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文档简介

1、8.2 正交基,定义1：欧氏空间 的一组两两正交的非零向量叫做 的一个正交组。 若一个正交组的每一个向量都是单位向量，这个正交组叫做一个规范正交组。,欲证规范正交组，即证： （1） （2） （3）,例1、证明：向量 构成 的一个规范正交组。,定理8.2.1：设 是欧氏空间的一个正交组，则 线性无关。,定义：设 是一个 维欧氏空间。 中含 个向量的正交组 称为 的一个正交基。若该正交基还是一个规范正交组，则称其为一个规范正,交基（标准正交基）。,欲证规范正交基，需证： （1） （2）,例2、证明：欧氏空间 的基 ， 是 的规范正交基。,思考：规范正交组和规范正交基的异同。,证明 是规范正交基的另

2、一种方法： 。,定理8.2.2：设 是欧氏空间 的一组线性无关的向量，那么可以求出 的一个正交组 ，使得 可以由 线性表示,定理8.2.3 ：任意 维欧氏空间 一定有正交基，因而有规范正交基。,求欧氏空间的一个基的规范正交基的步骤：,（1）施密特正交化方法： （此步骤求得一个正交基）,（2）将上述正交基单位化： 则 即为所求。,例3、已知 是欧氏空间 的一个基。对这个基施行 正交化方法，求 的一个规范正交基。,定义：设 是欧氏空间 的一个非空子集。如果 的一个向量 与 的每一个向量都正交，则称 与 正交，记作： 。,结论：令 ，则 是 的一个子空间（ 叫做 的正交补）,定理8.2.4：令 是欧

3、氏空间 的一个有限维子空间。那么 ， 因而 的每一个向量 可以唯一地写成 。这里 ， 。,定义：一个 阶实矩阵 叫做一个正交矩阵，如果 。,定理8.2.6： 维欧氏空间的一个规范 正交基到另一个规范正交基的过渡矩 阵是一个正交矩阵。,定义3：欧氏空间 和 同构，如果 （1）存在实数域上两个向量空间 到 的一个同构映射 ； （2） ，都有 。,定理8.2.7：两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们的维数相等。,推论：任意 维欧氏空间都与 同构。,补充练习：,1、设 ，问： 对以下规定的内积是否作成欧氏空间？,2、在欧氏空间 中，求下列向量 与 的夹角 ：,3、设 是 维欧氏空间 的 一个基， ，且 ， 。 证明: 是标准正交基的充分且必要条件是 。,4、设 是 的标准正交基， ，其中 ， ， 。求 的一个标准正交基。,5 、设 是三维欧氏空间中的一组规范正交基。

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