矩阵的特征值和特征向量总结

1、2020/7/7,1,第三章 矩阵的特征值与特征向量,1 方阵的特征值与特征向量,2 矩阵的对角化,2020/7/7,2,第1节,方阵的特征值与特征向量,2020/7/7,3,定义3.1,3.1.1 特征值与特征向量的基本概念,2020/7/7,4,例1,解,是,不是,2020/7/7,5,命题1,命题2,命题3,矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。,2020/7/7,6,它有非零解的充分必要条件是,即,怎样求矩阵A的特征值与特征向量？,2020/7/7,7,矩阵的特征方程和特征多项式定义3.2,A的特征方程,A的特征多项式,A的特征矩阵,特征方程的根称为A的特征根，也称为A的特征值。

2、,2020/7/7,8,求矩阵的特征值与特征向量的步骤,求矩阵A的特征方程,2.求特征方程的根，即特征值,3.对每个特征值,解方程组,求出该齐次线性方程组的通解，除去0向量 便得属于,的全部特征向量。,2020/7/7,9,例2：求矩阵的特征值和特征向量,解,A的特征多项式为,A的特征值为,2020/7/7,10,得基础解系,得基础解系,2020/7/7,11,练习:求下列矩阵的特征值和特征向量,解,A的特征多项式为,A的特征值为,即,对应的特征向量可取为,2020/7/7,12,对应的特征向量可取为,2020/7/7,13,3.1.2 特征值与特征向量的性质,定理1,定理2,推论,若 n 阶

3、方阵有互不相同的特征值,则其对应的特征向量,线性无关。,2020/7/7,14,定理3,2020/7/7,15,(2) 由于,2020/7/7,16,定理4,设 A 是 n 阶方阵，,是,的特征值.,若 为 A 的特征值，则,2020/7/7,17,2020/7/7,18,例3,设 A 是一个三阶矩阵，1，2，3是它的三个特征值，试求,（1） A的主 对角线元素之和 （2）,解,的特征值依次为,2020/7/7,19,例4,试证 n 阶矩阵 A 是不可逆(奇异)矩阵的充要条件是 A 中至少有一个特征值为0。,证明,因为,为A的特征值）,所以,的充分必要条件是至少有一个特征值,为零。,2020/

4、7/7,20,第2节,矩阵的对角化,2020/7/7,21,定义3.3,设 A和B为 n 阶矩阵,如果存在n 阶可逆矩阵P， 使得,则称A相似于B，或说A和B相似(similar) , 记做A B.,性质,（1）反身性 A相似于A,（2） 对称性 A相似于B，可推出B相似于A,（3） 传递性 A相似于B，B相似于C，可推出 A相似于C。,3.2.1 相似矩阵及其性质,2020/7/7,22,容易证明相似矩阵的如下性质：,（1）反身性，即,证明,证明,证明,2020/7/7,23,方阵的迹定义3.4,方阵的迹是它的主对角线上的元素和,例5,tr(A)=2+(-3)+0=-1,性质： (1) tr

5、(A+B)=tr(A)+tr(B) (2) tr(AB)=tr(BA) (性质3.1),2020/7/7,24,性质3.1 (2) 设,则,证明,故,2020/7/7,25,相似矩阵的性质,若A和B相似，则,A和B有相等的秩。,2.方阵A和B有相等的行列式。(性质3.2),证明（1）,2020/7/7,26,3.方阵A和B有相等的迹。(性质3.2),4.方阵A和B有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。 TH5,推论,如果矩阵A相似于一个对角矩阵，则对角矩阵的主对角线上的元素就是A的全部特征值。,2020/7/7,27,2020/7/7,28,定理3.6 n 阶矩阵A与n 阶对角矩阵相似的充分

6、必要条件是A有n个线性无关的特征向量。,充分性,3.2.2 矩阵的对角化,2020/7/7,29,必要性,设A相似于对角矩阵,即存在可逆矩阵B，使得,由B可逆便知：,都是非零向量，因而都是A的特征,向量，且,线性无关。,2020/7/7,30,推论,如果n阶矩阵A的特征值,互不相同,则A相似于对角矩阵,定理3.7,n 阶 矩阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每一个 重特征值 ,对应着 个线性无关的特征向量.,2020/7/7,31,相似变换,若A有n个线性无关的特征向量则A相似于对角阵,2020/7/7,32,例 矩阵 能否相似于对角阵?,解,A的特征方程为,得特征值为,2020/7/

7、7,33,对于,解方程组,解方程组,可求得特征向量,是对应于 的全部特征向量.,不存在两个线性无关的特征向量. 由定理可知A不能与对角阵相似.,因为 是二重根, 而对应于特征根,2020/7/7,34,将一个方阵A对角化,可以按P88如下步骤进行:,2020/7/7,35,注(1):若A的全部线性无关特征向量个数小于n 个,则不能对角化,此时A只能化为若当标准形.,2020/7/7,36,例 用相似变换化下列矩阵为对角阵,解:,A的特征方程为,特征值为,对于,可求得特征向量,对于,可求得线性无关的特征向量,这三个特征向量线性无关,2020/7/7,37,2020/7/7,38,练一练,用相似变换化矩阵为对角形.,2020/7/7,39,应用 :利用对角化计算矩阵的幂,2020/7/7,40,设,解:,A的特征方程为,特征值为,对应的特征向量为,对应的特征向量为,例7,2020/7/7,41,练习 已知,问 满足什么条件时，A可对角化？,解 首先,所以，A的特征值为2（重数为1）和1（重数为2）。,2020/7/7,42,考虑 A的特征值 1。对方程组 ， 仅当 秩 时，才能使基础解系含 2个解向量。,又,故 。,所以，当 时，A可对角化