平面力系的合成与平衡

1、1,第三章 平面力系的合成与平衡,2,31 平面汇交力系的合成与平衡,第三章 平面力系的合成与平衡,目录,3,平面汇交力系的合成、分解的规律、平衡条件及其应用。 教学要求： 1、掌握平面汇交力系合成的力多边形法则及合成的解析法； 2、掌握平面汇交力系平衡条件的具体应用。 重点：平面汇交力系的简化及平衡方程的应用 难点：平衡方程的应用。 学时安排：2,教学内容：,4,平面汇交力系： 各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。,引 言,研究方法：几何法，解析法。,例：起重机的挂钩。,力系分为：平面力系、空间力系,平面特殊力系：指的是平面汇交力系、平面力偶系和平面平 行力系。,5,一、合成的几

2、何法,1.两个共点力的合成,合力方向由正弦定理：,由余弦定理：,由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。,3-1 平面汇交力系的合成与平衡,F2,F1,R,180-,6,合力的大小与方向与力多边形的 作图的先后次序无关,一、合成的几何法,2. 任意个共点力的合成,力多边形画法,F1,F2,F3,F4,R,R1,R2,F2,F3,F1,F4,R,R1,R2,首尾相接,3-1 平面汇交力系合成与平衡,7,8,结论：,即：,即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。,二、平面汇交力系平衡的几何条件,在上面几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平

3、面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：,平面汇交力系平衡的充要条件是：,9,例 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。,又由几何关系：,选碾子为研究对象,取分离体画受力图,解：,当碾子刚离地面时NA=0,拉力F最大,这时 拉力F和自重及支反力NB构成一平衡力。 选比例尺为20kN 由平衡的几何条件，力多边形封闭，故,NA,NB,由作用力和反作用力的关系， 碾子对障碍物的压力等于23.1kN。,10,此题也可用力多边形方法用比例尺去量。,几何法解题步骤：选研究对象；作出受力图； 作力多边形，选择适当的比例尺

4、； 求出未知数,几何法解题不足： 精度不够，误差大 作图要求精度高； 不能表达各个量之间的函数关系。,下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法： 解析法。,P=20KN F=11.5kN , NB=23.1kN,11,1、力沿直角坐标轴的分解,Fx=Fcosa,（一）、力的分解,三、 平面汇交力系合成与平衡的解析法,Fy=Fsina=F cos,12,2、力沿非正交坐标轴的分解,F1,F2,A,C,D,B,F,a、平行四边形法则,b、三角形法则,13,1、力在坐标轴上的投影：,(二)、力的投影,X=Fx,Y=Fy,=Fcosa,=Fsina,力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与该投影轴正

5、向间夹角的余弦。,力在某轴上的投影是代数量，当其与轴的正向一致时为正，反之为负。,14,2、合力投影定理,由图可看出，各分力在x轴和在y轴投影的和分别为：,合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。,15,合力的大小：,为该力系的汇交点,再确定R与x轴正向间小于90的夹角,方向：由Rx、Ry的正负号大致确定,作用点：,16,（三） 、平面汇交力系合成与平衡的解析法,从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为零。,即：,为平衡的充要条件，也叫平衡方程,平面汇交力系有两个独立平衡方程，故可以求解两个未知数。,即各力在任意建立的直角坐标轴上投影的代数和

6、分别等于零。,（三） 、平面汇交力系合成与平衡的解析法,17,例1：设有四个力作用于O点，方向如图。已知F1=100N，F2=100N，F3=150N，F4=200N，试求合力。,先求投影,X2=100cos50=64.3N,X3= -150sin30=-75N,X4= - 200cos20= -187.9N,X1=100cos0=100N,Rx= X=- 98.6N,Y1=100sin0=0N,Y2=100sin50=76.6N,Y3=150cos30=129.9N,Y4= - 200sin20= - 68.4N,Ry= Y= 138.1N,Rx为负， Ry为正，合力在第二象限,18,解：研

7、究AB杆 画出受力图 列平衡方程,例2 已知 P=2kN 求SCD , RA,由EB=BC=0.4m，,解得：,；,解平衡方程,19,例3 已知如图P、Q， 求平衡时 =？ 地面的反力ND=？,解：研究球受力如图，,由得,由得,选投影轴列方程为,20,例4,简易吊车如图，已知P=20kN，不计杆和滑轮自重，略去摩擦及滑轮大小。,求：系统平衡时杆AB和BC所受的力。,因不计杆重，AB和BC为二力杆，受力沿杆轴线；又不计滑轮大小，杆力和索力通过销子B，故取销子B为研究对象。,受力如图,解：（1）取研究对象画受力图,21,（2）选取坐标系,由于不计摩擦，F1=F2=P，只有FAB和FBC的大小未知，

8、为避免求解联立平衡方程，选取如图所示的坐标系。,（3）列平衡方程,由,与假设方向相反，杆件受压,22,由,杆件受压,杆件受力方向是任意假定的，若所求结果为负，则表示实际受力方向与假设方向相反，若为正，则表示实际方向与假设方向相同。,坐标轴的选取只影响求解的难易程度，而不影响最终结果。（同学可尝试选取其它方向的坐标）,23,例6 铰链器连杆机构ABCD如图在铰链B上作用一已知力，在铰链C上作用一未知力，该机构处于平衡。若不计重，求力R.,解：1分别选取铰B、C为研究对象 2画铰B、C的受力图 3选取坐标轴如图 4列平衡方程,对B铰： X=0,对C铰：X=0,B,24,几何法：1选取B、C铰为研究

9、为对象 2画B、C铰受力图 3按一定比例作图 4.量取R的大小按,25,通过以上例题分析求解，我们可以把平面汇交力系平衡问题的解题方法概述如下： (1)根据题意确定研究对象:选为研究对象的物体上应作用有已知力和待求的未知力；先选受力情况相对较简单的物体，再选受力情况相对较复杂的物体；若问题较复杂时，要选两个甚至更多的研究对象，才能逐步解决。 (2)绘分离体的受力图，不要增减力，特别注意约束反力的画法，并要正确应用三力平衡定理。 (3)用几何法解题，应选取适当比例尺，画出研究对象的轮廓图形和作该力系的封闭力多边形或力三角形，最后用尺和量角器量出未知量或用三角公式算出未知量。 (4) 用解析法解题

10、时，应当选取适当的坐标轴,尽量使力的投影简便，避免解联立方程，一般应使坐标轴与较多的力平行或垂直，再列平衡方程求解，在计算力的投影时，应注意正负号。 (5) 必要时应分析或讨论计算结果。,26,1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度 特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。,解题技巧及说明：,3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中 只有一个未知数。,2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。,5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出 负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件， 一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压 力。,4、对力的方向判定不准

11、的，一般用解析法。,27,本节主要内容是运用几何法和解析法研究平面汇交力系的合成与平衡，重点是用解析法解平衡问题应熟练掌握。 1、平面汇交力系只能合成一个合力，合力等于诸分力的几何和. 即 (1) 在几何法中力多边形的封闭边表示合力的大小和方向 (2) 在解析法中，合力的大小和方向可按下列公式计算。 式中 表示合力与X轴所夹锐角， 合力的指向由x和y的符号判定。 2、平面汇交力系平衡的必须要充分条件是合力为零。 (1) 在几何法中平衡的几何条件是力多边形自行封闭。 (2) 在解析法中平衡方程 X=0 Y=0 利用平衡方程可求出两个未知量，它是解决平面汇交力系的平衡问题的基本方程。 (3) 解平面汇交力系，平衡问题的方法和步骤。,28,平面汇交力系,29,例：如图所示为一简单的起重设备AB、BC两杆在A、B、C三处用铰链连接，在B处销钉上装有一个可以不计重量的光滑小滑轮，绕过滑轮的起重钢丝绳一端悬重量G=1.5KN的重物，另一端绕在卷扬机绞盘D上。当卷扬机开动时，可将重物吊起，设AB和BC两杆不计本身重量，小滑轮尺寸不计，并设重物匀速上长升试求AB杆和BC杆所受的力。,解：在本题中，由于小滑轮上作用着所有有关的力，而小滑轮尺寸可以不计，即这些力