量子力学教程(第二版)

1、引入,下面我们普遍地分析此问题.,当体系处于力学量 的本征态时,对其测量,可得一 个确定值,而不会出现涨落.但在其本征态下去测量 另一个力学量 时,却不一定得到一个确定值.,分析下列积分不等式 其中, 为体系的任意一个波函数, 为任意实参数.,3.3.1 不确定度关系的严格证明,设有两个任意的力学量 和,引进厄米算符,则,因为与为厄米算符， 所以,即,让,则(1)式仍成立.,再考虑到 就可得出,上式就是任意两个力学量 与 在任意量子 态下的涨落必须满足的关系式,即Heisenberg的不确定 度关系(uncertainty relation)的普遍表达式.,能是例外), 或者说他们不能有共同本

2、征态.,以找出它们的共同本征态.,由(2)式可以看出, 若两个力学量 与 不,对易, 则一般说来 与 不能同时为零, 即,与 不能同时测定. (但 的特殊态可,反之,若两个厄米算符 与 对易, 则可以,找出这样的态, 使 与 同时满足, 即可,坐标 的共同本征态,即 函数,相应本征值为,例如,采用球坐标, 角动量的平方算符表示为,3.3.2 的共同本征态,球谐函数,由于角动量的三个分量不对易, 一般无共同本征态.,分量(例如 )的共同本征态.,考虑到 的本征函数可以同时也取为 的本征态,其中, 是 的本征值( 无量纲), 待定.,并代入本征方程,化简本征方程,得,或,这就是连带Legendre

3、方程.,在 区域中, 微分方程有两个正则奇点, 其余各点均为常点.,时,方程有一个多项式解(另一解为无穷级数), 即连带 Legendre 多项式,可以证明, 只当,它在,区域中是有界的, 是物理上可接受的解.,利用正交归一性公式,满足,所以, 的正交归一的共同本征函数表示为,为球谐函数, 它们满足,在上面的式子中, 和 的本征值都是量子化的.,对于给定 , 的本征函数是不确定的, 因为 共有 个简并态. 就 是用 的本征值来确定这些简并态.,3.3.3 对易力学量完全集(CSCO),它们的共同本征态记为,设有一组彼此独立而且互相对易的厄米算符,表示一组完备的量子数.,设给定一组量子数,之后,

4、 就能够完全确定体系的唯一,一个可能状态, 则我们称,构成体系的一组对易可,观测量完全集 (complete set of commuting Observables, 简记为CSCO), 在中文教材中,习惯称为对易力学量完全集, 或简称为力学量完全集. 对易力学量完全集的概念与体系的一个量子态的制备密切相关.,按照态叠加原理, 体系的任何一个状态,均可用,来展开,H 为守恒量. 在此情况下, 如对易力学量完全集中包含,有体系的Hamilton量, 则完全集中各力学量都是守恒量,关于CSCO, 再做几点说明:,为复杂的问题.李政道曾经给出关于本征态的完备性的如,下重要的定理.,这里有两点值得提到:,3.3.4 量子力学中力学量用厄米算符表达,与Schrdinger方程是量子力学的一个基本假定一样,量子体系的可观测量 (力学量) 用一个线性厄米算符来,描述, 也是