线性代数第2章 矩阵理论基础.ppt

1、-1-,第二章,矩阵理论基础,2.4 矩阵的秩与矩阵的等价标准形,2.3 可逆矩阵,2.2 n阶(方阵的)行列式,2.1 矩阵的运算,2.5 分块矩阵,2.6 线性方程组解的存在性定理Cramer法则,-2-,2.1 矩阵的运算,矩阵的加法,矩阵的数乘,-3-,特别,-4-,运算规律,-5-,例1,解：,-6-,矩阵的乘法,-7-,不存在,例2,-8-,例3,-9-,例4,问：上式=0的充要条件是什么？,-10-,例5,问：E在矩阵乘法中的作用,-11-,有了矩阵的乘法，方程组的矩阵表示形式,对应可以用矩阵形式表示为 AX= B ，其中,称为方程组的增广矩阵,对应齐次方程组可用矩阵形式表示为

2、AX= O,-12-,运算规律,证(1): 记,-13-,方阵的幂,设A是n阶方阵，定义,规定,设 为x的m次多项式，,运算规律,-14-,例6,举例说明,-15-,例7,成立的充要条件是A与B可交换(即AB=BA)。,-16-,例9,解,-17-,注 当A与B可交换时，有下面二项展开式,称为数量矩阵，它与任何方阵可交换。,-18-,矩阵的转置,把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作AT。,如,运算规律,-19-,例10,解法一,解法二,-20-,例11,解,-21-,例12,解,-22-,注：,(1),(2),-23-,例 已知,提示:,方法同上可得,-24-,定义,

3、假设 A , B 都是 n 阶对称矩阵，显然 kA , A+B 都是对称矩阵。但 AB 不一定是对称矩阵。,例如,对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等,-25-,例14,例13,设 ，证明 和 分别是n阶和m阶,对称矩阵。,证,证,-26-,反对称矩阵:,如果,则矩阵A称为反对称矩阵。,-27-,第二章,矩阵理论基础,2.4 矩阵的秩与矩阵的等价标准形,2.3 可逆矩阵,2.2 n阶(方阵的)行列式,2.1 矩阵的运算,2.5 分块矩阵,2.6 线性方程组解的存在性定理Cramer法则,-28-,行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。行列

4、式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的。1750 年，瑞士数学家克莱姆。对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则 。,在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用，没有单独形成一门理论。对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，是法国数学家范德蒙 ，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。,-29-,继范德蒙之后，又一位做出突出贡献的就是另一位法国大数学家柯西。其中主要结果之一是行列式的乘法定理 。继柯西之后，雅可比的著名论文论行列式的形成和性质标志着行列式系统理论的建成。由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、

5、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在 19 世纪也得到了很大发展。,-30-,2.2 n阶(方阵的)行列式,在 D 中划掉第 i 行和第 j 列元素而剩下的元素按原来相对位置不变所构成的低一阶的行列式，称为 (i,j) 元素的余子式，记为Mij ,称Aij = (-1)i+j Mij为 (i,j) 元素的代数余子式。,定义,用式子D表示方阵A的元素按某种规则运算得到的一个数，称为A的行列式。,-31-,例如：,-32-,n 阶行列式,的值定义如下(递归定义):,当 n=1 时，,定义,上式又称按第一列展开。,比较书P.29定义1,-33-,计算上三角行列式,按第1列展开,按第1列展开

6、,-34-,由定义，可得二阶行列式与三阶行列式的计算,都是借助低一阶的行列式(代数余子式)按第一列展开来 定义的。,对于四阶及四阶以上行列式的展开呢？,-35-,为什么要研究行列式的性质?,推论1如果行列式有一行（列）为零，则行列式等于零。,例如,性质1行列式按任意一行展开，其值相等。,-36-,例如,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号。,再如，证明,-37-,推论2 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。,例如,-38-,性质3行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。,例如,-39-,推论3行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。,例如,

7、推论4 是一个数。,-40-,性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则可把这两个数拆开，其它元素不变写成两个行列式的和。,例如,-41-,性质5 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式的值不变。,三角形，然后计算行列式的值。,-42-,-43-,性质6 行列式与它的转置行列式相等。,说明 行列式的性质凡是对行成立的，对列也成立， 反之亦然。,-44-,计算下三角行列式,-45-,则,性质7,-46-,证明,-47-,-48-,性质8 设A，B都是n阶方阵，则,-49-,设A是奇数阶方阵，且,证明,证,-50-,行列式的值等于按任一列(行)

8、展开，错列(错行) 展开必为零。,性质9,-51-,证明,由定理1，行列式等于某一行的元素分别与它们 代数余子式的乘积之和。,作辅助行列式,第i行(展开),展开定理给出了行列式降阶计算的思想。,-52-,计算,-53-,再验证一下错列或错行展开是否为零?,-54-,求,-55-,伴随矩阵研究可逆矩阵,由行列式展开定理,-56-,计算 n 阶行列式,解,将第 列都加到第一列上,得,-57-,特征1：对于所有行（列）元素相加后相等的行列式，可把 第2行至n行加到第一行（列），提取公因子后在简化计算。,-58-,爪形行列式,特征2：第一行，第一列及对角线元素除外，其余元素全为零的行列式称为爪型行列式

9、。,-59-,范德蒙德(Vandermonde)行列式,从最后一行开始,每行减去上一行的 倍.,-60-,按最后一列展开再提取每列的公因子,-61-,-62-,-63-,练习,解：,所以根为x =1,2,3.,-64-,-65-,-66-,计算n 阶行列式,解 将 按第一行展开得,-67-,得递推公式,特征3：所求行列式某一行（列）至多有两个非零元素。,练习 书P.39例11,-68-,计算n 阶行列式,解：,注意与例7的 形式不同。,-69-,-70-,特征4：除对角线元素外，上三角各元素相等，下三角 各元素相等。常用拆分法或数学归纳法求解。,-71-,特征5：非零元素特别少（一般不多于2个

10、），可直接 利用行列式的定义求解。,行列式常用的计算方法： 化三角法、降阶法（递推法）、归纳法、定义法。,-72-,第二章,矩阵理论基础,2.4 矩阵的秩与矩阵的等价标准形,2.3 可逆矩阵,2.2 n阶(方阵的)行列式,2.1 矩阵的运算,2.5 分块矩阵,2.6 线性方程组解的存在性定理Cramer法则,-73-,2.3 可逆矩阵,易知,如果A可逆,则其逆矩阵是唯一的,记作,概念的引入:,在数的运算中，,当数 时，,有,其中 为 的倒数，,（或称 的逆）；,-74-,事实上，,设B、C都是A的逆，则,B=BE=BAC=EC=C,AB=BA=E,AC=CA=E,从而，,逆矩阵是 唯一的,它的

11、逆矩阵存在吗？,解 假设A 的逆矩阵存在记作B ,则,而由已知得,故矛盾,所以A的逆矩阵不存在.,思考,-75-,设 , 由行列式乘法定理,定理2.3.1,证,设 ，由,得,当 时,A称为奇异矩阵,否则称为非奇异矩阵.,该定理也给出了求逆矩阵的方法之一。,-76-,例1,A可逆,如,-77-,例2,求A的逆矩阵,-78-,例3,-79-,思考:上(下)三角矩阵的逆矩阵仍是上(下)三角矩阵.,-80-,证,推论表明的含义（P.49）,-81-,设,例4,-82-,-83-,例5,证明 A 和 A+2E 都可逆 , 并求其逆.,设方阵 A 满足,证,-84-,例6,设 A , B 和 A+B 均可

12、逆 ,证明 也可逆,并求其逆.,证,-85-,性 质,(P.49),-86-,证,-87-,例7,设A为3阶方阵 , ,求,解,-88-,例8,设 A 为 n 方阵 , 证明,证,(注:结合上例题 ),(1) 如果 A=O, 则结论显然成立.如果AO, 反证:,假设 ,则 可逆,由 两边右乘,得A=O , 矛盾.,(2) 如果 , 由(1)结论成立. 如果 ,-89-,把单位矩阵分别作第一、第二、第三种初等行变换得到的矩阵分别称为第一、第二、第三种初等矩阵。,定义,记号,-90-,-91-,初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是同一种初等矩阵。,可作如下验证：,-92-,计算,-93-,(“左行右

13、列”原则) P52,对一个矩阵施行一次初等行变换，相当于在它的左边乘以一个相应的初等矩阵；对一个矩阵施行一次初等列变换，相当于在它的右边乘以一个相应的初等矩阵。,例9,-94-,例10,-95-,任一可逆矩阵可经过有限次初等行变换化成单位矩阵。即当可逆矩阵经过初等行变换化为行最简 形矩阵时，行最简形矩阵为单位矩阵。,（证明略 书P.52）,-96-,设 即有初等矩阵 使得,问,作一次行变换,再作一次行变换,继续,考虑对 作行变换,求逆矩阵的初等变换法,-97-,记为,例11,-98-,的解,-99-,矩阵方程 AX=B (假设 A 可逆)，如何求解？,方法一：先求 ，再计算,方法一：求 ，再计

14、算,XA=B (假设 A 可逆) ？,方法二：,-100-,解矩阵方程,解,例12,-101-,-102-,-103-,任一可逆矩阵必可分解为有限个初等矩阵的乘积。从而, 矩阵可逆的充要条件是它可分解为有限初等矩阵的乘积。,-104-,第二章,矩阵理论基础,2.4 矩阵的秩与矩阵的等价标准形,2.3 可逆矩阵,2.2 n阶(方阵的)行列式,2.1 矩阵的运算,2.5 分块矩阵,2.6 线性方程组解的存在性定理Cramer法则,-105-,2.4 矩阵的秩与等价标准形,矩阵的秩是矩阵的一个基本的量,矩阵的台阶数即矩阵的秩,同时矩阵秩的概念可以清楚地去阐述线性方程组 的存在性问题和向量组的线性相关

15、性等等问题,一般矩阵的等价标准形的本质秩,-106-,在矩阵 A 中, 任取 k 行 k 列, 位于这些行列交点上的元素按原次序构成的 k 阶行列式, 称为 A 的 k 阶子式.,定义,例如,等等, 它们都是二阶子式.,等等, 它们都是三阶子式.,每一个元素都是一阶子式.,问: 子式的最高阶数？,-107-,矩阵A的非零子式的最高阶数, 称为A的秩, 记做r(A).规定:零矩阵的秩是零.,定义,例如,-108-,根据定义回答下面问题：,(2) mn 的矩阵 A , 其秩最大可能是?_,r(A)min(m, n),(3) A 有一个 r 阶子式不为零,其秩至少是?_,r(A)r,(4) A 有一

16、个 r 阶子式不为零, 且所有 r + 1 阶都等于零, 所有 r + 2 子式都等于_, A 的秩等于_。如果 A 的所有 r 阶子式都等于零, 则A 的秩最大可能是_。,(5) r(A) ? = r(AT) _,零,r,(6) n阶矩阵A为可逆矩阵的充要条件是 r(A) =_。,r(A) = r(AT),n,(7) A = O 的充要条件是 r(A) =_。,0,r -1,(1) 矩阵的秩是否惟一?_,当然惟一,定理2.4.1,-109-,设A为n阶方阵，则A可逆的充要条件是r(A)=n。,解：,-110-,解,-111-,如何求矩阵的秩？,阶梯形矩阵的秩就是其非零行数！,-112-,初等

17、变换不改变矩阵的秩。,设 r(A)=r 且,证,例如,从而，r(B)r(A)，又第一种初等行变换是可逆的，其逆仍是第一种初等行变换，所以又有r(A)r(B)，综上 r(A)=r(B)。,(P58 定理2.4.2),-113-,例如,与前面同样的道理,第二种初等行变换不改变矩阵的秩。,-114-,例如,因此矩阵的秩不变。,-115-,(4) 以上证明了初等行变换不改变矩阵的秩，即 r(PA) = r(A) (P是初等矩阵)，考虑转置 r(ATPT) = r(AT) 即知初等列变换也不改变矩阵的秩。证毕。,-116-,求矩阵 A 的秩,建议只用行变换,阶梯形不唯一,-117-,求 和,-118-,

18、用初等变换必能将矩阵A化为如下相抵标准形（也称等价标准形）：,等价标准形是唯一的。其中秩(A)=r。,(等价标准形定理),下面讨论对一个矩阵实施初等变换(既可用行变换又可用列变换)能把任意一个矩阵化成最简单的形状是什么?,-119-,形状为,-120-,(1)A 与 B 等价,(3)存在可逆矩阵 P 和 Q 使得,(2) r(A)=r(B),A , B 均为m行n列矩阵，则以下条件等价：,-121-,(其中 P，Q 是可逆矩阵),设秩(A)=r，,或表述为：,-122-,定理2.4.5,-123-,(2)的证明:,-124-,(4)的证明:,只证,考虑转置,-125-,证,证,定理2.4.6,

19、性质5,-126-,性质2,(A称为列满秩矩阵),(A称为行满秩矩阵),性质4,-127-,设 A 为 n 阶方阵 , 证明,(1),(2),(3),性质4的证明：,-128-,永远是奇异矩阵,有可能是非奇异矩阵,-129-,证：,-130-,证,-131-,则,(A) t = 6 时, 必有 r(P) = 1,(B) t = 6 时, 必有 r(P) = 2,(C) t 6 时, 必有 r(P) = 1,(D) t 6 时, 必有 r(P) = 2,首先,又,-132-,第二章,矩阵理论基础,2.4 矩阵的秩与矩阵的等价标准形,2.3 可逆矩阵,2.2 n阶(方阵的)行列式,2.1 矩阵的运

20、算,2.5 分块矩阵,2.6 线性方程组解的存在性定理Cramer法则,-133-,2.5 分块矩阵,把大矩阵分成小矩阵处理。 (1)简化矩阵计算； (2)通过小矩阵的性质推断大矩阵的性质； (3)突出矩阵结构,方便理论推导.,-134-,称为按列分块,称为按行分块,称为22的分块矩阵,小矩阵A11等称为A的子块.,-135-,运算规则,(1)设A , B的行数、列数相同, 且有相同的分法,-136-,(2) 设,则,-137-,(3) 设A与B可乘,且A的列分法与B的行分法相同,其中,则,-138-,练练每个矩阵分成四块应如何分？,-139-,例1,求 AB,直接计算,分块计算,-140-,

21、-141-,(4) 设,则,-142-,(5) 设 A 是 n 阶方阵,其中 都是方阵,则称A为分块对角矩阵.,-143-,例2,，求,解,-144-,例3,请验证其正确性.,-145-,常用分块法,-146-,(1),(2),书P.68 例3,-147-,(1),(2),-148-,例4,设 A 为3阶矩阵 , P 是3阶可逆矩阵 ,是 P 的三个列向量且满足,求矩阵 B , 使得,解,-149-,例5,证,思考: AAT = O 如何?,(令 B=AT看看),-150-,第二章,矩阵理论基础,2.4 矩阵的秩与矩阵的等价标准形,2.3 可逆矩阵,2.2 n阶(方阵的)行列式,2.1 矩阵的

22、运算,2.5 分块矩阵,2.6 线性方程组解的存在性定理Cramer法则,-151-,2.6 线性方程组解的存在性 定理Cramer法则,在第一章中，我们学习了如何求解线性方程组。 通过回顾再结合本章知识，给出线性方程组解的 存在性定理。,-152-,求解非齐次线性方程组,解,对增广矩阵只用行变换化阶梯形,最后一行对应的方程是：0 = 2 ,所以无解。,思考：,复习,-153-,解方程组,第一步:把增广矩阵用行变换化阶梯形,如果 ,则无解.如果 ,则继续化为最简阶梯形。,问:此时 其含义是,独立(或有效)方程的个数。,以下问题针对 的一般方程组来回答。,复习,-154-,第二步：写出等价的(独立的)方程组，保留第一个未知数在左边其余的移到右边，移到右边的称为自由变量。,问：自由变量的个数 =,即未知数的个数减去独立方程的个数。,问：何时有唯一解？何时有无穷多解？,当出现自由变量时，令自量为任意数就可得到无穷多解，当没有自由变量时有唯一解。即当