差阵的检验

4、,总体协方差阵是否等于已知常数矩阵的检验 总体协方差阵是否等于已知常数矩阵倍数的检验,协方差阵的检验,总体协方差阵是否等于已知常数矩阵的检验,协方差阵的检验,总体协方差阵是否等于已知常数矩阵倍数的检验,多总体均值比较单因素方差分析,问题的提出 统计的模型及检验方法 多重比较检验,问题的提出,某工厂实行早、中、晚三班工作制。工厂管理部门想了解不同班次工人劳动效率是否存在明显的差异。每个班次随机抽出了7个工人，得工人的劳动效率（件/班）资料如表。分析不同班次工人的劳动效率是否有显著性差异。 a=0.05，0.01。,为什么各值 会有差异？可能的原因有两个。,一是，各个班次工人的劳动效率可能有差异，

5、从而导致了不同水平下的观察值之间差异，即存在条件误差。,二是，随机误差的存在。,如何衡量两种原因所引起的观察值的差异?,总平均劳动效率为：,三个班次工人的平均劳动效率分别为：,总离差平方和SST,组间离差平方和(条件误差)SSA,组内离差平方和（随机误差）SSe,统计量F,把计算的F值与临界值比较， 当F F时，拒绝原假设，不同水平下的效应有显著性差异；当F F 时，接受原假设。,NEXT,查F分布表得临界值 因为 故应拒绝原假设，即不同班次工人的劳动效率有显著的差异。,方差分析：比较3个或3个以上的总体均值是否有显著性差异。用组间的方差与组内方差相比，据以判别误差主要源于组间的方差（不同组工

6、人的产量，条件误差），还是源于组内方差（随机误差）。,NEXT,多个正态总体参数的检验,多总体均值向量的检验 多元方差分析的基本假设有： 第一，因变量之间需要一定程度的线性相关。因变量必须是定量变量。 第二，各样本组的样本规模应尽量大一些，且各组的样本规模应尽量相近。 第三，各因变量为多元正态分布且方差相等。,建立原假设和备择假设如下：,不全相等 记来自第r个总体的第i个样品的观测向量为 ，记来自该总体的样本的容量为 ，总的样本容量为n，即， 记各个样本的均值向量和全部样本的总均值向量为：,全部样本的总叉积矩阵T及其分解式可表示为：,定义各个样本叉积矩阵之和为A，各样本均值向量之间的叉积矩阵为

7、B，则A，B可表示为：,从而有，T=A+B,在此基础上，可构造出统计量 为：,当原假设为真的情况下，所考察的k个具有相同协差阵 的正态总体,实际上为同一正态总体。由于各个样本是从各 总体中分别独立抽取的，所以各个样本必然都相互独立。因 此，根据维希特分布的定义，有：,且A与B是相互独立的。,根据维尔克斯分布的定义，可知上述检验统计量 服从维尔克斯分布，即有：,在给定的显著性水平 之下，由维尔克斯分布 ，可得到原假设H0的拒绝域为。,对不同工作岗位的员工情况进行分析： 经理文书办事员,多总体协方差阵相等的检验,假设有k个多元正态总体，它们的分布分别为 。现从每个总体中分别随机抽取了一个样本，要根

8、据这些样本，对于这些总体的协方差阵是否相同进行检验。 首先，列出原假设和备择假设。它们分别为：,其次，为构造出检验统计量，记来自第r个总体的第i个样品的观测向量为,记来自该总体的样本的容量为 ，总的样本容量为n，即 ，记各个样本的均值向量为： 定义各个样本叉积矩阵和全部样本叉积矩阵的总和为：,使用似然比方法，可构造检验统计量为：,根据无偏性的要求，巴特莱特（Bartlett）建议将 的 换成 ，从而n变为n-k。对变化后的 取对数，可得一个近似的检验统计量为：,多总体互协方差阵的检验,首先将这些观测指标向量合并组成一个长向量，然后将此长向量按原各观测指标向量进行分块，并将此长向量的均值向量和协

9、方差阵也进行相应的分块，则各观测指标向量之间的互协方差阵的检验转化为对此长向量的协差矩阵非对角线各块互协差矩阵的检验。假设原观测指标向量的个数为k，它们所组成的长向量的维数为p，记此长向量为,则可将此长向量按原各个观测指标向量剖分为k块，并对此向量的均值向量和协方差阵也进行同样的剖分，使其成为：,检验原k个观测指标向量之间的互协方差阵是否为零，就是要检 验如下的假设：,若对此p维观测指标向量进行了n次观测，得到了一个容量 为n的样本,并已计算出了样本叉积矩阵向量，则可将此样本叉积矩阵按原k个观测指标向量进行分块，得到如下的分块叉积矩阵为：,采用似然比方法，可构造如下的检验统计量为：,若对上述统

10、计量进行转换，可得到另外一个等价的检验统计量为：,安德生（Anderson）已给出了上述统计量的精确分布。在给 定的显著性水平 之下，如果此检验统计量的数值小于其临界值，即 ，则应拒绝原假设，认为原各观测指标向量之间的互协差阵不全为零，即原各观测指标向量之间是不独立的。,例子,例4-5 不同区域社会经济发展水平的比较 为研究不同区域社会经济发展水平是否相同，我们选择了某年度部分区域的国家和地区的社会经济发展情况数据。其中，反映社会经济发展情况的指标体系包括：urban（城市人口比例）、lifeexpf（女性平均寿命）、lifeexpm（男性平均寿命）、literacy（识字率）、babymor