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1、第三节一阶微分方程应用举例A step differential equation application example,第三节一阶微分方程应用举例,例 1 设曲线过点 (1, 1)，且其上任意点 P 的切线在 y 轴上截距是切点纵坐标的三倍，求此曲线方程.,解设所求的曲线方程为 y = y(x)，P(x, y) 为其上任意点，,则过点 P 的切线方程为,其中 (X, Y) 是切线上动点,(x, y) 是曲线上任意固定的点.,令 X = 0 ，得切线在 y 轴上的截距为 Y = y - xy，,y - xy = 3y，,这是一阶线性齐次方程，其通解为,因曲线过点 (1, 1). 代入方程，得

2、 C = 1.,所以曲线方程为,由题意得,例 2 设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力与他下落的速度成正比 (比例系数为常数 k 0)，,起跳时的速度为 0. 求下落的速度与时间之间的函数关系.,解设下落速度为 v(t)，,则加速度 a = v (t)运动，物体所受的外力为：,F = mg kv，,于是，由牛顿第二定律可得,mg - kv = mv ，,又由题意得初始条件,v |t = 0 = 0，,可见，初值问题,是一个一阶线性非齐次微分方程，其通解为,由 v(0) = 0 得 C = mg.,即为所求的函数关系.,所以，特解,得微分方程,由夹角正切公式得,分离变量,积分得,平方化简得,抛物线,

3、例 4 假设一高温物体在冷却剂中均匀地冷却，,物体的初始温度为 200C ，且由 200C 冷却到 100C 需要 40 s.,已知(冷却定律)：冷却速率与物体和介质的温度差成正比.,其介质(冷却剂)温度始终保持为 10C，,并求物体温度降到 20C 所需的时间.,解设物体温度为 q = q (t)，,则物体的冷却速率为 q (t) .,由冷却定律可得 q (t) 应满足的微分方程为,q (t) = - kq (t) -10 (k 0) ，,试求物体温度 q 与时间 t 的函数关系,另由题意知 q(t) 所满足的初始条件为,q |t = 0 = 200.,于是，初值问题是,解此初值问题，得特解,q(t) = 10 + 190e-kt .,因此，得,由于 (40) = 100，,即 100 = 10 + 190e-40k ，,最后，将 q = 20 代入上式，,即物体温度降到 20C 大约需要 2 min38 s .,从而得物体温度 q 与时间 t 的函数关系为,并解出,例5 如图所示，平行与 轴的动直线被曲

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