第九章(2)正弦稳态电路的功率

1、第九章 (2) 正弦稳态电路的功率,9(2).1 瞬时功率 9(2).2 平均功率 9(2).3 视在功率 9(2).4 功率因素、功率因素的提高 9(2).5 无功功率 9(2).6 复功率 9(2).7 正弦稳态最大功率传递定理 9(2).8 例题,基本概念 瞬时功率 p 定义为能量对时间的导数, 是由同一时 刻的电压与电流的乘积来确定的。亦即,9.(2).1 瞬时功率,如果 和 的参考方向一致，则 就是流入元件或网络的能量的变化率， 称为该元件或网络所吸收的功率。因此， 0 ，就表示能量确实流入元件或网络； 0 ，就表示能量实际上流出元件或网络。,单口网络的瞬时功率,正弦稳态电路中，电流

2、和电压是同频率的正弦量。不妨设,其中 是电压与电流的相位差。,网络 N 的瞬时功率随时间而变化。若 0 且 ，则 p(t) 的正负也随时间变化，说明网络 N 与外电路之间有能量往返，这是由于电路中存在储能元件的缘故。,网络 N 吸收的瞬时功率为：,R、L、C 元件的瞬时功率,电阻 R： = 0，,电阻是耗能元件，任一时刻吸收的电功率不为负值。,电感 L： = /2 ，,电容 C： = /2 ，,电感、电容的瞬时功率是正负对称交变的，一周期内吸收的电能与放出的电能相等。它们是不耗能的、储能的无源元件。,9(2).2 平均功率,单口网络的平均功率 P,平均功率指瞬时功率在一周期内的平均值，又称为有

3、功功率，简称为功率。平均功率表示电路吸收或产生电功率的平均速率。,网络 N 的平均功率与其端电压和端电流的有效值成正比，还与电压、电流相位差的余弦函数成正比。,可求得,其中 =cos 。P的单位：瓦特 (W),R、L、C 元件的平均功率,电阻 R： = 0，,电感 L： = /2 ，,电容 C： = /2 ，,这两个公式与电阻电路中计算电阻消耗功率的式子形式上完全相同。因此，如使用有效值，电阻元件所消耗的平均功率可以按直流电阻电流电路中所用的公式来计算。,在正弦激励时，电感、电容所吸收的平均功率均为零。,例：电路如图，已知 U100V，求 该单口网络吸收的总功率P及PR1、 PR2 。,解：,

4、显然有 P = PR1+ PR2+ PL+ PC = PR1+ PR2,平均功率守恒。单口网络从外电路吸收的总平均功率等于该网络内部各元件吸收的平均功率之和。 由R、L、C 组成的单口网络，网络吸收的总平均功率等于网络内各电阻元件平均功率之和。,单口网络的视在功率 S,定义：S = UI,S 的单位：伏安 (VA)、千伏安(KVA),称 S 为网络 N 的视在功率或表观功率。视在功率一般并不等于平均功率，它一般要比平均功率大。电源设备的容量一般用视在功率表示。,9(2).3 视在功率,功率因数,由 S = UI 及,得,称 为网络 N 的功率因数。,9(2).4 功率因素、功率因数的提高,若

5、0，则网络 N 吸收电能。 若 0，则网络 N 产生电能，N 中必含有源元件。 若网络 N 中无独立源，则 为该网络的阻抗角。,若网络N中仅含 R、L、C ，则必有 0，即 。, 不能反映 的正负，需另加说明。常以“滞后”表示电流滞后于电压， 角为正；以“超前”表示电流超前于电压， 角为负。,功率因数的提高,一般的用电设备是吸收电能的，即 cos 0。,负载的功率因数太低会带来两个问题：,1. 电源设备得不到充分利用,由 可知，电源容量 S 一定时，负载功率因数越小，电源可提供的有功功率也就越小。,2. 供电线路上损耗大,由 可知，当 U 和 P 一定时，功率因数越小，所需电流 I 也就越大，

6、而线路损耗与 I2成正比。提高功率因数可以减小电流，从而减小了输电线路上的电能损失。,常见负载为感性负载，可用并电容法提高其功率因数。,感性负载,9(2).5 无功功率,单口网络的无功功率,瞬时功率可改写为：,上式第一项符号不变，反映网络 N 与外电路之间的单向能量传送速率，其平均值即有功功率。上式第二项是正负半周对称的时间函数，它反映网络 N 与外电路之间能量往返交换的速率，是在平均意义上不能作功的无功分量，其最大值 UIsin 定义为网络 N 的无功功率。,Q 的单位：无功伏安，简称为：乏 (var)、千乏(kvar),定义网络 N 的无功功率 Q 为：,R、L、C 元件的无功功率,电阻

7、R： = 0，,电感 L： = /2 ，,电容 C： = /2 ，,电阻不吸收无功功率，电感吸收正值的无功功率，电容吸收负值的无功功率。,视在功率，平均功率和无功率之间的关系,例：电路如图，已知 U100V，求 该单口网络吸收的总无功功率 Q 及 Q L、Q C 。,解：,显然有 P = QR1+ QR2+ QL+ QC = QL+ QC,无功功率守恒。单口网络从外电路吸收的总无功功率等于该网络内部各元件吸收的无功功率之和。 由R、L、C 组成的单口网络，网络吸收的总无功功率等于网络内各电抗元件吸收的无功功率之和。,感性负载并电容提高功率因数的另一种解释,由,得,感性负载,并电容前，QQ L,

8、并电容后，QQ L+ Q C,由于 Q C 为负值，故 Q Q ；而并电容前后的平均功率 P 未变，因此并电容后功率因数 得到提高。,定义：,单口网络的复功率,其中 是电流相量的共轭复数，即复功率等于电压相量与电流相量之共轭复数的乘积， 是 u 与 i 的相位差。,9(2).6 复功率,有,复功率只是一个计算用的复数，定义复功率的目的是为了能直接用电压电流相量来求解功率问题。,复功率守恒：,用网络理论可以证明，网络 N 所吸收的总的复功率等于该网络内各元件吸收的复功率之和。这就是复功率守恒。复功率守恒包含着有功功率守恒和无功功率守恒。,特勒根定理1：,对于一个具有 n 个节点和 b 条支路的电

9、路，假设个支路电流和电压取关联参考方向，并令 和 分别为 b 条支路的电流和电压，则对任何时间 t ，有,用特勒根定理证明复功率守恒,证明：,设电路如图所示，电源施加于第1个回路中，其电压为 ，该回路的电流为 。电路中的其他回路均由R、L、C等无源元件组成，设电路共有b条支路，n个节点。,由KCL可得如下形式的 个方程,（第1节点）,(第 个节点),由此可得,设第n个节点为参考节点。把上列各个节点的方程乘以相应节点的节点电压，再相加，可得,由KLC可知支路电压与节点电压的关系为,又,因此，可得到用支路电压、支路电流表示的方程,这一方程中共有b项。如果改用 表示支路电压， 表示支路电流，则,其中

10、 为第k条支路的电压、电流，各支路电压、电流均为关联参考方向。,把上式用于右图所示电路，由于 为非关联参考方向，故得,右端的每一项表示网络内部某一支路的复功率。如果其中L条支路是由电阻构成，则,如果其中有h条支路是由电感 构成，则,如果其中有n条支路是由电容 构成，则,因此,其中,且,其中 为所有电感贮能平均值的总和， 为所有电容贮能平均值的总和。故得,例：电路如图，已知负载1的 P1=10kW，10.8(超前)；负载2的 P2=15kW，20.6(滞后)；U=2300V。求两负载吸收的总复功率及输入电流有效值 I。,解：,9(2).7 正弦稳态最大功率传递定理,含源网络等效阻抗：,负载等效阻

11、抗：,负载电阻获得最大功率的条件取决于电路内何者为定值，何者为变量。可分两种情况来讨论。,（动画11.1）,问题1：若 RL和 XL均可独立变化，（即 和 均可变），则 ZL为何值时，其吸收的平均功率为最大。,显然，要使 PL有最大值，必须 XL= - XS ，此时,将上式对 RL求导，并令,可求得 ： RL= RS,综上，有如下结论：,若负载 ZL 的实部和虚部可独立变化，则当 时，负载吸收的功率为最大，此最大功率为 ，称为最大功率传输定理。,这种阻抗匹配称为最大功率匹配或共轭匹配。,问题2：若 负载的 可变， 不可变，则 ZL 为何值时，其吸收的平均功率为最大。,将上式对 求导，并令,可求

12、得 ：,有如下结论：,若负载 ZL 的模可变，阻抗角不可变，则当 时，负载吸收的功率为最大。,这种阻抗匹配称为负载与电源内阻抗 (模) 匹配。,9(2).8 例题,例1：电路如图所示，电流 ，求电路的 P 、S 和 。,解：此电路为电阻、电容和电感组成的单口网络，求解电路的平均功率 P 可用几种方法。,求电路的功率 P,解法一：网络中只有电阻消耗功率，所有电阻消耗功率的总和即为单口网络的功率。,解法二：求单口网络的阻抗，网络消耗的功率等于端钮上电流有效值乘阻抗的实部。,解法三：求网络端口上电压有效值，网络消耗的功率等于端钮上电压、电流有效值相乘，再乘上 。,求视在功率 S,求功率因素,例2：如

13、图所示电路，求负载获得最大功率时，负载元件的参数值。并求负载平均功率 P 。,（1）负载即有电路也有动态元件；,（2）负载为纯电阻。,解：将负载以外的部分用戴维南定理化简，为此，断开负载，作相量模型如图所示。用节点法求开路电压 。,将电压源短路，电流源开路，求等效内阻抗,等效电路如图所示。,（1）当负载即有电阻也有动态元件时，获得最大功率的条件是负载阻抗等于内阻抗的共轭复数，称为共轭匹配。则,电抗部分为正，是电感元件,即负载为 的电阻与 的电感串联。此时最大功率为,（2）负载为纯电阻时，获得最大功率的条件是负载电阻等于内阻抗的模，称为模匹配。则,即负载为 的电阻，此时求负载上的功率不能运用上面

14、的公式，可用公式 为此需先求负载电流 。,最大功率,共轭匹配时负载获得的功率大于模匹配时获得的功率。,（a）,解：若想使R从给定电源获得最大功率，必须使负载 和 共轭匹配。,为使 R 获得最大功率，首先给 R 并联电容 ，可得,式中,其次，为使,在 并联组合与 间,再串联一个电容 ；如图（b）所示。,讨论：此题也可以先串联一个电容，再并联一个电容（图（b），但计算比较麻烦。,并使,各支路电流为,故电源发出的复功率为,各支路吸收的复功率分别为,各支路所吸收的复功率之和,计算结果表明电源发出的有功功率等于各负载吸收的有功功率之和，而电源发出的无功功率为各负载吸收的无功功率的代数和。电感吸收的无功功率为159.2 var ，电源仅发出59.2 var ，其余部分由电容器给予补偿。,例5：电路如图所示，,（1）求 负载的功率 P ； （2）求从电源端看的电路功率因数 ； （3）求 电阻上消耗的功率； （4）如果在负载两端并联电容 C ，如要使负载获得最大功率，问 C 该多大？负载得到的功率以及 电阻消耗的功率各是多少？,解：作相量模型如图所示。,（1）电阻的总阻抗,电流有效值,负载的功率,（2）从电