量子力学的态和表象

1、第五章 态和力学量表象,0 引言 1 态的表象 2 算符的矩阵表示 3 量子力学公式的矩阵表述 4 Dirac 符号 5 Hellmann Feynman 定理 6 占有数表象 7 么正变换矩阵,波函数也可以选用其它变量的函数， 力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。,表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。,设 算符Q的本征值为： Q1, Q2, ., Qn, .， 相应本征函数为：u1(x), u2(x), ., un(x), .。,将(x,t) 按 Q 的 本征函数展开：,若, un都是归一化的， 则 an(t) 也是归一化的。,| an| 2 表示 在(x,t)所描述的

2、状态 中测量Q得Qn的几率。,a1(t), a2(t), ., an(t), .,就是(x,t)所描写状态在Q表象中的表示。,对任何力学量Q都建立一种表象，称为力学量 Q 表象。,力学量表象,共轭矩阵,态矢量,基本矢量,同一状态可以在不同表象用波函数描写，表象不同， 波函数的形式也不同，但是它们描写同一状态。,波函数,是态矢量在Q表象中沿各基矢方向上的“分量”。Q表象的基矢有无限多个，所以态矢量所在的空间是一个无限维的抽象的函数空间，称为Hilbert空间。,所以我们可以把状态看成是一个矢量态矢量。 选取一个特定力学量 Q 表象，相当于选取特定的坐标系，,u1(x), u2(x), ., un

3、(x), . 是 Q 表象 的基本矢量简称基矢。,坐标表象：,Q表象：,假设只有分立本征值，将, 按un(x)展开：,Q表象的 表达方式,力学量算符的矩阵表示,（1）力学量算符用厄密矩阵表示,所以厄密算符的矩阵 表示是一厄密矩阵。,Q表象中力学量算符 F 的性质,（2）力学量算符在自身表象中的形式,Q的矩阵形式,结论： 算符在自身表象中是一对角矩阵，对角元素就是算符的本征值。,求坐标表象中 F的矩阵元,求动量表象中 F的矩阵元,要计算此积分，需要 知道 F的具体形式.,坐标表象平均值公式,在Q表象中,简写成,（一）平均值公式,写成矩阵形式,表成显式,整 理 改 写,上式是一个齐次线性方程组,方

4、程组有不完全为零解的条件是系数行列式等于零,久 期 方 程,求解此久期方程得到一组值：1, 2, ., n, .就是F的本征值。,将其分别代入原齐次线性方程组就能得到相应于各i的本征矢,于是求解微分方程的问题就化成了求解代数方程根的问题。,（二）本征方程,写 到 Q 表 象, H 都是矩阵,简写,（三）Schrodinger方程的矩阵形式,量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种抽象的描述方法是由 Dirac 首先引用的， 所以该方法所使用的符号称为 Dirac 符号。,Dirac 符号,右矢空间,在抽象表象中 Dirac 用右矢空间的一个矢量 | 与量子状态相对应，该矢量称

5、为右矢。,|n n(x)； |n, l, m n l m 状态 |n 和 n(x) 亦可分别记成 |n 和 |n l m 。,对力学量的本征态可表示为 |x, |p, |Qn . 等。,右矢空间的任一矢量 | 可按该空间的某一完备基矢展开。,例如：,态矢量,左矢空间,右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量，记为 |。例如：,Dirac 符号,右矢空间和左矢空间称为伴空间或对偶空间， 称为伴矢量。 p |, x |, Qn | 组成左矢空间的完备基组， 任一左矢量可按其展开， 即左矢空间的任一矢量可按左矢空间的完备基矢展开。,| 按 Q 的左基矢 |Qn 展开 | = a1 |

6、Q1 + a2 |Q2 + . + an |Qn + . 展开系数即相当于 Q 表象中的表示：,| 按 Q 的左基矢 Qn | 展开： | = a*1 Q1 | + a*2 Q2 | + . + a*n Qn | + . 展开系数即相当于 Q 表象中的表示： + = (a*1, a*2, ., a*n, . ),这就是用Dirac 表示的波函数 归一化条件。,由标积定义得:,本征函数的封闭性,成立。,本征矢 |Qn 的封闭性,投影算符,|Qn上，相当于把 | 投影到左基矢 |Qn 或 |q 上，即作用的结果只是留下了该态矢在 |Qn 上的分量 或 。故称 |Qnq| 为投影算符。,右矢空间,在

7、抽象的Dirac表象,Dirac 符号的特点是简单灵活。如果欲把上式写至 Q 表象，则只需在适当位置插入单位算符。,把公式 变到 Q 表象,算符 F 在Q 表象 中的矩阵表示的 矩阵元 Fm n,写成矩阵形式, = F ,Q 表象,X表象,算符,平均值公式,（1）X 表象描述与 Dirac 符号,总结,设体系的 Hamilton 量 H 中含有某参量 ，En 是 H的本征值，n 是归一的束缚态本征函数（n 为一组量子数），则,H - F 定理很有实用价值， H 中的 , 等都可以选为参数 。,H - F 定理,（1）证明一维谐振子 = 。,证,一维谐振子 Hamilton 量：,方法 I：,取

8、作为参数,由HF 定理,简记为,（三）实例,方法 II,令 = ,方法 III,取 = ,由HF 定理,由 HF 定理,（2）对类氢离子任何一个束缚态nlm ，求 1/r ,解,1）求1/r,取 Z 为变分参数,由HF定理,（3）证明维里定理,即,经典的多质点体系的一个动力学定理。对于一个稳定的自引力体系，存在下列关系：2T+=0，式中T为体系总的内部动能，为体系总引力势能。这就是维里定理。对于具有自转和磁场的稳定体系，维里定理为:2Tr2TtEm =0，式中Tr为转动总动能，Tt为无规则运动总动能，Em为总磁能。,（3）证明维里定理,即,证,I.在坐标表象,将 视为参数,由 HF 定理,II

9、.在动量表象,由HF定理,（4）对类氢原子定态，证明：,证,对类氢原子,由HF定理,由例（2）知：,（一）算符 a, a+, N. （二）占有数表象,返回,6 占有数表象,本节我们从新的角度讨论这一问题，引进占有数表象。,（2）定义新算符 a, a+, N.,令,证明二者满足如下对易关系,（一）算符 a, a+, N.,（1）坐标表象下的线性谐振子,证,证毕,（3）用算符a, a+ 表示振子Hamilton量,由 a, a+ 定义式 将算符 x, p 用新算符 a, a+ 表示出来,代入振子 Hamilton 量,2=/ ,（4） a, a+, N 的物理意义,I. a, a+ 的物理意义,将

10、 a 作用在能量本征态 n(x) 上,由n 的递推公式,用 Dirac 符号表示,其中 |n, |n-1, |n+1 等都是 H 的本征基矢， En, En-1, En+1。是相应本征值。,因为 振子能量只能以 为单位变化，所以 能量单位可以看成是一个粒子，称为“声子”。状态 |n 表示体系在此态中有 n 个粒子（声子）称为 n 个声子态。,粒子 湮灭算符,粒子 产生算符,显然有,振子基态的基矢,用产生算符 a+ 表示的振子基矢,II. N 的意义,上式表明， n 是N 算符的本征值，描写粒子的数目，故N 称为粒子数算符。,以 |n 为基矢的表象称为占有数表象,湮灭算符 a 的矩阵元,矩阵形式

11、为：,产生算符 a+ 的矩阵元,（二）占有数表象,（一）不同表象之间的变换和么正变换矩阵 （二）波函数和算符的变换关系 （三）么正变换的性质,7 么正变换矩阵,（1）么正变换矩阵,力学量 A, B 其本征方程分别为:,由于本征基矢 的封闭性 B 基矢可 按 A 的基矢展开：,展开系数：,（一）不同表象之间的变换和么正变换矩阵,写成矩阵形式,（2）S 矩阵的么正性,1）S+ S = I,2）S S+ = I,S+ S = S S+ S+ = S-1,所以,（3）如何求么正变换矩阵,方法 I：,方法 II ：,S 矩阵元S k, n = 1, 2, 3, . 即是 基矢 | 在A表象中的表示，,即

12、,反之，如果我们已经知道了某一力学量基矢在另一力学量表象中的表示，那末我们就可以直接把 S 变换矩阵写出来。,为清楚简单起见，假设：A 和B的本征矢各只有3个，分别为:|1, |2, |3 和 |1, |2, |3 。,|1 = S1 1|1 + S2 1|2 + S3 1|3 |2 = S1 2|1 + S2 2|2 + S3 2|3 |3 = S1 3|1 + S2 3|2 + S3 3|3,如果 | , ( = 1, 2, 3) 在A表象中的表示 已知：,在 A 表象中，B 的本征基矢可表示为：,将三列矩阵元按原列次序组成一个新矩阵：,就是由 A 表象到 B 表象的么正变换矩阵。,（1）

13、波函数变换关系,对任一态矢 |u 作用 A 的单位矢量,则,于是 |u 在 A 表象中的表示为：,同理：,则 |u 在 B 表象中的表示：,为了找出 b与 an 之间的 关系，我们对此式插入 A 表象的单位算符得：,b = S+ a = S-1 a,b 与 a 之间 的变换关系,（二）波函数和算符的变换关系,（2）算符 F 的变换关系,A 表象：,B 表象：,F = S+ F S = S-1 F S,（1）么正变换不改变算符的本征值,设 F 在 A 表象中的本征方程为：F a = a,在B 表象，,= S-1 a,F = S-1 F S b = S-1 a,F b =,= S-1 F a,= S-1 a,=b,可见，不同表象中，力学量算符 F对应同一状态（a 和 b 描写