第六章用有限元法解平面问题童中华

1、弹性力学,主讲：童中华 安徽工业大学,弹性力学简明教程 第四版 徐芝纶,作业概况,缺作业：土111孙震(缺第4次) , 土111沈恩鑫(1,2) , 土111张松鹤(1,2,3,4?);土112陈建军(4), 土112张文博(4), 土112 周子明(1,2,4); 113杨俊平(4),土114 李杰(1,2,4) ,土114刘洋(4),土114王宁(4),土114翁世强(4),土114韦林辉(4); 土115 杨帅(1,4) 土115 张建(1), 土115张洋(4); 缺第5次作业或无效：土111 张松鹤,土112 陈建军, 土112 葛帅帅,土112 黄燕,土112 张文博,土114 李

2、杰,土114 刘洋,土114 任乾顺,土114 王宁,土114 翁世强 土115 陈彪,土115 程昀,土115 黄健,土115 黄亮,土115 夏伟胜,土115 杨帅,土115 张建,土115 张洋 得A：土112夏娟,土112夏文静,土113高伟利,土113刘剑珲,土113 申文静,土113高智,土114孙丹丹 ,土114左嫚嫚,土115罗微微,土115吴琦,【习题4-1】试考察应力函数能解决图示弹性体的何种受力问题。（必做题，带学号）,习题图 4-1,习题4-1作业点评,图中,其中M为学号末位数+3，N=Mod(M,2)+1，即N为M对2取余再加1，如学号末位数为9，则得M=12,N=1

3、。,解：（1）将应力函数代入相容方程，得,满足,习题图 4-1,习题4-1作业点评,（2）求解应力分量，得,习题4-1作业点评,习题图 4-1,（3）求边界上的面力，得,a,a,x,y,o,边界上的面力分布如右图所示。,习题4-1作业点评,习题图 4-1,（3）求边界上的面力，得,a,a,x,y,o,边界上的面力分布如右图所示。,习题4-1作业点评,习题图 4-1,5+ 上一讲回顾,弹性体总的形变势能为,【位移变分方程】在实际平衡状态发生位移的变分时，所引起的形变势能的变分，等于外力功的变分。,【位移变分法】,第六章 用有限单元法解平面问题,6+ 有限元法及软件介绍,弹性力学问题的解法,解析方

4、法：无穷小单元满足平衡微分方程、相容方程，边界上满足应力和位移边界条件。问题转化成定义在连续体上的偏微分方程问题。,有限元法：有限大单元满足平衡方程、临近单元位移连续，边界上满足应力和位移边界条件。问题转化成定义在有限多个单元上的代数方程问题。,有限元法是将连续体离散化，用有限大单元取代微分体，将问题转化为适合数值解法的结构型问题的求解方法。在固体力学、流体力学、传热学等领域皆有广泛的应用。,6+ 有限元法及软件介绍,结力研究对象是离散化结构。如桁架，各单元（杆件）之间除结点铰结外，没有其他联系（图a）。 有限元法研究对象是连续体（待离散化）（图b）。,结构力学结构和有限元法结构的比较,将连续

5、体变换为离散化结构（图c）：将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在一些结点处用铰连结起来，构成所谓离散化结构。,图（c）与 图（a）相比： 两者都是离散化结构； 区别是： (a)的单元是杆件， (c)的单元是三角形块体（内部仍是连续体）。,6+ 有限元法及软件介绍,6+ 有限元法及软件介绍,有限元法基本思路（按位移求解）,1. 将连续体划分成离散化的单元结构体；,2. 设结点位移为基本未知量，按弹性力学方法对单元进行力学分析，将所有物理量和方程用结点位移表示；,3. 列结点的平衡方程，将单元装配成整体，得到整体结构所要满足的平衡方程，未知量为结点位移；,4. 求解所有结点的位

6、移，计算待求物理量，如关键点的应力，区域平均应力水平，结构变形图等。,（1）具有通用性和灵活性。 （2）对同一类问题，可以编制出通用程序，应用计算机进行计算。 （3）只要适当加密网格，就可以达到工程 要求的精度。,6+ 有限元法及软件介绍,有限元法(Finite Element Method) 的特点,FEM的两种主要导出方法:结力法和变分法。 本章介绍平面问题的FEM，仅叙述按位移求解的方法。采用矩阵表示，可使公式统一、简洁，且便于编制程序。,6+ 有限元法及软件介绍,常见有限元法软件,【ANSYS】通用商用软件，适用范围广，前后处理模块完备，人机交互友好，容易上手，参考书多如牛毛。 提供参

7、数化设计语言（ANSYS Parameter Design Language)，可以通过脚本语言编程实现ANSYS常规操作，包括输入、输出及设计优化等功能。 向所有领域工作者推荐。,1.结构静力分析 2.结构动力学分析 3.结构非线性分析 4.动力学分析 5.热分析 6.电磁场分析 7.流体动力学分析 8.声场分析 9.压电分析 缺陷：土木材料的本构关系少。,软件主要包括三个部分： 前处理模块，分析计算模块，后处理模块。,6+ 有限元法及软件介绍,【MSC.Marc】既可以像ANSYS那样实体建模，也可以采用扩展法建模；具有极强的结构分析能力和非线性计算能力。 （1）几乎每种单元都具有处理大变

8、形几何非线性,材料非线性和边界条件非线性以及组合的高度非线性的超强能力。 （2）MARC的结构分析材料库提供了模拟金属、非金属、聚合物、岩土、复合材料等多种线性和非线复杂材料行为的材料模型。 （3）收敛速度快，大概比ANSYS快56倍； 计算土和水的功能很强，提供了土的摩尔库仑模型（线性和非线性）、修正邓肯张模型和修正剑桥模型；计算混凝土的功能不够强；摩擦分析能力不强；参考书较少。 向土木专业推荐,6+ 有限元法及软件介绍,【ADINA】建模方便；非线性计算能力强，收敛速度和marc差不多；没有前后处理，但有源代码，适合二次开发。 计算土和水的功能不如Marc；计算混凝土的功能比Marc强；摩

9、擦分析效果比Marc好。参考书较少。 向搞FEM软件开发工作者推荐,【ABAQUS】被广泛地认为是功能最强的有限元软件，可以分析复杂的固体力学结构力学系统，特别是能够驾驭非常庞大复杂的问题和模拟高度非线性问题。ABAQUS不但可以做单一零件的力学和多物理场的分析，同时还可以做系统级的分析和研究。参考书较少。 向资深FEM工作者推荐,6-1 基本量及基本方程的矩阵表示,体力 面力 应力 应变 位移,几何方程,6-1 基本量及基本方程的矩阵表示,物理方程 其中D为弹性矩阵，对于平面应力问题是,6-1 基本量及基本方程的矩阵表示,i,j,虚功方程： 外力在虚位移上的虚功等于应力在虚应变上的虚功,有限

10、元中将各种外力以作用于结点上的等效集中力代替，用结点的平衡方程代替平衡微分方程。结点上的集中力和相应的虚位移可表示为,板的厚度取单位长度1,6-2 有限单元法的概念,三角形单元：三角板或三棱柱,大多在顶点设置结点，一个单元有3个结点。有时在三边的中点设置结点，成为六结点三角形单元。结点一般都作铰结。单元上受到的体力和面力都按静力等效移置到结点上，成为结点载荷。 将单元受力移置到结点上。,单元为三角形的连续体，在结点处受到结点力作用，发生变形，在结点处产生结点位移。,6-2 有限单元法的概念,按位移求解三角形单元的步骤,1. 取三角形单元的结点位移为基本未知量，即,de称为单元的结点位移列阵。,

11、2. 应用插值公式，由结点位移求出单元的位移函数,插值公式表示单元中的位移分布形式，称为位移模式。,形函数矩阵,6-2 有限单元法的概念,3. 应用几何方程，由单元的位移函数求出单元的应变,4. 应用物理方程，由单元的应变求出单元的应力,5.应用虚功方程，由单元的应力求出单元的结点力,应力转换矩阵,单元劲度矩阵,应变转换矩阵,6-2 有限单元法的概念,6. 应用虚功方程，将单元中的各种外力荷载向结点移置，化为结点荷载，求出单元的结点荷载为,7a. 结点对单元的作用力为 以坐标正向为正，则单元对结点的反作用力为,装配三角形单元（列结点平衡方程）,7b. 各结点受单元作用力和单元移置而来的结点荷载

12、， 结点平衡方程为,6-2 有限单元法的概念,结点平衡方程的分量形式,其中 表示对所有环绕 i 结点的单元求和。,式(i)右边为已知的结点荷载，左边为结点力，可由结点位移表示，因此可得求解整体结点位移的矩阵方程,整体劲度矩阵,整体结点位移列阵,整体结点荷载列阵,6-3 单元的位移模式与解答的收敛性,6-3单元的位移模式与解答的收敛性 6-4单元的应变列阵和应力列阵 6-5单元的结点力列阵与劲度矩阵 6-6荷载向结点移置、单元的结点荷载列阵 6-7结构的整体分析、结点平衡方程,有限元分析详细步骤,6-3 单元的位移模式与解答的收敛性,每个单元仍然作为一个连续的、均匀的、各向同性的弹性体，相邻单元

13、有公共结点和公共边。 解题首要问题：单元的结点位移位移函数。 假定位移模式，表示单元中的位移函数。,假定位移分量是坐标的线性函数， 三角形单元的位移模式，可取为 插值公式(a)在三个结点上应等于结点的位移值，由此可求出6个待定系数a1a6,6-3 单元的位移模式与解答的收敛性,用插值公式表示结点的位移，得,6-3 单元的位移模式与解答的收敛性,Ni是i点(xi ,yi)函数值对(x,y)点函数值的贡献加权。 计算面积A及Ai时以顶点按逆时针排列得到的面积为正。 Ni, Nj, Nm称为形(态)函数，也称为面积坐标。,6-3 单元的位移模式与解答的收敛性,形函数Ni(x,y)的分布规律,位移函数

14、u (x,y)的分布规律,位移函数v (x,y)的分布规律,6-3 单元的位移模式与解答的收敛性,位移分量用矩阵表示为,形函数矩阵,6-3 单元的位移模式与解答的收敛性,当单元很小时，单元中的位移和应变都趋近于常量刚体位移和常量应变，因此 位移模式必须能反映单元的刚体位移。位移主要来自于其他单元连动，受本单元形变影响较小。 位移模式必须能反映单元的常量应变。单元内应变变化较小，主要部分为常量应变。 位移模式应尽可能反映位移的连续性。相邻单元在公共结点和公共边上的位移应保持一致。,位移模式必须反映弹性体的真实位移形态,是有限元法在单元尺寸逐步取小时收敛的充分必要条件。,6-3 单元的位移模式与解答的收敛性,位移模式中的6个参数反映了3个刚体位移和3个常量应变。,代入几何方程（2-8）得,因此，,6-3 单元的位移模式与解答的收敛性,单元内的位移取值是经过三结点位移的平面，边上位移取值为两端结点的连线，相邻单元在公共边