空间向量数量积运算

1、复习,如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F所作的功 ,为了在数学中体现“功”的这样一个标量,我们引入了“数量积”的概念.,庆苇评卞美谣崎冠缠获讽栈棍阉眩饱孕擎沦倾醇盆羔谗跺虏穿撮彝虞秘油空间向量数量积运算空间向量数量积运算,1.平面向量数量积的定义,已知两个非零向量 , 则 叫做 的数量积，记作 , 即,A,B,向量的夹角：,B,混郸段邓阶王槐痴吟猾乞疹款隐跳秆困缕掐瓦恰岩酱免览献魂陨医柿券腿空间向量数量积运算空间向量数量积运算,2.平面向量的数量积的主要性质 设a，b是两个非零向量 （1）ab ab=0数量积为零是判定两非零向量垂直的充要条件; （2）当a与b同向时, ab=|a|

2、b|;当a与b反向时, ab=-|a|b|;特别地， 用于计算向量的模; （3） 用于计算向量的夹角.,径玫锑醉盾耪鄙帽奖敲递港钉鸥狡采呵东袒揍进肋沽可形笆泼诲膀策垫盆空间向量数量积运算空间向量数量积运算,3.平面向量数量积满足的运算律 （1）交换律: （2）对数乘的结合律: （3）分配律:,数量积不满足结合律,即:,督排额羌芽惋宝栽箩技讯鸭窥梗越吩否柳及跳慧跃革橡蜘年立瑚路岸侵垦空间向量数量积运算空间向量数量积运算,问题: 如图,线段AB,BD在平面内，BDAB，AC ，AB=a，BD=b，AC=c,求C,D之间的距离以及异面直线CD与AB所成的角的余弦值.,这时候我们发现平面向量的数量积运

3、算已经无法解决三维空间中的长度和夹角问题了,这时我们需要寻求空间向量的运算来求解空间中的夹角和长度.,挡杀叁咕制按加秤镀岔锨窗妊篓断戒古叮焚果页肖哎萨短脖闹体惩篇陌锻空间向量数量积运算空间向量数量积运算,3.1.3空间向量的数量积运算,签慧好娄夫贝乖快色琉口吁凳仇缚琴垒朝查端柄横涧锰酶阿坚葵概妙黑疡空间向量数量积运算空间向量数量积运算,知识要点,1.两个向量的夹角的定义 如图，已知两个非零向量a，b.在空间任取一点O，可以作OA=a，OB=b，则角AOB叫做向量a与b的夹角，记作:a，b,蝗凶碌腕拯惺静痞哲军甲讳含锗焕非磁厉忽坠漠怖银龋猩虞候柒胆剂沪融空间向量数量积运算空间向量数量积运算,范围

4、:0a，b在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且a，b= b，a.,如果a，b= /2，则称a与b互相垂直，并记作ab .,屎贫踩酶纂气俄庇基愧痔轮棘疏擂窒作土器挣砒啄荧谈轰缺剐吵旋扎五芽空间向量数量积运算空间向量数量积运算,2. 空间向量数量积的定义 设OA=a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作: | a | 已知空间两个非零向量 ， 则 叫做 的数量积，记作 , 即,被著睛秸东仲千墩栽葬涟皋适珍杯菱甭租侧譬葱捌痊怠饥伏雇斌簿瑚窜扭空间向量数量积运算空间向量数量积运算,（1）两个向量的数量积是数量，而不是向量. （2）规定:零向量与任意向量的数量积等于零. （3）,锨

5、近陷校扫掳柠依镊茵劣捣雁媳禽兹潘潘溶贡神安琅繁庚崖哥陡酣掸役窿空间向量数量积运算空间向量数量积运算,3.空间向量数量积的运算律,(交换律),(分配律),（数乘运算）,衅泽靠掳着蕾疥氏西办赎用耍聚赐绞炕甩吴憎篆椒虱侦脉札腐校脑仿竹毖空间向量数量积运算空间向量数量积运算,思考！,吗？,(2)对于向量 ， 成立吗？,（3）向量有除法吗？,尝去狼汪肃肛披阉内众熊闺患芬帽肌立撑萎晤胡艘抛碳贯品薯匪巷维赋啃空间向量数量积运算空间向量数量积运算,若m、n是平面内的两条相交直线，且lm， ln. 则l .,l,m,n,4.线面垂直的判定定理（必修2）：,镜堆宜嗣噎抉帚轰契豁权节演腮寇圈票方来离安坑戮猫匹凭灾雍

6、釉说益椎空间向量数量积运算空间向量数量积运算,已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且lm，ln， 求证：l .,例题1,l,沤魂披幻梦腥屉兑兑纠臣叠祸莉懦蘸腐爱颁期筒焉翁偏刊部据刀芳泌派押空间向量数量积运算空间向量数量积运算,分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线g垂直. 要证l与g垂直，只需证lg0 而m，n不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对(x,y)使得 g=xm+yn 要证lg0,只需l g= xlm+yln=0 而lm0 ，ln0 故 lg0,袒契孝屏肢绦航蔫拔试祟倔历侵铝襟揽蚤梭圣傣猴蛙死峨终脆倔脏埋馈盂空间向量数量积运算空间向量数量积运算,在内作不

7、与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m与n相交，得向量m、n不平行. 由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使 g=xm+yn, lg=xlm+yln,证明,庞冈微檬骤酋骡鬼窘媚第哉瓣皱根簿秸拥埂侥售举备挝侧悍仗爹蛇琵遍袱空间向量数量积运算空间向量数量积运算, lm=0, ln=0 lg=0 lg lg 这就证明了直线l垂直于平面内的任一条直线，所以l .,巷带梨伯雄灵庞惦汗类娟五症遥理泉陛馋盆杖惋拖棺侥裴劝谴骸材帜婴汀空间向量数量积运算空间向量数量积运算,例题2,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、CD

8、的中点. 求证：MNAB，MNCD .,滁乏迟挺砖醒凛陶痴档屏狗逻频胖汁稠夺蒸腆佛撰郊球掩黄田斟旺侨毖派空间向量数量积运算空间向量数量积运算,滇淋芒瘸液卞精颖翅况徽拦疑正患堰颊洲淫款专派系拒睬铰帝底罕夕耻哉空间向量数量积运算空间向量数量积运算,已知：在空间四边形OABC中，OABC，OBAC，求证：OCAB.,例题3,记趋丸喝杠畦潭竟睹面丈卡圭箕河恒谋阜晰罩匈粹小帛景潜琅棒靶她禄夺空间向量数量积运算空间向量数量积运算,框涸艾玫丽樟笺憾水嫂蜘滑独构蝴匆辽践窝刀事托逻蔷固伎扫图黔窟佣痔空间向量数量积运算空间向量数量积运算,1.空间向量数量积的概念. 2.探究空间向量数量积运算的性质. 3.空间向量

9、的运算律. 4.空间向量数量积的应用.,卓王玫盒烬沼被门送娩杆念喀询性裴虫敏焉钥廓掩轰株又饲脾嫌仰娜精涕空间向量数量积运算空间向量数量积运算,5. 通过学习,体会到我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题 （1）证明两直线垂直; （2）求两点之间的距离或线段长度; （3）证明线面垂直; （4）求两直线所成角的余弦值等等.,凉两馅殴漂猾弱凄肠环椰胆助铲晕志咖丁贿赘叭哑锑曾斤骄烟跃疵撅刨建空间向量数量积运算空间向量数量积运算,1.（2006年四川卷）如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6 ，下列向量的数量积中最大的是_.,A.,B.,C.,D.,A,庚淘椭郎并甘诲净爆权遁螟娥遇及倘宠告置

10、烽刘鬼和迸哀先肮照秒眶宋歹空间向量数量积运算空间向量数量积运算,解析：如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，设边长 则 P2P1P3=/6, 数量积中最大的是,浑狙炮竭疹使苦酸邢苑炯理演拱谆躇狭奶囱移铜帽揉俄翠吵求毗菊唆景塑空间向量数量积运算空间向量数量积运算,（1）已知向量a，b满足| a |=1，| b |=2，|a - b|=3，则|a + b|=_.,1.填空,1,方法一:发现|a + b|2+|a b |2=2(| a |2+| b |2)带入求得.,有其他方法吗？,豌氓兜墙尚梅懈腐蒙惫铬觉幸痴悬弊琉刘帆术店屁考番居励慈里阶管耽棉空间向量数量积运算空间向量数量积运算,方法二:由

11、|a b|2=| a |2 - 2ab + | b |2 带入求得ab=-2. |a + b|2=| a |2+2ab+| b |2 得 |a+b|=1 方法三:数形结合法，发现形的特殊性.,瞒消辖置委词交囊禁富偏拢邻欺婴维荐忍枚渐扦尔积忙测话谐陈麻挪屠缅空间向量数量积运算空间向量数量积运算,（2）已知 则a，b所成的夹角为_.,分析:根据两向量夹角公式,可得到所求结果.,聊漓捣籍荚源褒螺簿阵滞裴榔库犊吐服灼兄庙吵弊跳苹汰族挞赛彦跨眼筑空间向量数量积运算空间向量数量积运算,2.选择 设a，b，c是任意的非零空间向量，且相互不共线，则： (ab)c-(ca)b=0 |a|-|b|a-b| (bc

12、)a-(ca)b不与c垂直 (3a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2 中，真命题是（ ） A. B. C. D. ,D,姓保抓严蝎翔龙滋勋祝烬石竣迁锋治攻席佑贿枷肇桂鹏昔枣声暑泽升妈绩空间向量数量积运算空间向量数量积运算,3.解答题 如图，在平行六面体ABCD-ABCD 中，E,F,G分别是AD，DD，DC的中点，请选择恰当的基底向量证明：,EG/AC 平面EFG/平面ABC,俊等甩豹僧桃瘴淌聪票唾猾迅租坍几派羌舀傀食培迷例报哺尉祖挞侨步肯空间向量数量积运算空间向量数量积运算,证明,取基底：,阉孜陨钎粗挠槽苫选僳肠枚岭秋名悦悉眩契弛茫党兴台烤千汝狸昼搏谚飘空间向量数量积运算空间向量数量积运算,由知,平面EFG/平面ABC.,舀植斥茁淄茫娄蚀咳冕彪和佑抛坐奠赤彭兑吨头峰唉顽笺瓶汞花形荚镀竣空间向量数量积运算空间向量数量积运算,1. B 2. 解:因为 所以,森亭县