第2章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析2.5.ppt

1、,。,2.5 影子价格,（2.5.1）,（2.5.2）,2.5.1 对偶变量的经济解释影子价格 从强对偶定理2.2.2可知，当线性规划问题（LP）与其对偶线性规划问题(DLP)都达到最优解时，原问题与对偶问题的目标函数值相等，即有,改变原最优基的情况下），则可由（2.5.2）将z对,。因此, 对偶变量的经济意义反映了资源的边际价值, 又称为影子价格（Shadow Price）。影子价格又称为边际价格(marginal price）或最优计划价格，它表明在资源最优利用的条件下增加单位第i(i=1, 2,m）种资源使目标函数最优值增加的数量。,影子价格另一层含义是：如果增加第i(i=1,2,m)种

2、资源的投入，影子价格就是经营者愿意为每单位该种资源付出的最大价格。,资源的影子价格反映了资源在系统内的稀缺程度，影子价格一定是在资源达到最优配置的条件下来衡量的，而且资源影子价格的大小与所在的经济系统(资源限量、消耗系数以及产品的价值系数以及市场需求等因素)有关。当第i种资源限量发生变化时，那么这种资源的稀缺程度也发生了变化，或者当第i种资源限量不变而别的资源的限量发生了变化时，第i种资源的稀缺程度也发生了变化，从而第i种资源的影子价格也发生了变化。,2.5.2 资源影子价格的灵敏度分析,例2.5.1中，如木工工时的影子价格为2元，是在其他条件不变的情况下，木工工时在一定的范围内的影子价格,

3、这个范围恰好是2.4.2约束条件右端常数项的灵敏度分析中 的变化范围 , 所以约束条件右端的常数项的变化范围就是对应资源影子价格不变的范围。当 , 木工工时的相对稀缺程度增大，因此木工工时的影子价格要超过2元；当 时，木工工时的相对稀缺程度降低，因此木工工时的影子价格要小于2元。我们可以通过换基迭代继续求解, 求出木工工时的影子价格 随着 变化而变化的函数关系。,同样分析油漆工工时影子价格 随着 变化而变化的函数关系。,影子价格在微观经济分析中有着重要的应用，它是增收节支提高效率实 现资源最有效配置的理论依据，也是估算资源价格和产品成本核算的出发点。,。,2.6 线性规划应用案例,2.6.1

4、经理会议建议的分析,用线性规划解决经济管理和生产中的优化问题，首先要将实际问题抽象为数学模型，是一项技巧性很强的创造性工作，然后通过软件求解，并对求解结果进行分析。下面通过几个例子介绍线性规划的应用案例。,表2.6.1 生产单位产品耗用的工时和原材料数据,max =30*x1+20*x2+50*x3; x1+2*x2+x3=70; x3=240;,（2）可行，但不能增加利润。因为它本身的影子价格才是20元。 (用LINGO求解可以得到四种资源的影子价格分别是0，15，0，20元)。,结合灵敏度分析知，原料 的影子价格等于20的范围是300,330，当补 充原料 的数量超过30 kg时，影子价格

5、等于0（小于20元），不可行。,例2.6.2 一种汽油的特性可用两个指标描述: 其点火性用“辛烷数”描述,其挥发性用“蒸汽压力”描述。某炼油厂有四种标准汽油, 其标号分别为1, 2, 3,4，其特性及库存量列于表2.6.2中，将上述标准汽油适量混合，可得两种飞机汽油，某标号为1，2，这两种飞机汽油的性能指标及产量需求列于表2.6.3中。问应如何根据库存情况适量混合各种标准汽油，使既满足飞机汽油的性能指标，而产量又最高。,2.6.2汽油配料模型,表2.6.2 各种标号的标准汽油的特性与存量,整理以后就是线性规划模型。 用LINGO求解的输入模型：,max=x1+x2+x3+x4; x5+x6+x

6、7+x8=250000; x1+x5=0; 7.5*x5-7.0*x6-13.0*x7+8.0*x8=0; 2.85*x1-1.42*x2+4.27*x3-18.49*x4=0; 2.85*x5-1.42*x6+4.27*x7-18.49*x8=0;,例2.6.3 某投资公司拟制定今后5年的投资计划，初步考虑下面四个投资项目： 项目A：从第1年到第4年每年年初可以投资，于次年年末收回成本，并可获利润15%； 项目B：第3年年初可以投资，到第5年年末可以收回成本，并获得利润25%,但为了保证足够的资金流动，规定该项目的投资金额上限为不超过总金额的40%； 项目C：第2年年初可以投资，到第5年年末

7、可以收回成本，并获得利润40%,但公司规定该项目的最大投资金额不超过总金额的30%； 项目D：5年内每年年初可以购买公债，于当年年末可以归还本金, 并获利息6%。 该公司现有投资金额100万元, 请帮助该公司制定这些项目每年的投资计划,使公司到第5年年末核算这5年投资的收益率达到最大。,2.6.3连续投资问题,解 虽然这是一个连续投资问题，但可以把5年的投资计划一并考虑。用决策变量 (i=1,2,3,4,5) 分别表示第i年年初为项目A,B,C,D的投资额，根据问题的要求各个变量对应的关系见2.6.4，表中的空白处表示当年不能为该项目投资，也可以认为投资额等于0。,表2.6.4 连续投资问题各

8、变量的对应关系,项目,年份,首先注意到，项目D每年都可以投资，并且当年末就能收回本息，所以公 司每年都应该把全部资金投出去。因此投资方案应满足以下条件：,第1年：将100万元资金全部用项目A和D的投资，即,第2年：第2年初可投资项目A、C、D的资金是第1年项目D投资收回的本息之和,第5年：第5年初投资于项目D的资金是第3年项目A投资和第4年项目D投资收回的本息之和,第4年：第4年初可投资项目A、D的资金是第2年项目A投资和第3年项目D投资收回的本息之和,问题的目标是第5年年末公司收回四个项目全部总和最大，即,于是我们所建立线性规划问题的数学模型为：,用LINGO求解,max=1.15*x41+

9、1.25*x32+1.4*x23+1.06*x54; x11+x14=1000000; x21+x23+x24-1.06*x14=0; x31+x32+x34-1.15*x11-1.06*x24=0; x41+x44-1.15*x21-1.06*x34=0; x54-1.15*x31-1.06*x44=0; x32=400000;x23=300000;,得最优解：,即连续投资方案为：第1年用于投资项目A的金额为716981.1元，项目D的金额为283018.9元；第2年用于项目C的投资金额为300000元（这部分资金是第1年投资项目D收回的本息之和）；第3年用于项目A的投资金额为424528.

10、3元，用于项目B的投资金额为400000元（这两部分资金是第1年,投资项目A收回的本息之和）；第4年不投资；第5年用于项目D的金额为 488207.5元（这部分资金是第3年投资项目A收回的本息之和），可使该公司到第五年末核算收益率最大。到第5年年末该公司拥有总资金1437500元,五年期间的收益率43.75%。,2.6.4物资供应问题,可以按照一般解线性规划的方法用LINGO求解。此处由于运输问题的特殊性，下面给出用LINGO求解运输问题的程序： model: ! A 4Warehouse, 4 Customer Transportation Problem; SETS: WAREHOUSE

11、/ WH1.WH4/ : CAPACITY; CUSTOMER / C1.C4/ : DEMAND; LINKS( WAREHOUSE, CUSTOMER) : COST, VOLUME; ENDSETS ! The objective; OBJ MIN = SUM( LINKS: COST * VOLUME); ! The demand constraints; FOR(CUSTOMER( J): DEM SUM(WAREHOUSE( I): VOLUME( I, J) =DEMAND( J); ! The supply constraints; FOR( WAREHOUSE( I): SU

12、P SUM( CUSTOMER( J): VOLUME( I, J) =CAPACITY( I); ! Here are the parameters; DATA: CAPACITY=50,60,50,50;DEMAND=50,70,30,60; COST=16,13,22,17,14,13,19,15,19,20,23,1000,12,1000,10,1000; ENDDATA end,2.6.5多工厂模型,例2.6.5 一家公司有A和B两个工厂，每个工厂生产两种同样的产品。一种是普通的，一种是精制的。普通产品每件可盈利10元，精制产品每件可盈利15元。两厂采用相同的加工工艺研磨和抛光来生产

13、这些产品。A厂每周的研磨能力为80小时，抛光能力为60小时；B厂每周的研磨能力为60小时，抛光能力为75小时。两厂生产各类单位产品所需的研磨和抛光工时（以小时计）如表2.6.6所示。另外，每类每件产品都消耗4公斤原材料，该公司每周可获得原材料120公斤，分配给A厂75公斤，B厂45公斤。问应该如何制定生产计划可使总产值达到最大？,表2.6.6 多工厂模型技术系数,但是由于120公斤原料可以在两个工厂按照收益最大来分配，让模型来确定原材料的分配，则公司模型1为,max=10*x1+15*x2; 4*x1+4*x2=75; 4*x1+2*x2=80; 2*x1+5*x2=60;,max=10*x3+15*x4; 4*x3+4*x4=45; 5*x3+3*x4=60; 5*x3+6*x4=75;,max=10*x1+15*x2+10*x3+15*x4; 4*x1+4*x2+4*x3+4*x4=120; 5*x3+3*x4=60;5*x3+6*x4=75; 4*x1+2*x2=80;2*x1+5*x2=60;,max=10*x1+15*x2+10*x3+15*x4; 4*x1+4*x2+4*x3+4*x4=120; 4*x1+2*x2+5*x3+3*x4=140; 2*x1+5*x2+5*x3