哈密尔顿系统中的电磁理论.ppt

1、哈密尔顿系统中的电磁理论和辛算法，余之源，哈密尔顿系统，大多数非耗散的物理或化学现象可以用时间演化为辛变换和流动保持对称结构的哈尔顿微分方程来模拟。冯光权，秦明志，哈密顿系统的对称几何算法，浙江科学技术出版社，2003，前言，1。什么是哈密顿系统？现代经典力学可以用三个系统来描述，即经典牛顿力学、拉格朗日系统和哈密顿系统。从某种意义上说，哈密顿系统更为本质和重要。因为所有的保守系统，无论是有限的还是无限的，经典的还是量子的，都可以在哈密顿系统下统一表达。哈密顿系统在固体力学、刚体动力学、不可压缩流体力学、控制理论、量子力学、统计物理、固体物理力学、生物学、化学等学科中具有非常重要的理论意义。哈

2、密尔顿力学和拉格朗日力学、牛顿力学、拉格朗日力学和哈密尔顿力学是经典力学的三种不同表述。哈密顿力学起源于拉格朗日力学。哈密尔顿力学是1833年以色列数学家威利安罗恩哈密尔顿给出的经典力学的另一个表达式。它可以表示为2n维空间中的一阶微分约束。拉格朗日力学是由约瑟夫刘易斯拉格朗治于1788年提出的。(它们都早于1860年电磁理论中的麦克斯韦方程。)它可以表示为N维空间中的二阶微分约束。他们从两个方面提供了对经典力学的见解：第一，经典力学的广义结构及其与量子力学的关系。20世纪量子力学的创始人之一薛定谔曾经说过，“哈密顿原理已经成为现代物理学的基石。如果你想用现代理论解决任何物理问题，你应该首先用

3、哈密顿形式来表达它。”哈密顿系统是描述各种保守物理和力学过程的三种基本形式之一。它是一种特殊的几何结构。系统的几何结构辛结构是系统的数学基础，哈密顿系统是重要的。实践证明，不仅所有耗散可忽略的真实物理过程都可以表示为哈密顿系统，而且生物和化学过程都可以用哈密顿系统来描述。其中，汉密尔顿系统在生物学、药理学、半导体超导和等离子体方面的研究被列为美国研究计划的重点，称为大挑战。理想流体力学、弹性力学、电动力学、量子力学和量子场论、广义相对论、孤子和非线性波动理论都可以用哈密顿系统来描述。可以看出，哈密尔顿系统是普遍的，也就是说，它可以把不同的物理定律变成统一的数学形式。因此，系统研究哈密顿系统的计

4、算方法具有重要意义。为什么哈密顿系统可以用来描述电磁现象？哈密顿系统理论是当代物理和数学领域的一个重要理论。所有守恒的物理过程，无论它们的自由度是有限的还是无限的，无论是经典物理还是量子物理，都可以用适当的哈密顿系统来表示。它的数量可以减少到一个适当的哈密尔顿函数，它满足统一的哈密尔顿方程。更广泛地说，可以认为所有耗散效应可忽略的真实物理过程都可以用哈德良方程的形式以某种方式表达。因此，麦克斯韦方程可以写成无限维哈密顿方程。这样，我们可以从另一个角度分析、研究和计算电磁现象。对其数值方法的研究无疑具有重要意义。相同的物理定律以不同的数学等价形式表达。然而，由于原则上的差异，不同的技术方法将被启

5、发用于“解决问题”。虽然它在数学上是等价的，但在实践中却不是等价的。因此，从不同的数学等价形式中做出合理而明智的选择是非常重要的。3 .为了研究牛顿力学，英国天文学家哈密尔顿引入广义坐标和广义动量来表示系统的能量。它们统称为哈密顿函数。对于一个有2n个自由度的系统，N个广义坐标和N个广义动量构成一个2n维相空间。所以牛顿力学变成了相空间中的几何。哈密尔顿系统的经典表达式是，其中q是广义坐标，p是广义动量，H是哈密尔顿函数H(q，p)，即哈密尔顿能量函数，哈密尔顿函数，哈密尔顿函数代表系统的总能量HTV，其中t是动能，v是势能(见金凹孔电磁波理论)，哈密尔顿系统的基本特征，哈密尔顿系统的两个基本

6、特征是它的结守恒和能量守恒。对于动态系统，这被称为哈密顿结构保持。如果(1)是辛流形(m)上的哈密顿系统，它将保持辛结构不变。哈密顿系统的另一个特点是能量守恒。也就是说，它保持哈密顿函数(能量)沿轨道不变：0，3哈密顿系统和辛几何。在哈密顿系统中，对于一个具有2n个自由度、n个广义坐标和n个广义动量的系统，发展了一个2n维相空间。所以牛顿力学变成了相空间中的几何。从现代的观点来看，这是一个辛几何。哈密顿系统的理论基础是辛几何，因此系统随时间的演化总是辛变换演化。辛差分格式对于哈密顿系统的计算是必不可少的。例如，经典的RK方法不适用于求解Hamilton系统问题，并且不能保持长期的数值稳定性。例

7、如，当步长为0.1时，计算200，000步后获得的结果是无法识别的。这是因为它不是辛算法，而是耗散算法。注：(龙格-库塔法是求解常微分方程的经典数值方法)，3。什么是辛几何？辛几何是相空间的几何。它的基点是反对称面积度量，这与欧几里德几何和黎曼几何的基点是对称距离度量是相反的。赫尔曼韦尔最早在数学上使用辛这个词，这个词来源于一个希腊语单词，意思是“缠绕在一起”这是恰当的，因为辛系统总是包含一对n维变量，构型q和动量p，它们通过符号两种形式=dpdq交织在一起。著名数学家华选择了天干地支中的辛作为象征的汉译名。欧氏几何与辛几何的比较，欧氏几何辛几何研究长度几何，面积几何Rn元素x=(x1 x2

8、xn) Rn元素x=(x1.xnx2n)，内积，欧几里德几何和辛几何之间的比较，欧几里德几何辛几何(1)(x，y)双线性(1) x，y双线性(2)对称(X，y) X) (2)反对称X，y=-y，x (3)非退化(3)非退化，(4) (x，y)表示长度(4)x，y=x1y2-x2y1表示面积(5)正交基(ei，ej)=ij (5)辛基(5) 00) en=(0，0.1)它研究辛流形辛空间：设v是定义在实域r上的向量空间，并在VXV上定义双线性，如果满足下列性质，我们称之为辛：(1)非退化，(3)反对称：(v，y是辛空间，它是一个辛结构的辛流形，在流形m上是一个辛流形。R2nR2n中的线性变换s被

9、称为辛，如果它保持辛内积并满足下列公式：(St .满足)，(2)双线性和辛几何基本概念，定义2:辛空间中的线性变换s是辛的当且仅当SJSJ其中s是s的转置，j是辛空间中的标准辛矩阵，并且2n阶矩阵被定义为辛。如果SJSJ的所有辛矩阵构成一个群，则称为辛群，由Sp(2n)表示。如果一个2n阶矩阵B被定义为无穷小辛矩阵，如果JB BJ0的所有对无穷小辛矩阵都易于运算，则B=AB-BA形成一个由Sp(2n)表示的李代数，它是李群Sp(2n)的李代数。辛几何是数学和物理中的一门前沿学科。作为一份由数学进展出版社出版的文件，辛几何描述如下：“本书的目的是将经典力学、统计物理学和量子力学与辛几何作为一个统

10、一的数学工具来对待”，它展示了辛几何的力量。作为数学的一个分支，辛几何也是一个前沿发展方向。辛几何格式，无论是显式的还是隐式的，都可以看作是从前一时间步到下一时间步的映射。如果这个映射是辛的，那么差分格式就是辛几何格式，简称辛格式。辛格式通常是隐式的。只有对于可分哈密顿系统，辛差分格式本质上是显式的，它是由显式和隐式交替得到的。假设系统是可分的，即哈密顿系统方程可以写成如下形式：如果欧拉中点差分格式是辛格式：辛差分格式2，那么欧拉差分公式：被表示为显式差分格式，上述公式中的H是空间步长，辛差分格式3，从zm到zm 1的变换可以写成如下形式，如果使用多项式有理逼近，那么：定理：哈密顿系统的差分格

11、式是辛的和稳定的，具有2n阶精度。此外，我们还可以推导出辛龙格-库塔方法，这一点在此不再讨论。参考：中国科学院研究生教学丛书，余德浩，微分方程数值解，线性哈密顿系统的辛差分格式，哈密顿系统：如果哈密顿函数是Z的二次型，则它是线性的，其中B是无穷小辛矩阵，即相流是无穷小辛矩阵的指数变换，因此不难证明它是方程(1)的辛矩阵的最简单的辛格式。4.哈密尔顿系统中的电磁方程1)利用麦克斯韦方程的旋转产生函数G所满足的方程，哈密尔顿系统中的电磁方程可以直接写出，参考文献：麦克斯韦方程的同情，集成电路MMT 2008，可以从上述公式在自由空间中得到。其中，哈密顿体系下的电磁方程，让磁场，可以转化为麦克斯韦方

12、程，其中，它是哈密顿能量函数，电磁场方程的辛差分格式，经过一系列的推导(参考：卢小武：麦克斯韦方程的交感判别)。消去式u有精度为O(t)的差分格式，精度为O(t2)的差分格式，波动方程的哈密顿表达式，波动方程可表示如下，式中：则哈密顿方程和函数可分别书写，参见：计算物理，2002年第1期，第19卷，第13-16页，辛FDTD指数传播系数2005年，第15卷，第2期，第86-88页，麦克斯韦方程在均匀无损无源介质中可表述如下，A和B是不可交换矩阵算符，即m是展开的阶，n是展开的近似级数，四阶传播子有8个待定系数。对于四阶传播子，设d4=0，d1=d3，c1=c4，c2=c3，因此待定系数减少到4

13、。以这种方式，泰勒级数被展开，并且对应于两个展开的系数T和t2相等，从而可以获得四个方程。如果ABBA被简化为三个方程，那么这三个方程中就有四个未知数。因此，可以引入稳定因子进行优化，以提高st计算时间可减少23.46%。FDTD方法因其简单直观的优点，已成为电磁数值计算的常用方法。它直接求解依赖于时间的麦克斯韦自旋方程，并利用二阶精度中心差分逼近旋度方程中的时间和空间微分算子，这对于非均匀介质的情况是非常合理的。然而，其计算精度相对较低，计算时间步长和空间离散网格的大小必须满足Courant-Friedrichs-Levy(CFL)稳定条件，且误差会随着时间步长的增加而累积。为了克服FDTD方法的这些缺点，文献中提出了高阶FDTD方法来提高计算精度，但是高阶方法需要更强的稳定性条件。TNamlkl提出用ADI-FDTD方法来摆脱Courant稳定条件的约束，但ADI-FDTD方法的数值离散度比FDTD方法差20倍。总之，这些方法的效果不如人，因为这些方法破坏了麦克斯韦方程的辛结构。我们知道，麦克斯韦方程可以是一个无限维的哈密尔顿系统，哈密尔顿算法应该在辛几何框架内生成。系统的演化往往总是辛变换，所以正确的离散算法应该是辛变换