正弦函数余弦函数的性质

1、1.4.2正弦余弦函数的性质,正弦函数、余弦函数的性质：,问题提出,1.根据正弦函数和余弦函数的图象,你能说出它们具有什么性质吗？,(1)正、余弦函数的定义域都是R,(2)正、余弦函数的值或都是-1，1,正弦函数、余弦函数的值是“周而复始”地变化,世界上有许多事物都呈现“周而复始”的变化规律，如：,地球的公转；,这种现象在数学上称为周期性，,物理学上的单摆运动；,课程表.,(每24小时绕地球转一周，24小时是它的周期),(一次往返所用的时间是它的周期),(一个星期，即7天是它的周期),周期性,这一节里我们就先来研究函数的第(3)个性质：,知识探究（一）：周期函数的概念,思考1：由正弦函数的图象

2、可知, 正弦曲线每相隔2个单位重复出现，具有周期性，这一规律的理论依据是什么？,.,f(x+T)=f(x),其数学意义如何？,为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)=sinx称为周期函数，2k为这个函数的周期.一般地，如何定义周期函数？,思考3：定义中应注意什么问题？,对于函数f(x)=sinx，等式f(x+T)=f(x)，,问题(P36练习第1题)：,但不能说 是其周期，,由,成立,即,思考4：f(x)=sinx的周期有哪些？周期函数的周期是否惟一？,当 时，,T=2是y=sinx的周期,当 时,T=-2是y=sinx的周期,当 时,T=4是y=sinx的周期,T=-4是y=sinx的周

3、期,当 时,当 时,T=6是y=sinx的周期,T=-6是y=sinx的周期,当 时,由此可知：y=sinx的周期不止下个，2，4，6，2， 4，6都是它的周期。,其中T2叫做y=sinx最小正周期,分析：,题类解法：,知识探究（二）：求周期函数的周期,例1 求下列函数的周期：,(没有特别说明，求的就是最小正周期),设f(x)=3cosx,f(x+T)= f(x),f(x+T)= 3cos(x+T),所以将原函数加上其对应的最小正周期2 后化至目标：f(x+T)= 3cos(x+T) 形即可,3cos(x+T)= 3cosx,解：(1),设f(x)=3cosx,则f(x)=3cosx,=3co

4、s(x+ ),=f(x+2),由周期函数的定义可知，此函数的周期为T=2,2,则,()求周期函数的周期,解：(2),设f(x)=sin2x,=f(x+),由周期函数的定义可知，此函数的周期为T=,2,目标： f(x+T)= sin2(x+T),目标： f(x+T)=,=f(x+4),由周期函数的定义可知，此函数的周期为T=4,2,=sin2(x+),你能从上面的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中的哪些量有关系吗？,三角函数的周期公式推广,周期,解：,归纳:,P36 练习1,练习2：求下列函数的周期,课堂练习：,当堂检测,D,2,6,练习题.,求下列函数的周期：,(1)周期函数、周期及最

5、小正周期的概念.,；,课堂小结 -本节课所学知识方法：,(2)正（余）弦函数的周期.,(3)函数 y=Asin(x+) 及y=Acos(x+) （其中A ,为常数，且 A0, 0 ）的周期是:,(4)求周期的方法：定义法、公式法,课外作业：,P46 习题1.A组 第3题,1.4.2正弦函数、余弦函数的性质,第二课时,1.4.2正弦余弦函数的性质(2),奇偶性、对称性,复习回顾,1.周期函数的意义: 若f(x+T)=f(x)，则f(x)就是周期函数，T就是它的周期。 2. 3.什么是偶函数？偶函数的图像有何特点？ 什么是奇函数？奇函数的图像有何特点？,正弦函数的图象,探究,余弦函数的图象,问题：

6、它们的图象有何对称性？,一.奇偶性,为奇函数,为偶函数,正弦函数的图象,对称轴：,对称中心：,二、对称性,余弦函数的图象,对称轴：,对称中心：,例1.求函数 的对称轴和对称中心,解（1）令,则,的对称轴为,解得：对称轴为,的对称中心为,对称中心为,解（1）令,则,的对称轴为,解得：对称轴为,的对称中心为,对称中心为,练习：求函数 的对称轴和对称中心,我练我掌握,1.正弦函数,（1）对称轴：,（2）对称中心：,课堂小结：,（3）奇函数,2.余弦函数,（1）对称轴：,（2）对称中心：,（3）偶函数,作业,求下列函数的对称轴、对称中心： （1） （2）,1.4.2正弦函数、余弦函数的性质,第三课时,

7、1.4.2正弦函数余弦函数的性质,（3）单调性、最值,复习：正弦函数对称性,对称轴：,对称中心：,复习：余弦函数对称性,对称轴：,对称中心：,1、_，则f（x）在这个区间上是增函数.,复习：函数的单调性,函数,若在指定区间任取 ，,且 ，都有：,函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。,观察正余弦函数的图象，探究其单调性,2、_，则f（x）在这个区间上是减函数.,增函数：上升,减函数：下降,探究：正弦函数的单调性,曲线逐渐上升，sin的值由 增大到 。,当 在区间,上时，曲线逐渐下降， sin的值由 减小到 。,归纳：正弦函数的单调性,正弦函数在每个闭区间,都是增函数，其值从1增大到1；,减

8、函数，其值从1减小到1。,探究：余弦函数的单调性,曲线逐渐上升，cos的值由 增大到 。,曲线逐渐下降， sin的值由 减小到 。,归纳：余弦函数的单调性,由余弦函数的周期性知：,其值从1减小到1。,其值从1增大到1 ；,探究：正弦函数的最大值和最小值,最大值：,当 时，,有最大值,最小值：,当 时，,有最小值,零点：,探究：余弦函数的最大值和最小值,最大值：,当 时，,有最大值,最小值：,当 时，,有最小值,零点：,例1. 写出下列函数取最大、最小值时的自变量x的集合，并写出最大、最小值分别是什么.,解：,（1）使函数 取得最大值的x的集合，就是使函数 取得最大值的x的集合,使函数 取得最小

9、值的x的集合，就是 使函数 取得最小值的x的集合,函数 的最大值是1+1=2，最小值是-1+1=0.,单调性的应用 ： 一、求最值,例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.,解：,（2）令t=2x,因为使函数 取最大值的t的集合是,所以使函数 取最大值的x的集合是,同理，使函数 取最小值的x的集合是,函数 取最大值是3，最小值是-3。,练习1：求使下列函数取得最大值、最小值的自变量X的集合，并写出最大值、最小值各是多少？,（1）,(2),解：(1) 函数 取得最大值的自变量X的集合是,使函数 取得最小值的自变量X的集合是,函数 的最大值是2,函数 的最小值是2,(2)使函数 取得最大值的自变量X的集合是,使函数 取得最小值的自变量X的集合是,函数 的最大值是3,函数 的最小值是1,练习2：观察正弦曲线、余弦曲线，写出满足下列条件的区间,练习3：,观察函数 的图像，完成课本40页4题,选B,分析：比较同名函数值的大小，往往可以利用函数的单调性，但需要考虑自变量是否在同一单调区间上，若是，即可判断