2011届高考数学(一轮)复习精品学案课件：第7章 立体几何―平行关系

1、学案4 空间中的平行关系,返回目录,一、直线与平面平行的判定和性质 1.判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.可以用符号表示为 . 2.性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.可以用符号表示为 .,a,b，且ab a,a,a,=b ab,考点分析,返回目录,二、平面与平面平行的判定和性质 1.判定定理 （1）一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.可以用符号表示 为 . （2）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么，这两个平面平行.可以用符号表示为 .,a,b,ab

2、=P,a,b,2.性质定理 （1）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. （2）两个平面平行，其中任一个平面内的直线必平行于另一个平面.,返回目录,返回目录,考点一 直线与平面平行,如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E=C1F，求证：EF平面ABCD.,【分析】用线面平行的判定 定理来证,或用面面平行的性 质定理来证.,题型分析,【证明】证法一：分别过E，F作EMAB于M， FNBC于N，连结MN. BB1平面ABCD， BB1AB,BB1BC, EMBB1,FNBB1, EMFN. 又B1E=C1F，EM=FN， 故

3、四边形MNFE是平行四边形, EFMN. 又MN在平面ABCD中， EF平面ABCD.,返回目录,返回目录,证法二：过E作EGAB交BB1于G，连结GF， 则 , B1E=C1F,B1A=C1B, , FGB1C1BC. 又EGFG=G，ABBC=B, 平面EFG平面ABCD， 而EF平面EFG， EF平面ABCD.,【评析】判断或证明线面平行的常用方法有：利用线面平行的定义（无公共点）；利用线面平行的判定定理（a ,b ,ab a ）;利用面面平行的性质定理（ ,a a ）;利用面面平行的性质（,a / ,a / ,a a）.,返回目录,对应演练,已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和A

4、BEF不在同一平面内,P,Q分别是对角线AE,BD上的点,且AP=DQ.求证:PQ平面CBE.,返回目录,证明：证法一:如图所示,作PMAB交BE于M,作QNAB交BC于N,则PMQN. . AP=DQ,EP=BQ. 又AB=CD,EA=BD, PM=QN.又PMQN, 四边形PMNQ是平行四边形, PQMN. PQ平面CBE,MN平面CBE, PQ平面CBE.,返回目录,返回目录,证法二:如图所示,延长AQ交BC或其延长线于G,连EG. ADCB, . 又AP=DQ,AE=DB, , PQGE. 又PQ平面CBE,CE平面CBE, PQ平面CBE.,返回目录,求证:若两个相交平面都平行于一条

5、直线,则它们的交线也平行于这条直线.,考点二 直线与平面平行的性质,【分析】利用线面平行的性质定理可证线线平行.,【解析】已知:=b,a,a,求证:ab. 证明:证法一:如图,过a作平面=c,由a得ac. 同理过a作平面=d,则ad,于是cd.又c,d,所以c.又=b,c,所以cb.又ac,所以ab.,返回目录,证法二:如图,在b上任取一点A,过A和a作平面和相交于l1,和相交于l2,因为a,所以al1. 因为a,所以al2. 但过一点只能作一条 直线与另一条直线平 行,所以l1与l2重合. 又因为l1,l2, 所以l1和l1重合于b, 所以ab.,返回目录,返回目录,【评析】应用线面平行的性

6、质定理时,应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线,有时为了得到交线还需作出辅助平面.证法二中用到了结论“过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行”.,返回目录,对应演练,如图,在四面体ABCD中,截面EFGH平行于对棱AB和CD,试问截面在什么位置时，其截面面积最大.,AB平面EFGH,平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG,EH, ABFG,ABEH,FGEH, 同理可证EFGH, 截面EFGH是平行四边形. 设AB=a,CD=b,FGH=. 又设FG=x,GH=y,则由平面几何知识可得 , 两式相加得 ,即y= (a-x), S =FGGHsin =x (a-x)sin=

7、x(a-x). x0,a-x0且x+(a-x)=a, 当且仅当x=a-x即x= 时, x(a-x)= . 即当截面EFGH的顶点E,F,G,H为棱AD,AC,BC,BD的中点时,截面面积最大.,返回目录,EFGH,如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为a. （1）求证：平面AB1D1平面C1BD； （2）求平面AB1D1和平面C1BD间 的距离.,【分析】要证面面平行，先找线线平行，从而得到线面平行.求平面间的距离的关键是找（或作）出两平面的公垂线.,考点三 平面与平面平行的判定,返回目录,返回目录,【解析】（1）ABCDA1B1C1D1是正方体， B1D1BD.又BD平面C1B

8、D，B1D1平面C1BD. 同理D1A平面C1BD.B1D1和D1A是平面AB1D1内的两条相交直线，因此，平面AB1D1平面C1BD. （2）连接A1C，设M,N分别是A1C和平面AB1D1，平面C1BD的交点.A1C在平面ABCD内的射影 ACBD，A1CBD.同理A1CBC1.A1C平面C1BD.于是A1C平面AB1D1.,因此MN的长即是两平行平面AB1D1和C1BD间的距离.在平面A1ACC1中，AA1=CC1=a，AC=A1C1= a，A1C= a. 设平面AB1D1和平面A1ACC1交于AP（P为B1D1的中点），则MAP,又平面C1BD和平面A1ACC1交于C1Q（Q为BD的中

9、点），NC1Q，且APC1Q.由平面几何 知识,知M,N为A1C的两个三等分点，MN= a.,返回目录,返回目录,【评析】（1）证明两个平面平行的方法有：用定义，此类题目常用反证法来完成证明；用判定定理或推论，通过线面平行来完成证明；根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；借助于“传递性”来完成；还可以用向量法来证明直线和平面平行. （2）面面平行问题常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，需要注意其中转化思想的应用. （3）证面面平行时，应防止出现直接由一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线得到，因为没有这样的定理和直接作为命题的说明.此题求两平面的

10、距离时，将空间距离转化为平面AA1C1C内两条平行直线的距离的方法，用到了降维的思想，值得借鉴.,返回目录,对应演练,如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中， E,F,G,H分别是BC,CC1,C1D1,A1A的中点.求证： （1）BFHD1； （2）EG平面BB1D1D； （3）平面BDF平面B1D1H.,证明: (1)如图所示,取BB1的中点M,易证四边形HMC1D1是平行四边形,HD1MC1. 又MC1BF，BFHD1. （2）取BD的中点O，连接EO，D1O， 则OE DC, 又D1G DC,OE D1G, 四边形OEGD1是平行四边形， GED1O. 又D1O 平面BB1D1D

11、，EG平面BB1D1D.,返回目录,（3）由（1）知D1HBF，又BDB1D1，B1D1， HD1平面HB1D1，BF，BD平面BDF，且 B1D1HD1=D1,DBBF=B. 平面BDF平面B1D1H.,返回目录,返回目录,如图，已知，异面直线AB,CD和平面,分别交于A,B,C,D四点，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证： （1）E,F,G,H共面; （2）平面EFGH平面.,考点四 平面与平面平行的性质,【分析】要证明四点共面，结合已知条件可以转而证明其中一对直线平行；要证明面面平行，容易想到利用面面平行的判定定理来考虑，利用已知的面面平行条件，从而将问题解决.,返回

12、目录,【证明】（1）E,H分别是AB,DA的中点， EHBD且EH= BD. 同理，FGBD且FG= BD，FGEH且FG=EH. 四边形EFGH是平行四边形，即E,F,G,H共面.,返回目录,(2)平面ABD和平面有一个公共点A，设两平面交于过点A的直线AD. ，ADBD. 又BDEH,EHBDAD.EH平面，EH平面. 同理，EF平面，EF平面. 平面EFGH平面平面.,返回目录,【评析】对于已知条件中出现了有关的面面平行 的问题，往往就要紧紧围绕着面面平行的性质，从而 得到线线（或线面）平行，从而将问题解决.,对应演练,如图所示，平面平面，A,C,B,D,点E,F 分别在线段AB,CD上

13、，且有 . (1)求证：EF; (2)若E,F分别是AB, CD的中点,AC=4, BD=6,且AC,BD 所成的角为60, 求EF的长.,返回目录,证明:当AB,CD在同一平面内时,由,平面 ABDC=AC,平面ABDC=BD,知ACBD, AE：EB=CF：FD, EFBD. 又EF,BD, EF.,返回目录,当AB与CD异面时,设平面ACD=DH,且DH=AC. ,平面ACDH=AC, ACDH,四边形ACDH是平行四边形, 在AH上取一点G,使AG：GH=CF：FD, 又AE：EB=CF：FD,GFHD,EGBH, 又EGGF=G, 平面EFG平面.EF平面EFG,EF. 综上，EF.

14、,返回目录,(2)如图,连接AD,取AD的中点M,连接ME,MF. E,F分别为AB,CD的中点, MEBD,MFAC, 且ME= BD=3,MF= AC=2. EMF为AC与BD所成的角(或其补角), EMF=60或120. 在EFM中,由余弦定理得 即EF= 或= .,返回目录,返回目录,1. 若直线与平面平行,则平面内有无数条直线与该直线平行 ,但不能得出这条直线平行于这个平面内的所有直线,而 只能得到这条直线与这个平面内的任一直线都没有公共点;但反过来,如果知道一条直线与某个平面内的无数条直线平行,却不能得到该直线与该平面平行,因 为此时这条直线可能处于这个平面内.同样,对于两个平行平面而言, 其中任一平面内的任一条直线必平行于另一个平面,但这两个平面内的所有直线不一定平行, 它们可能平行,也可能异面,但一定不会相交,否则这两个平面就有公共点了.,高考专家助教,2.证明线面平行