高一数学映射与函数

1、制作：黄健,映 射 与 函 数,1.集合与元素简单关系：,复 习：,2.集合与集合之间的关系:,新课：,初中我们学过一些“对应”的例子：,（1）对于任何一个实数，数轴上都有唯一的点和它对应；,（2）对于坐标平面内的任何一个点，都有唯一的有序 实数对（x,y）和它对应；,（3）对于任意一个三角形，都有唯一的确定的面积 和它对应；,（4）对于任意一个二次函数，相应坐标平面内都有 唯一的抛物线和它对应。,问题3：你还能找出生活中的一些 “对应”的例子吗？,A,B,对应,*从集合的角度来讲，这些对应是集合之间根据 一定的法则进行的对应,法则f,回到前面,（1）对于任何一个实数，数轴上都有唯一的点和它对

2、应；,（2）对于坐标平面内的任何一个点，都有唯一的有序 实数对（x,y）和它对应；,A=R，B=数轴上的点,A=坐标平面内的点，B=（x,y）| x , y R ,（3）对于任意一个三角形，都有唯一的确定的面积 和它对应；,A=三角形，B=三角形的面积,（4）对于任意一个二次函数，相应坐标平面内都有 唯一的抛物线和它对应。,A=二次函数，B=坐标平面内的抛物线,法则f：在数轴上画点,法则f：在坐标平面内画点,法则f：求面积,法则f：画图像,开平方,求正弦,求平方,乘与2,(1),(4),(3),(2),前进,总结：,对于集合A中的任何一个元素，按照某种法则f， 在集合B中都有确定的（一个或多个

3、）元素和它对应。,回上图,发现规律：上图（2）（3）（4）中，A中任何一个 元素在B中都有唯一的元素和它对应,问题4：前面是各张图中，A中元素和B中分别 是怎样的对应？,定义1：,一般地，设A、B是两个集合。如果按照某种对应法则，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A、B及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射。记作：f：AB,注意：,（2）符号“f：AB”表示A到B的映射；,（3）映射有三个要素：两个集合，一种对应法则；,（4）集合的顺序性：f：AB 与 f：BA是不同的：,（5）箭尾集合中元素的任意性（少一个也不行）。 箭头集合中元素

4、的唯一性（多一个也不行）。 即只能多对一、一对一，不能开花！,（1）映射是一种特殊的对应；,(4),(3),问题4：根据映射定义，指出哪些对应是A到B的映射？,例1：判断下面的对应是否为映射 ：,（1）设A=1，2，3，4，B=3，4，5，6，7，8，9。 集合A中的元素x按照对应法则“乘2加1”和集合B中的 元素2x+1对应，这个对应是否为集合A到集合B的映射？ 为什么？,（2）设A=N+，B=0，1。集合A中的元素x按照对应 法则“x除以2得的余数和集合B中的元素对应”，这个对 应是否为集合A到集合B的映射？为什么？,（3）设A=x | x是直角三角形，B=y | y0,集合A 中的元素x

5、按照对应法则“计算面积”和集合B中的元素对 应，这个对应是否为集合A到集合B的映射？为什么？,定义2：,给定一个集合A到集合B的映射，且aA， bB。如果元素a和元素b对应，那么我 们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元 素b的原象。,a的象,b的原象,(1),(4),(3),(2),的原象,450的象,给定映射f：AB。则集合A中任何一个元素在集 合B中都有唯一的象，而集合B中的元素在集合A 中不一定都有原象，也不一定只有一个原象。,注意：,比如：,问题5：图中所示的三个对应 是不是映射？,问题6：图中的（1）（2）所示的映射有什么特点？,发现规律：,（1）对于集合A中的不同元素，在集合B中

6、有不同的象， 我们把这样的映射称为单射。,（2）集合B中的每一个元素都有原象，我们把这样 的映射称为满射。,问题7：单射满射=?,定义3：,前进,定义3：一般地，设A、B是两个集合。f：AB 是集合A到集合B的映射，如果在这个映射 下，对于集合A的不同元素，在集合B中 有不同的象，且B中每一个元素都有原象， 那么这个映射叫做A到B上的一一映射。,单射,满射,一一映射,充要条件,返回,注意：,（1）一一映射是一种特殊的映射。,（2）映射和一一映射之间的充要关系,（3）一一映射： A和B中元素个数相等,映射是一一映射的必要而不充分条件,例2：判断下面的对应是否为映射 ，是否为一一映射？,（1）A=0,1,2,4,9,B=0,1,4,9,64, 对应法则 f：a b = (a-1)2,答：是映射，不是一一映射。,（2）A=0,1,4,9,16,B=-1,0,1,2,3,4, 对应法则 f：求平方根,（3）A=Z，B=N*，对应法则 f：求绝对值,（4）A=11,16,20,21,B=6,2,4,0, 对应法则 f：求被7除的余数,答：不是映射。,答：不是映射。,答：是映射，且是一一映射。,练习：课本49页1-4,课时小结