运筹学课件第4章 整数规划与分配问题

1、第4章 整数规划与分配问题,重庆三峡学院 关文忠 ,管理运筹学课件,2020/7/7,教学目标与要求,【教学目标】 通过本章学习，了解求解整数规划“分枝定界法”的其中思路，掌握0-1变量在数学建模中的应用；熟练掌握“匈牙利法”，至少掌握一种软件求得整数规划及分配问题的最优解。 【知识结构】,管理运筹学课件,2020/7/7,本章主要内容,4.1 整数规划 4.1.1 整数规划的概念 4.1.2 分枝定界法的基本思路* 4.2 0-1规划 4.2.1 0-1规划的概念 4.2.2 0-1规划的隐枚举法简介* 4.2.4 0-1变量在数学建模中的用途 案例4-1 球队队员筛选 案例4-2 选址问题

2、 案例4-3 集合覆盖问题 4.3 分配问题 4.3.1 分配问题数学模型 4.3.2 分配问题的解题方法匈牙利法 案例4-4 任务分派 本章小结,管理运筹学课件,2020/7/7,导入案例集装箱托运计划,某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，每箱的体积、质量、可获得的利润以及托运所受到的限制如表4-1所示。问怎样安排托运计划，可使利润最大？,设 x1,x2表示两种货物装载数量(整数)，依题意有如下数学模型：,在实际中，许多要求变量取整的数学模型，称为整数规划。本章将讨论整数规划求解的基本思路、0-1变量的用法、分配问题及匈牙利法，以及利用Excel, Lingo, WinQSB求解的演示。,管理

3、运筹学课件,2020/7/7,4.1.1 整数规划的基本概念,整数规划（integer programming，IP）是指一类要求问题中的全部或一部分变量为整数的数学规划。 在整数规划中，依决策变量的取值不同，又可进一步划分：如果所有变量都限制为整数，则称为纯整数规划（Pure Integer Programming，PIP）；如果仅一部分变量限制为整数，则称为混合整数规划（Mixed Integer Programming，MIP）；变量取二进制的整数规划则称为0-1规划（Binary Integer Programming，BIP）。,管理运筹学课件,2020/7/7,4.1.2 分枝定界

4、法的基本思路*,【例4.1】 用图解法求解整数规划,分枝定界法(Branch and Bound Method)用于求解整数规划问题，是在20世纪60年代初，由Land Doig和Dakin等人提出的。,解 (1) 绘制直角坐标系，图示约束条件，图示目标函数一根基线(z=30)，使其平行移动，求得非整数最优解。该解的坐标为(72/23,88/23)，不在网格线的交叉点上，非整数解（非可行解）。,(2) 对“解1”分枝定界：选取x1 进行分枝定界：在原模型的基础上，分别添加x13,x14 。优化结果 “解2” ，X=(3,31/8)，z=38.25；“解3”，X=(4,8/3)，z=36，均为非

5、整数（非可行解）。,(3) 先对“解2”分枝定界：“解2”的坐标为(3,31/8)，分别添加 x23，x24，优化结果 “解4”，X=(3,3)，z=33，为可行解；“解5”，X=(8/3,4)，z=37.33，为非可行解。,(4) 再对“解3”分枝定界：“解3”的坐标 ， 为非整数，添加x22 （x2 3为非可行域），优化结果为X=(9/2,2)，z=34.5；再添加x1 =4,x1 5 。解得整数解X=(4,2)，z=32和非整数解X=(21/4,1)，目标值z=31.25；整数解目标值大于非整数解，取(4,2)，得“解6”。,(2,9/2),z=34.5,解3 (4,8/3),解1 (7

6、2/23,88/23),解2 (3,31/8),5x1+6x2=30,解4 (3,3),z=33,解5 (8/3,4),z=37.33,解6 (4,2),z=32,(5) 对“解5”分枝定界：“解5”的坐标(8/3,4)， 为非整数，添加x12 （ x13为非可行域），优化结果为X=(2,17/4)，再添加x2=4 和x2=5 。求得整数解(2,4)，目标值34；整数解(0,5)，目标值30，取(2,4)。如图“解7”。,解7 (2,4),z=34,(6) 剪枝：上述有三个区域的整数解分别为“解4”X=(3,3)，z=33；“解6”X=(4,2)，z=32；“解7”X=(2,4)，z=34。相

7、比较，目标值最大的为34，对应的最优方案 。 演示：利用WinQSB,ExcelORM+规划求解,ExcelORM+Lingo求例4.1,管理运筹学课件,2020/7/7,4.2.1 0-1规划的概念,0-1规划是一种特殊类型的整数规划，即决策变量只取0或1。0-1规划在整数规划中占有重要地位，许多实际问题，例如指派问题、选址问题、送货问题都可归结为此类规划。求解0-1规划的常用方法是隐枚举法，对各种特殊问题还有一些特殊方法，例如求解指派问题用匈牙利方法就比较方便。 0-1规划的数学模型为：,管理运筹学课件,2020/7/7,4.2.2 隐枚举法简介,1.化成标准形式(1)目标函数:min ,

8、cj0(2)目标若max,目标系数改变符号,变为min;(2)若cj0,令yj=1-xj使其变正;(3)目标函数中,变量按目标系数从小到大排列,约束条件中也跟着相应改变. 2.令标准化后的0-1问题所有变量为0,若满足约束,即为最优,否则转下步. 3.按目标函数中排列顺序依次令各变量分别取1或0,进行枚举.,管理运筹学课件,2020/7/7,4.2.4 0-1变量在数学建模中的应用,管理运筹学课件,2020/7/7,案例4-1 球队队员筛选,某校篮球队准备从以下6名预备队员中选拔3名为正式队员，并使平均的身高尽可能高。这六名预备队员情况如表所示。队员的挑选要满足下列条件：(1) 6位预备队员选

9、3名。(2) 至少补充1名后卫人员。(3) B或E中间最多入选1名。(4) 最多补充1名中锋。(5) 无论B或D入选，F都不能入选。,管理运筹学课件,2020/7/7,案例4-2 选址问题,某公司在城市东、西、南三区拟建立门市部。计划有7个位置(点) Aj(j=1,7)可供选择。规定： 在东区，由A1,A2,A3 三个点至多选两个；在西区，由 A4,A5 两个点至少选一个；在南区，由A6,A7 两个点至少选一个。设各位置建点的成本与预计利润见表，若建点总成本控制在100万元以内，试问应该选取哪几个点可使年利润为最大？。,数学模型为：,管理运筹学课件,2020/7/7,案例4-3 集合覆盖问题,

10、某区有6个街道。这个区必须确定在什么地方修建消防站。在保证至少有一个消防站在每个街道的15min行驶时间内的情况下，这个区希望修建的消防站最少。各街道间行驶时间如表,管理运筹学课件,2020/7/7,4.3.1 分配问题数学模型,在管理活动中，人们会经常遇到这样的问题，某单位有n(n1) 项工作任务，需要 m(n1)个人去完成，并且每个人只干一件工作，每项工作都必须有人干，通过权衡，合理分派任务，使总的消耗(或收益)达到最小(或最大)的0-1规划问题，称为分配问题(Assignment Problem，AP),导入案例 运动项目分配问题 某游泳队有四名运动员，其平时训练成绩(s/50m)如表所示。问如何安排可使总成绩最好？,管理运筹学课件,2020/7/7,4.3.1 分配问题数学模型,管理运筹学课件,2020/7/7,4.3.2 匈牙利法,管理运筹学课件,2020/7/7,4.3.2 匈牙利法,【例4.7】 用匈牙利法求引例中的最小化分配问题。,管理运筹学课件,2020/7/7,4.3.2 匈牙利法,【例4.8】 用匈牙利法求引例中的最小化分配问题。,k=2,管理运筹学课件,2020/7/7,案例4