2026年高考数学考前20天冲刺讲义（一）（原卷版）

目录倒计时20天➤解三角形与三角函数（解答题）………………01聚焦高考常考的正弦余弦定理与解三角形综合7大考向10个核心考点倒计时19天➤立体几何（解答题）……………16以空间几何体为载体，考查线面位置关系、空间角与体积计算等7大考向6个核心考点倒计时18天➤概率统计（解答题）…………37聚焦统计图表分析、概率模型与分布列、统计案例应用4大考向21个核心考点倒计时17天➤导数及其应用（解答题）……………………55聚焦导数单调性与极值最值、不等式证明与恒成立等综合问题6大考向7个核心考点倒计时20天道阻且长，行则将至；行而不辍，未来可期。——《荀子・修身》解三角形与三角函数（解答题）考情透视--把脉命题直击重点►命题解码：①多以正弦定理、余弦定理、面积公式及边角互化为核心设问方式。②与三角函数、平面向量、不等式的跨模块综合，是命题的延伸与创新方向。►高考前沿：聚焦真实情境建模，考查边角关系求解与最值范围分析；突出逻辑推理与数学运算核心素养。考点抢分--核心精粹高效速记终极考点1

正弦定理基本公式：（其中为外接圆的半径）变形①②③④应用：边角互化①②③或（舍）.终极考点2

三角形中三个内角的关系，，终极考点3

余弦定理边的余弦定理，，角的余弦定理，，终极考点4

三角形的面积公式终极考点5

角平分线定理（1）在中，为的角平分线，则有（2）（3）（库斯顿定理）（4）终极考点6

张角定理终极考点7

倍角定理在中,三个内角的对边分别为,(1)如果,则有:(2)如果,则有:(3)如果,则有:倍角定理的逆运用在中,三个内角A、B、C的对边分别为,(1)如果,则有:。(2)如果,则有:。(3)如果,则有:。终极考点8

中线长定理为的中线,则中线定理:证明:在和中,用余弦定理有:终极考点9

正弦函数、余弦函数、正切函数的图象、性质对比函数图象定义域值域奇偶性奇函数偶函数周期性最小正周期：最小正周期：最值当时，；当时，当时，；当时，单调性在上单调递增；在上单调递减在上单调递增；在上单调递减零点，，对称轴，，对称中心解析式图像定义域值域最小正周期奇偶性奇函数单调性在每一个区间上都单调递增对称性对称中心终极考点10

三角函数的伸缩偏移变换及三角函数型的图象与性质函数的图象变换函数的图象性质函数定义域值域⑦最值由，解得由，解得最小正周期⑧奇偶性当⑨，且时，函数为奇函数；当⑩时，函数为偶函数单调性当时，函数⑪当时，函数⑫对称性由解得对称轴；由解得对称中心横坐标，对称中心纵坐标为⑬①；②；③A；④；⑤；⑥A；⑦；⑧；⑨；⑩；⑪单调递增；⑫单调递减；⑬B真题精研--复盘经典把握规律考向01正弦定理边角互化（2025·北京·高考真题）在中，．(1)求c的值；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高．条件①：；条件②：；条件③：的面积为．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，．(1)求A的值；(2)求c的值；(3)求的值．（2025·上海·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．(1)若，求a；(2)若，求的面积的最大值．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．(1)求；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．解题妙法三步解题法：三步解题法：边化角：出现边的齐次式（如a+b、a2等），将角化边：出现正弦的齐次式（如sinA+sinB），将统一求解：利用三角恒等变换或代数运算，结合内角和A+B口诀：边角互化看齐次，正弦定理是钥匙；两边同除2R考向02余弦定理（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面积为，求c．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，已知，，.(1)求；(2)若D为BC上一点，且，求的面积.（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．(1)若，求；(2)若，求．解题妙法三步解题法：三步解题法：选形式：已知三边求角：cos已知两边及夹角求第三边：a代入计算：将已知边长和角度代入公式，求出余弦值或边长。定角/边：由余弦值结合0∘<注意：大边对大角，余弦值为负时角为钝角。考向03三角形面积及其最值（2025·上海·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．(1)若，求a；(2)若，求的面积的最大值．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面积为，求c．（2023·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若，求面积．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，已知，，.(1)求；(2)若D为BC上一点，且，求的面积.（2022·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面积．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求的面积；(2)若，求b．（2019·全国III卷·高考真题）的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．解题妙法三步解题法：三步解题法：选公式：常用S=12absinC或建关系：利用正、余弦定理将面积表达为单变量函数（如用一角两边或一边两角）。求最值：利用基本不等式（如ab≤或转化为三角函数y=A例：已知b+c定值，求Smax常用考向04三角形的周长（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周长．（2022·全国乙卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．(1)证明：；(2)若，求的周长．解题妙法三步解题法：三步解题法：表达周长：L=统一变量：边化角：利用正弦定理a=2RsinA角化边：用余弦定理消元。求范围/最值：结合内角和消去一角，转化为关于一个角的三角函数，利用有界性求值域；或用基本不等式求最值。技巧：若已知b+c及A，先用余弦定理求考向05求角和三角函数的值（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，．(1)求A的值；(2)求c的值；(3)求的值．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．（2022·天津·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.解题妙法三步解题法：三步解题法：定定理：根据已知边角关系，选择正弦定理（边对角）或余弦定理（边夹角）。列方程：代入数据，得到关于未知角或三角函数值的方程。解并验：解方程（注意三角方程多解），再根据三角形内角范围（0∘提醒：出现sinA=k时，若考向06中线、高线（2025·北京·高考真题）在中，．(1)求c的值；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高．条件①：；条件②：；条件③：的面积为．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，．(1)求；(2)设，求边上的高．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．(1)若，求；(2)若，求．解题妙法三步解题法：三步解题法：识别线段：中线ma：连接顶点A高线ℎa：从A套公式：中线长公式：ma=1高线长公式：ℎ代入计算：利用已知边角或先求出面积S，再代公式得结果。注意：中线公式中a是中线所对的边，不要混淆字母。考向07三角函数（2025·全国二卷·高考真题）已知函数．(1)求;(2)设函数，求的值域和单调区间．（2024·上海·高考真题）已知，(1)设，求解:的值域;(2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围.（2023·北京·高考真题）设函数．(1)若，求的值．(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．条件①：；条件②：；条件③：在区间上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．解题妙法三步解题法：三步解题法：化一形式：将所给函数化为y=Asinωx+φ整体代换：将ωx+φ看作整体，对应正弦函数y求单调区间：令t落在正弦函数的单调区间内，解出x的范围。求对称轴/中心：令t=π2+kπ求最值：由t的范围结合正弦函数的有界性。周期与平移：周期T平移变换：“左加右减，上加下减”，注意ω的影响。口诀：化一标准是关键，整体代换解区间；周期振幅看系数，图象平移别混乱。终极预测--压轴实战稳拿高分1．（2026·浙江嘉兴·二模）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且.(1)求角C及边c的值；(2)求的最大值.2．（2026·陕西·二模）在中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且．(1)若，求的大小；(2)设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度.3．（2026·广东佛山·二模）已知函数（）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C、D为图象与x轴的交点，且为等腰直角三角形.(1)求的解析式，及为偶函数时的最小正实数m；(2)求的值.4．（2026·河北·一模）△ABC中，已知内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且满足(1)当时，求；(2)若a=2，当取最大值时，求.5．（2026·辽宁沈阳·三模）已知的三个内角为A，B，C，三个内角所对的三个边分别为a，b，c，，，，内存在一点D使得，，

(1)求；(2)求.6．（2026·河北衡水·二模）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且的面积(1)求角的大小；(2)若，求的取值范围.7．（2026·辽宁大连·一模）已知函数，当时，的最小值为．(1)求函数在区间内的零点个数；(2)将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，求的值域和单调区间．8．（2026·四川眉山·二模）在中，已知内角，，满足．(1)求；(2)设边上的中线为，若，求面积的最大值．9．（2026·河北邢台·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，，.(1)求的值；(2)若边上的高为，求的周长.10．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在中，内角，，所对的边长分别是，.(1)求角；(2)若，，，求AB边上的高.11．（2026·广西河池·二模）如图，在中，为的中点，且．(1)求；(2)若，求．12．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知与，点与点在直线的同侧，且边与边相交于点，为中点，.(1)若平分，求的长；(2)若，求的值.13．（2026·河北沧州·二模）已知在中，D是边上一点，是的平分线，且．(1)求；(2)设当λ为何值时，取得最大值?14．（2026·吉林·三模）在平面四边形中，，.(1)若.（i）若A，B，C，D四点共圆M，求；（ii）求四边形面积S的最大值.(2)若，，与交于点.记，求当为何值时，.15．（2026·湖南·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求C的值.(2)设的外接圆半径为R，内切圆半径为r.（i）若，，求的周长；（ii）求的最大值.倒计时19天追风赶月莫停留，平芜尽处是春山。——《格言联璧》立体几何（解答题）考情透视--把脉命题直击重点►命题解码：①以空间位置关系的证明（平行、垂直）和空间角（线面角、二面角）计算为核心，向量法是通法，几何法重思维。难度分层：第1问多为中档题（证明），第2问为中等偏上（计算）。②动态翻折问题、非标准几何体（棱台、组合体）考查频率上升，2026届预计延续此趋势，突出直观想象与逻辑推理。►高考前沿：聚焦“动点+最值”问题（如线段长度最小、角度变化范围），与函数或导数浅层结合；强调建系策略与运算优化，避免坐标系的盲目选择。考点抢分--核心精粹高效速记终极考点1

空间中的平行关系线线平行线面平行的判定定理：平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行线面平行的性质定理若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行面面平行的判定定理判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行面面平行的性质定理性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行终极考点2

空间中的垂直关系线线垂直线面垂直的判定定理一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直线面垂直的性质定理性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行面面垂直的判定定理一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直（或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直）面面垂直的性质定理两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面终极考点3

异面直线所成角=（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）终极考点4

直线与平面所成角(为平面的法向量).终极考点5

二面角的平面角（，为平面，的法向量）.终极考点6

点到平面的距离（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.真题精研--复盘经典把握规律考向01空间中平行关系的证明1．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点．(1)若分别为的中点，求证：平面PAB；(2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．2．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为．(1)证明：平面；(2)求面与面所成的二面角的正弦值．3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，．(1)若，证明：平面；(2)若，且二面角的正弦值为，求．4．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．(1)若为线段中点，求证：平面．(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．5．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，，，，,为的中点.(1)证明：平面；(2)求点到的距离.6．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值．7．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点，(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角余弦值；(3)求点到平面的距离．解题妙法三步解题法：三步解题法：选判定定理：线线平行→线面平行：找平面内一条直线与已知直线平行。线面平行→面面平行：找两条相交直线分别平行于另一平面。构造辅助线/面：利用中位线、平行四边形对边、比例线段创造平行条件。连接中点、作平行线、延长交线等。严格推证：按定理格式书写，强调“线不在面内”“面内相交”等条件，避免跳步。口诀：中位平行记心间，线线推线面，线面推面面，缺一条件不算完。考向02空间中垂直关系的证明8．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，．(1)证明：平面平面；(2)设，且点，，，均在球的球面上．（i）证明：点在平面内；（ⅱ）求直线与所成角的余弦值．9．（2025·天津·高考真题）正方体的棱长为4，分别为中点，．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求三棱锥的体积．10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．(1)证明：；(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．11．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱中，平面．

(1)证明：平面平面；(2)设，求四棱锥的高．12．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．(1)证明：；(2)点F满足，求二面角的正弦值．解题妙法三步解题法：三步解题法：选判定定理：线面垂直→线线垂直：一条线垂直平面，则垂直面内所有直线。线线垂直→线面垂直：一条线垂直平面内两条相交直线。面面垂直→线面垂直：交线垂直线，则面内线垂直另一面。找垂直关系：已知条件中的等腰三角形底边中线、菱形对角线、矩形邻边、直径所对圆周角等。勾股定理逆定理证直角。逻辑串联：从已知垂直出发，层层推导，最后得到目标垂直。技巧：证明线面垂直，关键是找到平面内两条相交直线均与目标直线垂直。考向03线面角及其方程思想的应用13．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点．(1)若分别为的中点，求证：平面PAB；(2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．14．（2024·上海·高考真题）如图为正四棱锥为底面的中心．(1)若，求绕旋转一周形成的几何体的体积；(2)若为的中点，求直线与平面所成角的大小．15．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1

(1)证明：；(2)已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值．解题妙法三步解题法：三步解题法：定角：直线与平面所成角是直线与其在平面内投影的夹角。找到斜足和垂足，作出（或指出）线面角。建系求角（方程法）：建立空间直角坐标系，写出直线方向向量v和平面法向量n。线面角θ满足：sinθ解方程：根据已知条件（如已知角的大小、三角函数值）列出关于未知点坐标或参数的方程，求解。注意：线面角范围0∘考向04二面角及其方程思想的应用16．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为．(1)证明：平面；(2)求面与面所成的二面角的正弦值．17．（2025·上海·高考真题）在三棱锥中，平面平面，，，(1)若O是棱的中点，证明：平面，并求三棱锥的体积；(2)求二面角的大小．18．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，．(1)若，证明：平面；(2)若，且二面角的正弦值为，求．19．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．(1)若为线段中点，求证：平面．(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．20．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值．21．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．(1)证明：；(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．22．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

(1)证明：；(2)点在棱上，当二面角为时，求．解题妙法三步解题法：三步解题法：定角（几何法）：找到二面角的棱，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，其夹角即为平面角。常用垂面法或三垂线法。向量法（方程思想）：求出两个半平面的法向量n1、n二面角α满足：cosα列方程求解：已知二面角大小，可建立关于未知点坐标的方程，解出参数。口诀：法向夹角记余弦，观察锐钝定正负；几何法找棱垂线，向量法列方程速。考向05体积、点面距、高23．（2025·天津·高考真题）正方体的棱长为4，分别为中点，．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求三棱锥的体积．24．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，，，，,为的中点.(1)证明：平面；(2)求点到的距离.25．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点，(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角余弦值；(3)求点到平面的距离．26．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．(1)求证：//平面；(2)若，求三棱锥的体积．27．（2023·天津·高考真题）如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，

(1)求证：//平面；(2)求平面与平面所成夹角的余弦值；(3)求点到平面的距离．28．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱中，平面．

(1)证明：平面平面；(2)设，求四棱锥的高．解题妙法三步解题法：三步解题法：选公式：体积：V=1点面距：d=AP⋅n求面积与高：底面面积：利用平面几何公式（特殊三角形、正方形等）。高：若为垂线，用勾股定理解直角三角形；或用向量法直接求距离。等体积转化：当直接求某点面距困难时，转换顶点（如VA技巧：点到平面的距离本质是“以该点为顶点的三棱锥的高”。考向06以球体为载体29．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，．(1)证明：平面平面；(2)设，且点，，，均在球的球面上．（i）证明：点在平面内；（ⅱ）求直线与所成角的余弦值．解题妙法三步解题法：三步解题法：定球心：球心到球面上所有点距离相等。若多面体顶点都在球面上，球心是各面外心垂线的交点；长方体/正方体外接球球心为体心。找半径：构造直角三角形：球心到截面圆心的连线垂直截面，半径R满足R2=r截外接球：长宽高分别为a,b,c内切球：R=套公式求体积/表面积：V=43注意：与球有关的组合体，常用截面法将空间问题转化为平面圆问题。考向07最值与范围30．（2020·全国1卷·高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．终极预测--压轴实战稳拿高分1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图所示，已知等腰梯形中，，是的中点，将沿对折至，使得与边长为2的菱形成60°的二面角，折叠后发现.(1)求点P到平面的距离；(2)求二面角的正弦值.2．（2026·山东枣庄·二模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面平面，，为的中点，点为线段上的动点．(1)求证：平面平面；(2)记平面与平面的夹角为，求的取值范围．3．（2026·贵州贵阳·模拟预测）如图，在多面体中，平面，，，为中点，．

(1)证明：平面；(2)当二面角的正切值为时，求直线与平面所成角的正弦值．4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，点是棱上的一点（不同于端点），且．(1)求证：；(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．5．（2026·广西河池·二模）如图，四棱锥的底面是边长为4的菱形，，，，，是的中点．(1)证明：；(2)若点为线段上动点，是否存在这样的点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．6．（2026·广东广州·二模）如图1，在矩形ABCD中，于于，将沿AC翻折至，使得，连接，如图2．(1)求三棱锥的体积；(2)求直线与直线AC所成角的余弦值．7．（2026·湖南郴州·三模）已知椭圆的离心率为分别是椭圆的左，右焦点，点为椭圆上任意一点，且面积的最大值为所在的直线经过椭圆的中心，现将坐标平面沿轴折成一个直二面角，如图1､2所示.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线的斜率为1，求翻折后异面直线与所成角的余弦值；(3)当不在轴上时，如图2，求面积的最大值.8．（2026·四川德阳·三模）如图，已知两个四棱锥与的公共底面是边长为2的正方形，顶点在底面的同侧．棱锥的高分别为AB，CD的中点，与交于点E，与交于点F．(1)证明：平面ABCD；(2)求二面角的平面角的正弦值．(3)求多面体ABCDEF外接球的面积．9．（2026·湖南·三模）如图，分别为等边三角形的边的中点，，将沿折起，使顶点至点的位置，此时平面平面，分别为的中点．(1)证明：平面；(2)若点在同一球面上，设该球面的球心为．（i）求球的表面积；（ii）求平面与平面的夹角的余弦值．10．（2026·河北邯郸·二模）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中，，，E为PA的中点，F为PC上一点．(1)求证：平面平面PAB；(2)若，，且．（ⅰ）当平面BFD时，求的值；（ⅱ）当时，求平面BEF与平面PAB夹角的大小．11．（2026·安徽滁州·二模）如图，在直四棱柱中，下底面为平行四边形，，，，分别是上、下底面所在平面内两点，点在棱上，且点是以为圆心的圆弧上的动点，点是半圆弧上的动点（不包括端点）．(1)若点在上，证明：平面；(2)设三棱锥的外接球的半径为，求的取值范围．12．（2026·河北沧州·一模）如图，在正方体中，O为其外接球的球心，，将棱BC延长到点E，使得，连接DE，，M为上靠近的三等分点．(1)求证：平面.(2)（i）求平面与球O的截面的面积；（ii）若点P是OE与球面O的交点，求平面AMP与平面夹角的余弦值．13．（2026·江苏·模拟预测）将椭圆面沿着垂直于其所在平面的空间向量平移得到的封闭几何体叫做椭圆柱体.如图所示的椭圆柱体，点和分别为上､下椭圆面的对称中心，椭圆的长轴长，短轴长为均垂直于椭圆面，且，过下底面椭圆的右焦点的动直线交椭圆于两点，是上一点，且满足平面.(1)求的值；(2)求点到平面距离的最大值；(3)若，求直线与平面所成角的正弦值.14．（2026·河南开封·二模）已知三棱锥的四个顶点均在球的表面上．(1)若，求球的表面积；(2)若是边长为的等边三角形，，球的半径为，求三棱锥的体积；(3)若是直角三角形，斜边，点到底面的距离为7，球的半径为5，求的最小值．15．（2026·重庆·模拟预测）若一个四面体三组对棱分别相等，我们称为“等腰四面体”．已知在等腰四面体中，分别为所在棱的中点，如图所示．(1)求证：平面；(2)若，求异面直线与所成的角的余弦值；(3)在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，直线与交于两点．为空间中一点，若四面体为等腰四面体，求其外接球表面积的取值范围．倒计时18天日拱一卒无有尽，功不唐捐终入海。——《法华经》概率统计（解答题）考情透视--把脉命题直击重点►命题解码：①以概率模型（二项分布、超几何分布、正态分布）与统计图表（频率分布直方图、散点图）的综合应用为主。难度分层：第1问基础计算，第2问中等难度决策分析，第3问（如有）为压轴题，常与数列递推或函数结合。②2026届重点关注“概率+数列”综合（如马尔可夫链基础模型），以及“期望与决策”的实际应用题。►高考前沿：聚焦真实情境（产品质量检验、医学试验、体育比赛赛制、保险方案设计），考查数据解读与数学建模；突出数据分析核心素养，强调用样本估计总体的思想。考点抢分--核心精粹高效速记终极考点1

概率综合等可能性事件的概率.互斥事件A，B分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．个互斥事件分别发生的概率的和P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)=P(A)·P(B).个独立事件同时发生的概率P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)．次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率条件概率条件概率的定义条件概率的性质已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)．当P(B)>0时，我们有P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB).(其中，A∩B也可以记成AB)类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)(1)0≤P(B|A)≤1，(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．条件概率的三种求法定义法先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求P(B|A)基本事件法借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)缩样法缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝，此公式为全概率公式.（1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数.（2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.贝叶斯公式一般地,设是一组两两互斥的事件,有且,则对任意的事件有终极考点2

期望方差及样本数字特征1.离散型随机变量的分布列的两个性质（1）;（2）.2.数学期望3.数学期望的性质（1）.（2）若～,则.(3)若服从几何分布,且，则.4.方差5.标准差=.6.方差的性质(1)；(2）若～，则.(3)若服从几何分布,且，则.7.方差与期望的关系.8.正态分布密度函数，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.9.对于，取值小于x的概率..10.数字样本特征众数：在一组数据中出现次数最多的数中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果为奇数个，中位数为中间数；若为偶数个，中位数为中间两个数的平均数平均数：，反映样本的平均水平方差：反映样本的波动程度，稳定程度和离散程度；越大，样本波动越大，越不稳定；越小，样本波动越小，越稳定；标准差：，标准差等于方差的算术平方根，数学意义和方差一样极差：等于样本的最大值最小值11.求随机变量X的分布列的步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取得全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的分布列；(4)根据分布列的性质对结果进行检验.还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；（2）已知随机变量的期望、方差，求的期望与方差，利用期望和方差的性质（，）进行计算；（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算，若～,则，.真题精研--复盘经典把握规律考向01独立性检验1．（2025·全国一卷·高考真题）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：超声波检查结果组别正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；(2)根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.附，0.0500.0100.0013.8416.63510.8282．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围学业成绩优秀5444231不优秀1341471374027(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）(3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：其中，．）3．（2024·全国甲卷·高考真题）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（）附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.8284．（2023·全国甲卷·高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.132.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.8

19.219.8

20.2

21.6

22.8

23.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5(1)计算试验组的样本平均数；(2)（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表对照组试验组（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.635解题妙法三步解题法：三步解题法：列联表：根据题意整理2×2列联表，准确填写观察频数a,算卡方：代入公式K2=nad−bc2比阈值：与临界值表比较（通常给出k0如若k≥k0，则“有若k<注意：计算时保留足够小数；结论必须提及具体显著性水平（如α=考向02线性回归直线方程5．（2022·全国乙卷·高考真题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：样本号ｉ12345678910总和根部横截面积0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得．(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数．6．（2020·全国II卷·高考真题）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，，，，.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r=，≈1.414.解题妙法三步解题法：三步解题法：求系数：ba写方程：y预测：将给定x代入方程得y；注意回归方程只适用于原数据范围，不宜外推过远。口诀：先求均值后算差，分子分母分开化；斜率截距代公式，回归预测用此线。考向03统计综合7．（2024·上海·高考真题）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．(1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；(2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；(3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．8．（2023·全国乙卷·高考真题）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，．试验结果如下：试验序号12345678910伸缩率545533551522575544541568596548伸缩率536527543530560533522550576536记，记的样本平均数为，样本方差为．(1)求，；(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）解题妙法三步解题法：三步解题法：识图/表：频率分布直方图：频率=纵坐标（频率/组距）×组距；各小矩形面积和为1。条形图、扇形图：准确读取数据。算特征：众数：最高矩形底边中点；中位数：左右面积各0.5对应的数值。平均数：x=∑（组中值×频率）；方差s估计与推断：用样本数字特征估计总体（如用样本均值估计总体均值），结合实际问题下结论。注意：直方图中求中位数需先确定所在组，再按比例插值计算。考向04概率综合9．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率.(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望；(3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）.10．（2025·全国二卷·高考真题）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立.对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率．(1)求（用p表示）．(2)若，求p．(3)证明：对任意正整数m，．11．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：赔偿次数01234单数假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.（i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望；（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明）12．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．(1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．(2)假设，（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？13．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．(1)求第2次投篮的人是乙的概率；(2)求第次投篮的人是甲的概率；(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．解题妙法三步解题法：三步解题法：辨模型：古典概型：P=互斥事件：PA∪B条件概率：PB|A全概率公式：若B1,B2常见分布：二项分布X∼列式与计算：根据事件关系，选用上述公式列出概率表达式，用排列组合或数值代入计算。求分布列与数字特征：分布列：列出随机变量所有取值及其概率。期望：EX=∑xi方差：DX=∑xi口诀：条件概率缩样本，全概率分解原因；分清独互与完备，贝叶斯后验能反推。终极预测--压轴实战稳拿高分1．（2026·山东泰安·二模）为深入落实“健康第一”的教育理念，某高中为了解高三学生每天运动时间，从2000名学生中随机抽取了100名学生进行调查，得到的数据如表所示日均运动时间（小时）男生人数5202010女生人数152064(1)该校高三2000名学生中，日均运动时间不足1小时的学生约为多少人？(2)估计该校高三学生日均运动时间的平均数；(3)根据小概率值的独立性检验，能否认为“该校高三学生日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”有关联？附，其中.0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.8282．（2026·辽宁沈阳·三模）某农业技术站研究化肥施用量对大棚青菜产量的影响.在一定范围内，施肥量（单位kg/亩）越大，青菜产量（单位kg/亩）越高.实验测得具体数据如下表：施肥量23456青菜产量42004300435043804400根据散点数据特征，研究人员分析得出产量与施肥量近似满足的关系，取，经计算可知，，，，(1)请根据上述数据，计算得出产量y关于施肥量x的回归方程，并结合常识描述的实际意义，为简化计算，计算过程中、均精确到个位数.(2)若青菜的收购价格为2元/kg，化肥的采购价格为12元/kg，请从利润最大的角度给出大棚的最优施肥量.参考公式：，.3．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）为研究学习时间与成绩的关系，记录5名学生的数学学习时间(小时)与模拟考成绩(分，满分150)如下:246810w58728090100设模拟考成绩与学习时间的回归模型为:，其中.为计算简洁，现对数据进行中心化处理:令，则回归模型化为.记残差平方和.(1)根据最小二乘原理，要使最小(假设)，推导的估计量的表达式(写出关键步骤).(2)利用所给数据，求关于的经验回归方程，并还原为关于的方程.预测时的成绩.4．（2026·广东肇庆·二模）树人中学积极践行“健康第一”理念，为引导学生养成良好的锻炼习惯和健康生活方式，学校举办趣味体育竞赛活动，活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮.已知甲､乙､丙三人通过第一轮的概率分别为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率均为，假设他们之间通过与否相互独立.(1)求从甲､乙､丙三人中随机选出一人且进入第二轮的概率；(2)记甲､乙､丙三人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望.5．（2026·安徽铜陵·模拟预测）某工厂生产的无人投递车需经过性能测试才能投入使用．若首次测试（A）通过，即合格．若测试A未通过，则需进行第二次测试（B），测试B通过，即合格；否则为不合格，不能投入使用．已知测试A通过率为0.8，测试B通过率为0.5．(1)若某批次生产了n辆无人投递车，合格的数量为X．计算随机变量X的期望与方差；(2)已知某辆无人投递车测试合格，计算其通过测试A的概率；(3)该工厂声称其随机抽取的1000辆无人投递车合格率为95%，请结合材料1和材料2说明该工厂提供的合格率是否可信?材料1：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意正数a，均有．材料2：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称该事件为小概率事件．6．（2026·山西晋中·模拟预测）第八届中国国际进口博览会于2025年11月5日至10日在国家会展中心（上海）举办某公司对参加本届进博会的服务人员开展专项培训，为庆祝服务人员培训合格，该公司设置了一个闯关小游戏，规则如下：在一个不透明的盒子里放入3个大小与质地均相同的小球，其中1个白球，2个黑球，每次有放回地从中任取1个小球，连续取两次，以上过程记为一轮闯关，如果两次取到的都是白球，则闯关成功，闯关者结束闯关，否则闯关失败，然后往盒子里再放入1个黑球，进行下一轮闯关，如此不断继续下去，直至闯关成功．(1)已知某人参加闯关游戏，且最多进行3轮闯关（即使第3轮闯关不成功，也停止闯关）．（ⅰ）记该人闯关的轮数为，求的分布列和数学期望；（ⅱ）在该人闯关成功的条件下，求该人第1轮闯关失败的概率．(2)记闯关者前轮闯关成功的概率之和为，证明：．7．（2026·河北石家庄·一模）某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示.(1)求该样本中学生分数为优秀的人数；(2)从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值；(3)根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值.8．（2026·湖南常德·二模）泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中为自然对数的底数．(1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似，当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值；(2)设，当且时，二项分布可近似看作泊松分布，即，其中.某工厂生产件电子元器件，次品率为，各元件是否为次品相互独立，记为产品中的次品数，按泊松分布近似计算．（i）若，求产品中恰有2件次品的概率；（ii）求使得最大时的值．（参考数据：；若，则有，，）9．（2026·广东惠州·二模）某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取个零件，设抽到的不合格的零件数为.(1)求的值.小明的求解过程如下：因为不合格的零件占总数的，所以，故.请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程；(2)若抽到的个零件中至少有个为不合格零件，求恰好有个为不合格零件的概率；(3)对抽取的个零件进行检测，每个零件的检测费用为元，每发现个不合格品，需额外支出元的处理费用.设本次检测的总费用为元，求随机变量的分布列与数学期望.10．（2026·湖北·二模）某篮球运动员在训练中进行投篮练习.已知其2分球的命中率为0.8，3分球的命中率为0.5，且每次投篮结果相互独立.在每次投篮前，他可以根据场上情况选择投2分球或3分球.(1)若该运动员等可能地选择投2分球或3分球，求他投一次篮命中的概率：(2)现该运动员拥有连续2次投篮的机会，他制定了如下策略：若第一次命中，则第二次继续选择同一类型的投篮；若第一次未命中，则第二次更换为另一种类型的投篮，求该策略下，这名运动员第一次投篮应该怎么选择可以使得两次投篮总得分的期望最大.11．（2026·河南郑州·二模）某商场举行抽奖活动，箱子里装有标号为1到的张奖券，不同的奖券标号对应不同的奖品，标号越大，奖品越丰厚．规则如下：顾客从中有放回地抽取奖券次，每次抽取一张奖券，抽取结果中标号最大的奖券对应的奖品即为最终奖品，设最终获得的奖品对应的奖券标号为．(1)当时，求最终拿到标号为3的奖券的概率和拿到标号为2的奖券的概率．(2)若．①求最终拿到标号不大于的奖券的概率；②求随机变量的期望（用表示）．(3)当时，证明：．12．（2026·河北沧州·二模）已知某不透明盒子中有3个黑球、2个红球，盒子外面有足够多的黑球，所有球除颜色以外完全相同.现进行一种摸球游戏，规定从盒子中随机摸出1个球记下颜色，不放回盒子中，然后从盒子外的黑球中拿1个放入盒子中为一次操作.重复以上操作，当盒子中全为黑球时游戏终止.(1)经过2次操作后，记盒子中红球的个数为，求的分布列和数学期望.(2)记次操作后游戏终止的概率为.(i)求关于的表达式;(ii)求的最大值.13．（2026·四川·模拟预测）投掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为，回答下列问题.(1)若，在3次投掷试验中，设出现正面的次数为，求的分布列与数学期望；(2)求在次投掷试验中正面出现偶数次的概率；(3)现有甲和乙二人用此不均匀硬币玩掷硬币游戏，规则如下：若出现正面，则甲加一分，乙扣一分，若出现反面，则甲扣一分，乙加一分，当一方分数为0分时游戏结束，另一方获胜.在游戏开始时，甲有分，乙有分，若，证明：不管满足何种关系，最终甲获胜的概率都低于乙获胜的概率.14．（2026·贵州贵阳·模拟预测）2021年3月，滇池绿道作为昆明市十大重点工程之一启动建设.滇池绿道规划总长137公里，宛如一条璀璨夺目的翡翠项链，将滇池沿线43处主要湿地公园、2个历史文化名村、20余处美丽乡村串珠成链，融滇池美景与人文古韵于一体，徐徐铺展出一幅青绿为底、乡愁点睛、活力涌动的滇池长卷.骑行爱好者小明已骑行数年，2026年年初，他从滇池绿道沿岸选择了2条不同的骑行路线，记为路线A、B，计划保持每周骑行一次，并制定了两个不同阶段的骑行计划.第一阶段：第一周等可能地从A、B路线中随机选择一个路线，经过统计分析发现，若前一周选择路线A，则下一周选择路线B的概率为；若前一周选择路线B，则下一周选择路线A的概率为.第二阶段：骑行30周，每周从1∼30这30个数字中随机选择一个.若该数字除以7余数为1或2，则该周选择路线A，否则选择路线B.每个数字仅使用一次，直到第30个数字抽完.(1)记小明第一阶段累计次选择路线骑行共花了周，比较的期望与的大小；（给出判断即可）(2)求小明第一阶段第2周选择骑行路线B的概率；(3)记小明第二阶段路线B骑行次数全部用完为止共花了周，求随机变量的期望.15．（2026·福建厦门·二模）某班级在课堂上开展传递卡片游戏，规则如下：①将各学生依次编号为，每个学生手中均有红卡、黑卡各一张；②老师先给1号学生随机等可能地发放一张红卡或黑卡；③2号从1号手中的三张卡片中随机抽取一张，接着，3号从2号手中的三张卡片中随机抽取一张，重复上述操作，直至号从号手中的三张卡片中随机抽取一张；④老师从号手中的三张卡片中随机取出一张弃置．则一轮游戏结束．(1)求在一轮游戏结束后，1号学生手中恰有两张红卡的概率；(2)求在一轮游戏结束后，号学生手中红卡张数的期望；(3)在一轮游戏结束后，将手持两张同色卡片的学生淘汰，余下的学生重新编号，并按照游戏规则重新进行下一轮游戏；当且仅当只剩一个学生未被淘汰或所有学生均被淘汰时，游戏终止．求比赛进行两轮后终止，且此时只剩一个学生未被淘汰的概率．倒计时17天千淘万漉虽辛苦，吹尽狂沙始到金。——刘禹锡《浪淘沙》导数及其应用（解答题）考情透视--把脉命题直击重点►命题解码：①以单调性、极值最值、零点问题、不等式证明为核心，切线为基本题型。难度分层：第1问为基础（求导、切线、单调区间），第2问中档（含参讨论、恒成立），第3问压轴（双变量、隐零点、放缩）。②分类讨论、构造函数、指对同构、切线放缩是破解题目的关键工具。2026届预计继续强化“指对跨阶”与“极值点偏移”的变式考查。►高考前沿：聚焦含参函数的复杂讨论（参数在导数中或函数中）与双变量问题（转化为单变量、比值代换）；突出逻辑推理与数学运算核心素养，强调代数变形与极限思想的渗透。考点抢分--核心精粹高效速记终极考点1

恒成立问题常见类型假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式，（1）的值域为①，则只需要，则只需要②，则只需要，则只需要（2）若的值域为①，则只需要，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）②，则只需要，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）终极考点2

能成立（有解）问题常见类型假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式，（1）若的值域为①，则只需要，则只需要②，则只需要，则只需要（2）若的值域为①，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比），则只需要②，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比），则只需要终极考点3

端点效应的类型1.如果函数在区间上,恒成立,则或.2.如果函数在区问上,恒成立,且(或),则或.3.如果函数在区问上,恒成立,且(或,则或.终极考点4

洛必达法则：法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)及；

(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；

(3)，那么=。型

法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)及；

(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；

(3)，那么=。型终极考点5

极值点偏移的含义众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点.如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同.故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系：若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏.如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏.极值点偏移问题的一般题设形式1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；3.若函数存在两个零点且，令，求证：；4.若函数中存在且满足，令，求证：.极值点偏移的判定定理对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，且，（1）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏；（2）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，则函数的单调递增（减）区间为，单调递减（增）区间为，由于，有，且，又，故，所以，即函数极（小）大值点右（左）偏；（2）证明略.左快右慢（极值点左偏）左慢右快（极值点右偏）左快右慢（极值点左偏）左慢右快（极值点右偏）终极考点6

对数平均不等式两个正数和的对数平均定义：对数平均与算术平均､几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当时，等号成立．只证：当时，．不失一般性，可设．证明如下：（I）先证：……①不等式①（其中）构造函数，则．因为时，，所以函数在上单调递减，故，从而不等式①成立；（II）再证：……②不等式②（其中）构造函数，则．因为时，，所以函数在上单调递增，故，从而不等式成立；综合（I）（II）知，对，都有对数平均不等式成立，当且仅当时，等号成立．运用判定定理判定极值点偏移的方法（1）求出函数的极值点；（2）构造一元差函数；（3）确定函数的单调性；（4）结合，判断的符号，从而确定、的大小关系.终极考点7

拉格朗日（Lagrange）中值定理若函数f（x）满足如下条件：（1）f（x）在闭区间[a，b]上连续；（2）f（x）在开区间（a，b）内可导．则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得．拉格朗日中值定理的几何意义如图所示，在满足定理条件的曲线上至少存在一点P（ξ，f（ξ）），该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线．需要注意的地方（逆命题不成立）

拉格朗日中值定理没有逆定理,即对曲线的任一切线,并不一定存在割线,使割线斜率等于

切线斜率,如fx=x3在拉格朗日公式还有下面几种等价形式，，．注：拉格朗日公式无论对于还是都成立，而ξ则是介于a与b之间的某一常数．显然，当时，．真题精研--复盘经典把握规律考向01切线问题1．（2025·天津·高考真题）已知函数(1)时，求在点处的切线方程；(2)有3个零点，且.（i）求a的取值范围；（ii）证明．2．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线．(1)求的最大值；(2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方；(3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围．3．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线．(1)当时，求的单调区间.(2)求证：不经过点.(3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？（参考数据：，，）4．（2024·天津·高考真题）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若对任意成立，求实数的值；(3)若，求证：．5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．6．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程．(2)若函数在单调递增，求的取值范围．7．（2023·天津·高考真题）已知函数．(1)求曲线在处的切线斜率；(2)求证：当时，；(3)证明：．解题妙法三步解题法：三步解题法：求导数：对函数fx求导，得f求切点与斜率：已知切点x0：斜率k=f已知切线过某点x1,y1：设切点t,ft，由写切线方程：代入点斜式，化为一般式或斜截式。注意：过某点的切线不一定以该点为切点，需设切点求解；导数不存在时考虑垂直切线。考向02利用导数研究函数单调性8．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．(1)求的单调区间；(2)当时，证明：当时，恒成立．9．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的值；(2)设函数，求的单调区间；(3)求的极值点个数．10．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)若，求的取值范围．11．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．解题妙法三步解题法：三步解题法：求定义域与导数：先确定函数定义域，再求f′x解不等式：f′xf′x注意导数等于0的点可能是分界点。列表总结：用表格或区间表达单调性，注意定义域边界。技巧：含参问题时，需对参数分类讨论（如二次项系数正负、判别式、根的大小比较）。考向03极值与最值12．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．(1)当时，求的极值；(2)当时，，求的取值范围．13．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（1）证明：当时，；（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．14．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数在区间的最大值；（2）给定和，证明：存在使得；（3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值．解题妙法三步解题法：三步解题法：求导找临界点：令f′判断极值：列表：在临界点两侧分析f′x或用二阶导数：f′x0=0且f″求最值：比较区间端点与所有极值点的函数值，最大者为最大值，最小者为最小值。注意：最值可能出现在端点或极值点