自动控制原理第4章.ppt

1、第4章，根轨迹法，4.1根轨迹的基本概念，4.2根轨迹的绘制，4.3系统性能分析，4.1根轨迹的基本概念，所谓的根轨迹是指当系统的某个参数(如开环增益K)从零到无穷大连续变化时，闭环特征根在复平面上形成的几条曲线。图4-1是控制系统的方框图。图4-1所示系统的开环传递函数被转换成(4.1)，其中k=2K，方程(4.1)是用来画根轨迹的传递函数的标准形式。根据公式(4.1)，闭环系统的特征方程为(4.2)，因此闭环系统的特征根(闭环极点)为(4.3)。从图中可以看出， (1)当k=0时，S1和S2与P1 p1、p2重合，即开环极点和闭环极点重合；(2)当0k1、S1和S2都是区间(-2，0)内的

2、负实数时；(3)当k=1时，s1=s2=-1，即两个闭环的极点重合；(4)当1k，即两个闭环的极点彼此共轭时；(5)当k时，S1和S2将沿着直线趋于无穷大=-1。需要指出的是，绘制根轨迹时选择的可变参数可以是系统的任何参数，但实际中最常用的参数是系统的开环增益。根轨迹的分类：1。180轨道，负反馈系统；2.零根轨迹，正反馈系统；3.系统中某个零点变化的根轨迹；4.系统中某一极点变化的根轨迹；图4-2二次系统根轨迹图，4.2根轨迹图，4.2.1绘制根轨迹的基本条件反馈系统的特征方程为1 G(s)H(s)=0或写成G(s)H(s)=-1，(4.4)，(4.5)，上述公式改写为，(1)因此，绘制根轨

3、迹的条件为振幅条件|G(s)H(s)|=1 (4.7)相角条件G(s)H(s)=argg (s) 复平面上根轨迹的分支数量等于闭环特征方程的阶数，也就是说，根轨迹的分支数量等于闭环极点的数量以及开环极点的数量。 2.确定实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹由实轴上的开环极点和零点确定。实轴上根轨迹部分右侧的开环极点和零点的数量之和是奇数。例4-1众所周知，单位负反馈系统的开环传递函数是，这里试着粗略地画出它的根轨迹。首先，开环传递函数被转换成以下标准形式：其中k=k=K/T。系统有两个开环极点p1=0，p2=-1/T和一个开环零点z1=-1/，因此系统的根轨迹有两个分支。当k=0时，两个根轨迹从开环极

4、点开始。当k时，一个根轨迹终止于开环零点z1，而另一个(2-1)=1趋于无穷大。根据开环的极点和零点的位置，可以知道实轴上的间隔(z1，p1)和(-，p2)是根轨迹的截面。系统的根轨迹图如图4-3所示，其中，“”代表开环极点，“”代表开环零点。图4-3示例4-1根轨迹图3。确定根轨迹的渐近线如果开环零点的数目m小于开环极点的数目n，即nm，那么就有(n-m)根轨迹沿着渐近线在无穷远处终止。渐近线的方向可以由以下等式确定。渐近线与实轴的交点坐标为：(4.10)，渐近线与实轴正方向的夹角为：(k=0，1，2)，(4.11)。例4-2四阶系统的特征方程是已知的，所以试着粗略地画出它的根轨迹。首先，在

5、复平面上标记开环极点和极点，极点用表示，零点用 表示。然后，根据确定实轴根轨迹的方法，画出系统在实轴上的根轨迹。确定系统渐近线和实轴之间的交点和夹角如下：a1=60 (q=0)，a2=180 (q=1)，a3=300 (q=2)，图4-4，4-2轨迹图，4。找出分离点，并把两个或两个以上根迹分支在复平面上相遇并分离的点称为分离点，然后根据分离点必须是多个根点的条件，给出了确定分离点的公式解决方案使用公式(4.13)或(4.14)，我们可以发现分离点是D1=-4，D2=-2.5994，d34=-0.7003J0.7317。通过将这四个值代入闭环系统方程(4.12)，我们可以看到对应于d34的K不

6、满足大于零的要求，因此它被丢弃。此外，可以发现d1=-4是系统的开环极点(对应于系统在K0处的闭环极点)，它是多重根。因此，该系统分离点的坐标为(-2.5994，j0)和(-4，j0)。5.确定根轨迹与虚轴的交点，表明控制系统在虚轴上有闭环极点，即特征方程包含纯虚根。将s=j代入特征方程(4.4)，上述方程可分解为两个方程，即(4.15)，其中1克(j)小时(j)=0，根轨迹和虚轴的交点坐标以及对应于该交点的临界参数kc可通过求解方程(4.15)获得。例4-4求出例4-2中给出的系统根轨迹和虚轴的交点坐标。通过将s=j代入例4-2中给出的系统特征方程，我们可以得到4-j103-322 j(32

7、 K) K=0，写出实部和虚部方程：4-322 K=0 103-(32 K)=0，这样我们可以得到根轨迹和虚轴交点的坐标为34对应，因此，系统根轨迹和虚轴交点的坐标为(0，j4.52046.确定根轨迹的入射角和出射角根轨迹的所谓出射角(或入射角)是指离开开环复极点(或进入开环复零点)的根轨迹的切线方向和实轴的正方向之间的角度。在图4-5中，出射角是入射角。根轨迹从复极点pr的出射角为(4.16)，根轨迹到复零点zr的入射角为(4.17)，其中arg()表示复数的相角(振幅角)。图4-5根轨迹的出射角和入射角，总结了一些简单系统的开环零点和开环极点的分布及其相应的根轨迹。补充1单位负反馈系统的开

8、环传递函数如下：并试着画出系统的根轨迹。解决方案：1 .开环极点和零点：P1=0，P2=-1，P3=-2 2。2.实轴上的根轨迹间隔(-，-2，-1，0 3，渐近线倾斜角：和实轴交点：4，分离点或收敛点。补充2设置单元负反馈系统的开环传递函数解决方案：1。开环极点和零点：P1=0，P2=-2；Z1=-4 2。实轴上的根轨迹间隔(-，-4，-2，0，3。渐近角：与实轴的交点：4。分离点或会聚点。补充3单位负反馈系统的开环传递函数设置如下：试着画出系统的根轨迹。解决方案：1 .开环极点和零点：P1=0，P2=-4，P3，4=-2j4 2。实轴上的根轨迹间隔：-4，0，3。渐近倾角：与实轴相交：4。

9、出口角度5。分离点；6.根轨迹与虚轴相交，使所有的线S1都是。然后为S2线作一个辅助方程，根据上面的公式列出劳斯表，7，K值对应一些指定的点，补充4让一个单位正反馈系统的开环传递函数如下：试着画出系统的根轨迹。解决方案：1 .开环极点和零点：P1=-3，P2，3=-1J；Z1=-2 2，实轴上的根rlocus间隔：(-，-3，-2，3，渐近线倾角：与实轴相交：4，入射角5，分离点，程序代码：num 1=1 2 de n1=conv(1 3，1 2 2)g=TF(num 1，de)系统的开环传递函数的形式是已知的，利用该函数可以方便地画出系统的根轨迹。例4-5让单位负反馈系统的开环传递函数为：如

10、下所示，并试着画出系统的根轨迹。用MATLAB绘制根轨迹的程序如下：% ex-45 num=11；den=conv(1 0，conv(1 2，13)；G=tf(数字，den)。(G)标题()；XL Abel(Re)；伊拉贝尔(Im)；图4-6实例4-5的MATLAB仿真结果。例4-6让单元负反馈控制系统的开环传递函数为，并试着画出系统的根轨迹图。用MATLAB绘制该系统根轨迹的程序如下： %ex-4-6 nMATLAB程序如下：% ex-4-7a=0.10；0 0 1；-160-56-14；B=0。1；-14；c=100；D=0。聚焦(A，B，C，D)；标题()；XL Abel(Re)；伊拉贝

11、尔(Im)；图4-8示例4-7根轨迹，图4-9示例4-8系统根轨迹，解决方案系统根轨迹如图4-9所示。从根轨迹图可以看出，无论k取什么值，系统都是稳定的。当0K0.5(0k1)时，系统有两个不相等的负实根。当K=0.5(k=1)时，系统有两个相等的负实根。在这两种情况下，系统的动态响应是无振荡的。当K0.5(k1)时，系统有一对共轭复极点，系统的动态响应是振荡的。当K=5，即k=10时，系统的闭环极点为0，因此系统的动态性能指标可确定如下：最大超调量、上升时间、峰值时间、过渡过程时间和小结。根轨迹法的基本思想是在已知开环传递函数的基础上，确定闭环传递函数的极点分布与参数变化之间的关系。根轨迹法

12、不仅是研究闭环系统特征根的简单作图法，而且可以用来分析控制系统的某些性能。本章主要研究以下几个方面： (1)根轨迹的基本概念；(2)根轨迹绘制的一般规则和常规绘制方法，以及如何在MATLAB环境下准确绘制系统的根轨迹；(3)简要介绍了根轨迹法在控制系统性能分析中的应用。练习4-1让系统开环传递函数的零点和极点在复平面上的分布如图4-10所示。尝试以开环增益k为参数绘制系统根轨迹的近似形状。图4-10，图4-1，图4-2，假设控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)，其中根轨迹法用于证明系统对于任何正值k都是不稳定的。4-3单元负反馈系统的开环传递函数是系统的根轨迹图，并通过MATLAB进行了验证。4-4已知反馈控制系统的开环传递函数是当a分别为10、9、8和1时，试图画出系统的根轨迹。4-5单位负反馈系统的开环传递函数为(1)用根轨迹法画出系统的根轨迹图，并讨论系统根轨迹的分离点。(2)找出使系统闭环稳定的K值范围。(3)利用MATLAB编程解决这一问题。4-6将单元负反馈系统的开环传递函数设为使系统具