数列求和的基本方法和技巧

1、数列求和基本方法： 公式法 分组求和法 错位相减法 裂项相消法 并项求合法,一.公式法：,等差数列的前n项和公式： 等比数列的前n项和公式 ： ,例1：,求和：,一、分组法求和,有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.,cn=an+bn,(an、bn为等差或等比数列。）,反思与小结： 要善于从通项公式中看本质：一个等差n 一个等比2n ，另外要特别观察通项公式，如果通项公式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规律解题.,分组求和法,+,n,1,1.求数列,+,2,3,+,的前n项和 。,2,+,解

2、：,=,+,=,+,分组求和法,解：设,将其每一项拆开再重新组合得,（分组）,n个,二、错位相减法：,如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.,既anbn型,等差,等比,2错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求.,【错位相减法】设 an的前n项和为Sn，ann2n，则Sn,例1 求数列 前n项的和,2020/7/8,13,已知数列,2020/7/8,14,解：第一步，写出该数列求和的展开等式,第二步，上式左右两边乘以等比数列公比,2020/7/8,15,第三步，两式进

3、行错位相减得：,化简整理得:,1. 设数列 满足a13a232a33n1an ，aN*. (1)求数列 的通项； (2)设bn ，求数列 的前n项和Sn.,变式探究,1设数列 满足a13a232a33n1an ，aN*. (1)求数列 的通项； (2)设bn ，求数列 的前n项和Sn.,解析：(1)a13a232a33n1an ，,(2) bnn3n，Sn13232333n3n， 3Sn132233334(n1)3nn3n1 两式相减，得2Sn332333nn3n1，,2020/7/8,19,1、,2、已知数列,求该数列的前n项和。,三、裂项求和法：,把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都

4、可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为分裂通项法.（见到分式型的要往这种方法联想）,常见的裂项公式有：,常见的裂项公式有：,例1：求和,裂项法求和,提示：,1-22+32-42+(2n-1)2-(2n)2=？,局部重组转化为常见数列,四、并项求和,练习： 已知Sn=-1+3-5+7+(-1)n(2n-1), 1)求S20,S21 2)求Sn,S20=-1+3+(-5)+7+（-37）+39,S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+39+（-41）,=20,=-21,五.相间两项成等差等比综合,an是等差数列，an=1+(n-1

5、)=n,1. 若a1=1, 且an+am=an+m(n,mN*), 则an=_,解: n=m=1时，a2 = a1+a1=2, 得a1=1, a2=2,m=1时,由an+am=an+m 得an+1=an+1，即an+1-an=1,n,2. 若b1=2，且bmbn=bm+n，则bn=_,解：n=m=1时，b2=b1b1=4 , 即b1=2，b2=4，,m=1时,由bnbm=bn+m 得bn+1=bn b1=2bn，,故bn是首项为b1=2 ，公比为q=2的等比数列，,bn=22n-1=2n,2n,练习,解：(1)证明：由题意得2bn1bn1， bn112bn22(bn1) 又a12b111， b10，b1110. 故数列bn1是以1为首项，2为公比的等比数列,3已知二次函数f(x)x25x10，当x(n，n1 (nN*)时，把f(x