高等数学第三章(改)

1、第三章,中值定理,应用,研究函数性质及曲线性态,利用导数解决实际问题,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒公式 (第三节),微分中值定理,与导数的应用,第一节 微分中值定理 第二节 洛必达法则 第三节 泰勒公式 第四节 函数的单调性 第五节 函数的极值与最值 第六节 曲线的凹凸性与拐点 第七节 简单函数图形的描绘 第八节 曲率 第九节 导数在经济中的应用,第三章 微分中值定理及导数的应用,第一节 微分中值定理,且,存在,证: 设,则,证毕,费马(fermat)引理,第一节 微分中值定理,满足:,(1) 在闭区间 a , b 上连续,(2) 在开区间 (a , b) 内可导,(3)

2、 f ( a ) = f ( b ),使,证,故在 a , b 上取得最大值,M 和最小值 m .,1.若 M = m , 则,因此,在( a , b ) 内至少存在一点,则,罗尔定理,第一节 微分中值定理,2. 若 M m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,不妨设,则至少存在一点,使,注:,1) 定理条件不全具备, 结论不一定成立.,如,则由费马引理得,2) 定理条件只是充分的.,第一节 微分中值定理,使得,使,怎样用罗尔定理证方程的根的存在性,例 已知,证明:,证 令,第一节 微分中值定理,例 证明方程,有且仅有一个小于1 的,正实根 .,证 1) 存在性 .,则,在 0 ,

3、1 连续 ,且,由零点定理知存在,使,即方程有小于 1 的正根,2) 唯一性(反证法) .,假设另有,为端点的区间满足罗尔定理条件 ,但,矛盾.,设,第一节 微分中值定理,证,(1) 在闭区间 a , b 上连续,满足:,(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导,则至少存在一点,即证,设常数k的方法：,使,使,故结论成立.,拉格朗日中值定理,故构造函数,第一节 微分中值定理,怎样用拉格朗日定理,1. 何时用：出现 2. 怎样用? 用来证明不等式和等式.,例 证明不等式:,证 设, 则,(有限增量形式),时,第一节 微分中值定理,故,即, 则,例,设,证,在 I 上为常数 .,第一节 微分中

4、值定理,柯西(Cauchy)中值定理,证,及,(1) 在闭区间 a , b 上连续,(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导,(3)在开区间 ( a , b ) 内,则至少存在一点,使,满足 :,设,由罗尔定理知,故,则,第一节 微分中值定理,怎样用柯西中值定理,(何时用),例 证明,证,左边,费马(1601 1665),法国数学家,他是一位律师,数学,只是他的业余爱好.,他兴趣广泛,博,览群书并善于思考,在数学上有许多,重大贡献.,他特别爱好数论,他提出,的费马大定理:,至今尚未得到普遍的证明.,他还是微积分学的先驱 ,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中,提炼出来的.,拉格朗日

5、 (1736 1813),法国数学家.,他在方程论, 解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百,余年来, 数学中的许多成就都直接或间,接地溯源于他的工作,他是对分析数学,产生全面影响的数学家之一.,柯西(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论, 微积,分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远 .,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展.,复变函数和微分方程方面 .,一生发表论文800余篇, 著书 7 本 ,1.洛必达法则

6、2.,第二节 洛必达法则,存在 (或为 ),型未定式）,定理（,证,第二节 洛必达法则,( 在 x , a 之间),令,在指出的邻域内任取,则,在以 x, a 为端点的区间上满足柯,故,西定理条件,洛必达法则,第二节 洛必达法则,说明：在定理中把,换为,条件 2) 作相应的修改 , 结论仍然成立.,换为,例 求,解,原式,注: 1.不是未定式不能用洛必达法则 !,第二节 洛必达法则,解：,注: 2.,例 求, 上式极限不存在, 故不能用此法则.,不存在(或不为)不能用洛必达法则!,第二节 洛必达法则,(不能用罗必达法则),例 求,解,注意到, 故原式,注: 3.洛必达法则可与其他方法结合使用

7、!,第二节 洛必达法则,例 求,解,原式, n 为正整数),注: 4.洛必达法则可连续使用 !,注: 5.无限循环型不能用罗必达 !,例如，,第二节 洛必达法则,其他未定式:,方法:,通分,取倒数,取对数,例,例,第二节 洛必达法则,例 求,解,练习:,第二节 洛必达法则,小结,求极限,（用洛必达）,不用洛必达,其中 可用重要极限,第三节 泰勒公式,泰勒公式,拉格朗日中值定理：,令,设,则,第三节 泰勒公式,公式 称为 的 n 阶泰勒公式 .,公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .,泰勒中值定理 :,阶的导数 ,时, 有,其中,则当,第三节 泰勒公式,1. 带有拉格朗日余项的泰勒公式： 麦

8、克劳林公式：取 2. 带有佩亚若型余项的泰勒公式：,3. 麦克劳林公式：,第三节 泰勒公式,几个初等函数的泰勒展开式,第三节 泰勒公式,第四节 函数的单调性,定理 在 上可导.则,第四节 函数的单调性,证,求 单调性的步骤：,1）求,第四节 函数的单调性,其单调区间:,在每个区间上,2）,判断导数的符号从而判断单调性.,若,则,单调递增,则 单调递减,例 求,若,3）以,为分界点把定义域划分成几个区间,求出,的点及,不存在的点:,的单调区间.,解,导数不存在的点为,第四节 函数的单调性,其单调区间,则单调递减,则单调递增,则单调递增,的单调区间.,例 求,解,则,第四节 函数的单调性,证不等式

9、：1）,步骤： 设,若无法判别,的符号,则再次求导.,求,若,则,于是,若仍无法判断,可重新设,或用其他方法.,例 当 时，证,证 设,第四节 函数的单调性,则,故重设,则,时，,令,则,则,时,第四节 函数的单调性,设,时，,2）,第四节 函数的单调性,的大小.,比较,和,设,解,例 比较,的大小,和,则,极值,第五节 函数的极值与最值,定义,在其中当,时,(1),则称 为 的极大值点 ,称 为函数的极大值 ;,(2),则称 为 的极小值点 ,称 为函数的极小值 .,极大值点与极小值点统称为极值点 .,极值与最值的关系,i)极值为局部的，最值是整体而言的.,ii)在(a,b)内, 最值为极值

10、; 在(a,b)内唯一的 极值为最值.,取得极值的必要条件：,第五节 函数的极值与最值,导数为零的点称为驻点.,取得极值的充分条件I,(1),(2),第五节 函数的极值与最值,是极大值,极大值,是极小值,极小值,第五节 函数的极值与最值,的极值的步骤:,ii),求,例,是极小值点.,取得极值的充分条件II：,第五节 函数的极值与最值,证,第五节 函数的极值与最值,求极值的方法二:,例 求函数,的极值.,解 1) 求导数,2) 求驻点,令,得驻点,3) 判别,因,故 为极小值 ;,又,故需用第一判别法判别.,第五节 函数的极值与最值,讨论方程根的问题,例 确定 根的情况.,第五节 函数的极值与最

11、值,解 设,则,令,则,是最大值,讨论,只有一个根,有两个根,原方程没有根,第五节 函数的极值与最值,时，f(x)=0,时，,时，,将极值与极值的保号性结合,第五节 函数的极值与最值,例 设,的某邻域内连续,解,故选B.,B,第五节 函数的极值与最值,例 设,解,求出,1. 在闭区间 上的最值:,最值的求法,的点和,不存在的点:,比较,的大小.,第五节 函数的极值与最值,2. 在开区间 上的最值:,求出,的点和,不存在的点:,比较,的大小.,例,第五节 函数的极值与最值,最值应用题,例,解 设,点,第五节 函数的极值与最值,例,解,则,则n=e.,当ne时， 当0ne时，,第五节 函数的极值与

12、最值,2)解 设,则,而,时,故无法判断.,2)法一(利用单调性的判定):设,法二(利用最值的方法):设,是唯一极小值,故是最小值,得证.,第六节 曲线的凹凸性与拐点,凹凸的定义及判别法：,定义,图形上任意弧段在弦的下方,图形上任意弧段在弦的上方,递增,上二阶导数存在,定理,设,在,第六节 曲线的凹凸性与拐点,凹凸的判别法, 则,证 设,则,令,故,要证,第六节 曲线的凹凸性与拐点,拐点:连续曲线上有切线的凹凸分界点.,拐点及其判定,判定:,若曲线,或不存在,的一个拐点.,例 求曲线,的拐点.,解,不存在,凹,凸,第六节 曲线的凹凸性与拐点,点 ( 0 , 0 ) 为曲线,的拐点 .,求凹凸区

13、间与拐点的步骤:,1）求出,的点和,不存在的点,每个区间上,判断 的符号从而判断凹凸性.拐点.,2）以,为分界点把定义域划分成几个区间,用凹凸性证明不等式,例,证,故结论成立.,是凸的,1.,第六节 曲线的凹凸性与拐点,.,2.,例,解 设,第六节 曲线的凹凸性与拐点,则,又,即,证,第七节 简单函数图形的描绘,函数图形描绘的步骤:,第七节 简单函数图形的描绘,第七节 简单函数图形的描绘,例 作函数 的图像.,解,第七节 简单函数图形的描绘,拐点,极小值,(3),不存在,(4) 渐近线,第七节 简单函数图形的描绘,(5)求特殊点的函数值：,第七节 简单函数图形的描绘,极小,1）奇函数,2）,3) 渐近线,故x=0是垂直渐近线,故y=x是斜渐近线,第八节 曲率,弧微分,曲率,曲率半径,曲线的弯曲程度,与切线的转角有关,与曲线的弧长有关,定义,弧段 上的平均曲率,点 M 处的曲率,注: 直线上任意点处的曲率为 0 !,第八节 曲率,弧微分公式,第八节 曲率,故曲率计算公式为,又,曲率K 的计算公式,二阶可导,设曲线弧,则由,第八节 曲率,例,解,显然,第八节