矩阵的运算逆矩阵（第五次）

1、AB=,解：,注2：矩阵乘法一般不满足交换律，即ABBA ; 注3：两个非零矩阵相乘，乘积可能是零矩阵，但不能从AB=O，推出A=O或B=O .,注意：左乘右乘的不同,解：,3,1,1,0,3,1,1,0,显然AB=BA . 定义：如果两矩阵A与B相乘，有AB=BA，则称矩阵A与矩阵B可交换.,显然AC=BC，但AB .,例6设,注4： 矩阵乘法不满足消去律.,例8.,则AA =,= A .,显然AA=A，但AE，A O .,例7 对于任意矩阵A及相应的矩阵O，E，有,AO=O， OA=O；,AE=A， EA=A， EE=E.,Ax = b,例9. 线性方程组的矩阵表示（矩阵方程）,应注意的问

2、题,(1) ABBA ；,(3) AB=O,A=O或B=O ；,(2) AC=BC,A=B；,矩阵乘法的性质,(4) AA=A,A=E或A=O .,(1) (AB)C=A(BC)； (2) (A+B)C=AC+BC； (3) C(A+B)=CA+CB； (4) k(AB)=(kA)B=A(kB) .,4.方阵的幂 对于方阵A及自然数k Ak=AA A (k个A相乘)，称为方阵A的k次幂. 方阵的幂有下列性质： (1)ArAs=Ar+s； (2) (Ar)s=Ars .,问题：(A+B)2=?, (A B)2 = A2 AB BA + B2,注: (A + B)2,= (A + B)(A + B

3、),= A2 + AB + BA + B2, (A + B)(A B) = A2 AB + BA B2,定义4 将mn矩阵A的行与列互换，得到的nm矩阵，称 为矩阵A的转置矩阵，记为AT或A. 即如果,例如，设x=(x1 x2 xn)T，y=(y1 y2 yn)T，则,(y1 y2 yn ),xyT,.,5. 转置矩阵及对称方阵,显然，ETE.,转置矩阵有下列性质 (1)(AT)T=A； (2)(A+B)T=AT+BT； (3)(kA)T=kAT；,定义4 将mn矩阵A的行与列互换，得到的nm矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT或A. 即如果,(4)(AB)T=BTAT .,5. 转置矩阵及对

4、称方阵,定义5 设A 为n阶方阵，若AT=A，则称A为对称矩阵，如 果AT= - A，则称A为反对称矩阵.,分别是三阶对称矩阵和三阶反对称矩阵.,显然：A为对称矩阵的充分必要条件是aij=aji ; A为反对称矩阵的充分必要条件是 aij=-aji .,如：,定义6 设A是n阶方阵，由A的元素构成的n阶行列式 称为方阵A的行列式，记为|A|或det A .,性质：设A、B为n阶方阵，k为数，则,(1) |A|=|AT|;,(3) |AB|=|A|B| .,(2) |kA|=kn|A|;,6. 方阵的行列式,显然， |E|=1 .,一般地，若A1,A2,Ak都是n阶方阵，则,显然,A 方阵,f(

5、x) = asxs + as1xs1 + + a1x + a0,f(A) = asAs + as1As1 + + a1A + a0E,f(x) 多项式,定义7. 方阵A的多项式,6. 方阵的行列式,例10设,求,解: 因为,由公式,则,若先求得,同样,例11设 A，B均为四阶方阵，且 .,计算 .,解 由方阵的行列式的运算规律，,2设 A,B都是2阶方阵，且A=2，B=-3E， 则 |ATB|=( ).,1设 A是3阶方阵，且A=2，则A2=( ) |2A|=( ), |A|=( ).,4,-16,2,18,练习,解方程组,解：将其写成矩阵方程,两边都左乘矩阵F得,从而得方程组的解:,那么,F

6、 矩阵是怎么得到的呢？,2.3 逆矩阵,逆矩阵概念的引入,定义1 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得 ABBAE， 那么矩阵A称为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵.,1. 可逆矩阵的定义,这是因为，如果B和B1都是A的逆矩阵，则有,AB=BA=E，,AB1=B1A=E,于是 B,=B1 .,=EB1,=( BA)B1,=B(AB1),=BE,如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的.,逆矩阵的唯一性,A的逆矩阵记为A1 .,即若ABBAE ，则BA1 .,定义1 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得 ABBAE， 那么矩阵A称为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵.,1. 可逆矩阵的定义,定理1 如

7、果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的.,由于A，B位置对称，故A，B互逆，即BA1， AB1. 如,可以验证，,2. 方阵可逆的充分必要条件,定义2 由矩阵,称为矩阵A的伴随矩阵，记为A* .即,的代数余子式构成的矩阵,例1. 求,的伴随矩阵A*.,解:,同理 A13=1， A21=-2， A22=1， A23=-1， A31=-1， A32=2， A33=1,因此A的伴随矩阵,三阶矩阵A的伴随矩阵A*为,，,定理2 n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是|A|0，而且,其中A*为方阵A的伴随矩阵.,所以|A|0，即A为非奇异.,设A可逆，,故|A|A1|E|1，,使AA1E ,即有A1，,证：,必要

8、性.,定义3 对于n阶矩阵A，若行列式|A|=0，则称A是奇异的 (或降秩的或退化的)，否则称A为非奇异的(或满秩的或非退 化的) .,2. 方阵可逆的充分必要条件,=|A|E,|A|,0,0,0,|A|,0,0,0,|A|,充分性.,定理2 n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是|A|0，而且,其中A*为方阵A的伴随矩阵.,证：,设A非奇异，,则有 AB,注意：,=E .,同理可证BA=E .,因此A可逆，,(即 AB = E.),解: 因为,=20，,所以A可逆.,又因为,10,7,-5,-2,-2,2,2,1,-1,，,所以,A-1,|A|=,推论 设A是n阶方阵，若存在同阶方阵B，使得AB=

9、E (或BA=E)，则A可逆，且A-1 =B.,这一结论说明，如果要验证矩阵B是矩阵A的逆矩阵，只要 验证一个等式AB=E或BA=E即可.,例3设n阶矩阵A满足aA2+bA+cE=O，证明A为可逆矩阵， 并求A-1(a, b, c为常数，且c0) .,又因c0，故有,aA2+bA=-cE，,解: 由aA2+bA+cE=O，有,-c-1(aA2 +bA)=E，,即-c-1(aA+bE )A=E，,因此A可逆，且A-1=-c-1aA-c-1bE .,3. 可逆矩阵的性质,(3) 若A、B为同阶可逆矩阵，则AB亦可逆，且(AB )1B 1A1.,因为,(AB)(B-1A-1),=A(BB-1)A-1

10、,=AEA-1,=AA-1,=E,所以(AB )1B 1A1.,(2) 若A可逆，数l0，则lA 可逆，,且(lA )1l1A1.,(1) 若A可逆，则A1也可逆，,且(A1)1A.,(4) 若A可逆，则AT也可逆，,且(AT )1(A1)T .,因为,AT(A-1)T,=(A-1A)T,=ET=E，,所以 (AT )1(A1)T .,(5) |A1|=|A|1 .,例4. 设三阶矩阵A,B满足关系式 ，且,求矩阵 B.,解: 由于A可逆，,将等式,两端右乘,有,，整理得,于是,故,，,线性方程组,的矩阵形式为,其中,当|A|0时，A-1存在，,AX=b两边左乘A-1，得 X=A-1b,这就是线性方程组解的矩阵表达式.,4. 用逆矩阵求解线性方程组,例5. 利用逆矩阵求解方程组,解: 将方程组写成矩阵形式,计算得,，故A可逆.,因而有,，即,解:,X,XA-1CB-1,为什么？,1. AAAA|A|E ;,3. 若|A|0, 则|A*|=|A|n-1 .,2. 若|A|0, 则A|A|A-1 ;,5. 伴随矩阵的常用性质,练习,解: 1. 由A2-A-2E=O，得,所以A-E可逆，正确选项为