第5章-波动学基础

1、力学 波动学基础,力学内容结构,力学的内容结构体系,波动学基础机械波概述,5.1 机械波概述,(1) 相关概念,机械波：机械振动在介质中的传播过程称为机械波,形成条件：存在波源；存在传播波的弹性介质,纵波：振动方向与波的传播方向相同的波 横波：振动方向与波的传播方向互相垂直的波,传输条件：纵波可在固、液、气等媒质中传播，横波只在固态媒质中传播,波是振动质点带动邻近质点振动，由近及远向外传递振动的结果,(2) 机械波产生的物理机制,波动学基础机械波概述,(3) 机械波模型,振源与观察者保持相对静止 弹性介质无阻尼或能量吸收波在传递过程中振幅不变,结论：介质中任何一点的频率都等于振源的频率,(4)

2、 机械波的运动学方程,波动学基础机械波概述,目标：给出距振源任意距离 x 处质点的振动方程,推导：设 t 时刻 x=0 处的质元振动方程为,t 时刻 x 处的质元振动相位,t 时刻 x 处的质元振动频率应当等于振源的频率,波矢,波动学基础机械波概述,讨论,描述一个机械波，需要确定 A，k， 波函数给出任意时刻 t，媒质各质点的振动状态 (相位或振动状态) 波函数给出了任意时间段 t=t2-t1 媒质各质点振动状态差,(5) 描述机械波的解析参量,波动学基础机械波概述,波长、频率、相位之间的普适关系,波动学基础机械波概述,例5.1.1：直线右行平面简谐波 v= 20 m/s，A 点的振动方程 y

3、 =3 cos4t 求：(1) 以A为坐标原点的波动方程 (2)以B为坐标原点，写出波动方程 (3) 以B为坐标原点，C、D两点的振动方程及振动速度表达式,(1) 由,解：,依简谐波标准方程,波函数为,(2) 以B为坐标原点，写出波动方程,波动学基础机械波概述,(3) 以B为坐标原点，C、D 两点的振动方程及振动速度表达式,例5.1.2：平面波沿 x 轴正向传播，振幅为A，频率为，波速为 v ， 设 t=t时波形如图 求：(1) x=0 处质点的振动方程 (2) 该波的波动方程,解：已知 A,平面波沿 x 轴正向传播,波动学基础机械波概述,(6) 描述机械波的几何参量,波线：波向外传播的方向构

4、成的曲线 波线上任意一点的切线方向与该点波的传播方向相同 波矢：表示波线任意点方向，且具有一定模值的矢量 波面：介质中振动相位相同的点构成的曲面 波前：某时刻介质中刚开始振动的点构成的曲面,波动学基础机械波概述,课堂讨论：波前的相位等于波源的初相位,A 波线与波面、波前一定垂直。 B 波向外传播过程可以看作为波前以波速向前推进的过程,证明：设振源的简谐振动为,时刻 t 振源的相位为,设机械波传到波前所需时间为 t，波前的相位比振源相位落后 t,于是，t 时刻波前的相位为,波动学基础动力学方程,5.2 波动动力学方程,5.2.1 典型波动的动力学方程,(1) 轻质、柔弦的横波方程,由牛顿定律,微

5、振动时,如果弦在振动过程中还受到力密度 (F/) 为 f(x,t) 的横向外力，则,波动学基础动力学方程,(2) 杆中纵波方程,设杆的质量密度为 ，杨氏模量为Y，横截面积为S，t 时刻dx微元两端 点偏离平衡位置的距离分别为 u(x,t) 和 u(x+dx,t)，那么，微元伸长量为,称微元伸长量与原长之比为相对伸长量,波动学基础动力学方程,由牛顿第二定律，微元满足的动力学方程为,化简得,其中,课堂讨论：介质中任何一点的频率都等于振源的频率 (解释方案),波动学基础动力学方程,对比,波动方程空间二次导数前的系数就是波的传播速度,5.2.2 波动动力学方程求解,在无界空间中，动力学方程的解为,验证

6、,波动学基础动力学方程,5.3 机械波的能量、能量密度和能流密度,波动学基础机械波能量,(1) 机械波的动能,设简谐波,(2) 机械波的势能,弹性模量 Y,类比弹簧,微元动能,波动学基础机械波能量,(3) 机械波的能量,(4) 机械波的能量密度,平均能量密度,波动学基础机械波能量,平均动能、势能能量密度,讨论： 机械波的能量传输特性,A 关于能量守恒,机械波能量、能量密度是时间的函数，不是守恒量； 机械波在一个周期内的平均动能、势能和总能量守恒； 机械波能够向外传输；,B 关于能量传输特性,机械波能量密度传输速度仍为 v，但频率是机械波频率的 2 倍； 介质微元的动能、势能和能量密度同步传输；

7、,波动学基础机械波能量,(5) 简谐波的能流密度 (波的强度),能流：单位时间通过介质中与传播速度垂直的某一面积的能量,平均能流：单位时间通过介质中与传播速度垂直的单位面积的能量,能流密度 (坡印亭矢量),平均能流密度矢量,对平面简谐波,课后作业：练习p180-182，例5.4.1-例5.4.3,5.4 声波、超声波和次声波 (自学章节),波动学基础波的干涉、驻波,5.5 波的干涉、驻波,5.5.1 惠更斯原理、波的反射与折射,(1) 惠更斯原理,任一时刻波前上各点都可作为子波的波源，向前发出子波； 后一时刻各子波的包迹，就是该时刻新波的波前；,课堂讨论：用惠更斯原理证明波的反射与折射定律,(

8、2) 波的反射与折射,(1) 波的叠加原理,各列波相遇后它们各自原有的特点独立继续传播； 在各列波相遇的区域里，质点的振动为各列波在该点引起振动的叠加,波动学基础波的干涉、驻波,(2) 波的干涉,5.5.2 波的叠加原理、波的干涉,相干波：满足相差恒定、振动频率相同、振动方向相同的波 波的干涉：相干波在其公共区域内叠加形成波强度稳定的空间强弱分布,A 相关概念,B 波强度稳定的空间分布,波动学基础波的干涉、驻波,设两列相干波源的振动分别为,讨论：I 波强度,II 相长干涉,波动学基础波的干涉、驻波,III 相消干涉,IV 波程差与波的干涉,波动学基础波的干涉、驻波,例 5.5.1：如图，已知振

9、源 S1，S2，PS1= 4 m，S1S2= 3 m，两振动有如下共 同物理量：A=5 cm，v=330 m/s，v =165 Hz，2-1= 求：P 点的干涉结果,解：相位差,波强度,5.5.3 驻波,波动学基础波的干涉、驻波,(1) 驻波形成条件,振幅、频率、振动方向相同的两列波在同一条直线上反向传播,(2) 驻波的运动学参量的时空分布,讨论：A 振幅分布规律,给定空间点，质点以确定振幅谐振 给定时刻 t，驻波是一空间波分布,波动学基础波的干涉、驻波,相邻波腹、波节的距离,B 相位分布规律,I 相邻波节内的质点振动相位相同,在第 k 和 k+1 波节内的质点,在第 k 和 k+1 波节内的

10、所有质点都具有相同相位 =t,II 同一节点两侧对称质点相位相反,对第 k 波节两侧的质点,波动学基础波的干涉、驻波,在第 k 波节两侧对称质点，其相位相差 ,(3) 驻波能量的时空分布,以弹簧纵驻波为例讨论驻波能量时空分布,波动学基础波的干涉、驻波,给定空间质点的势能、动能相互转换；能量变化频率为振动频率的 2 倍 给定空间质点的总能量守恒；驻波不定向传输能量,(4) 简正模式,简正模式：由某一频率及其整数倍分离频率组成的工作模式 本征频率：简正模式中的分离频率 基频：简正模式中的最低频率,案例分析：两端固定绳中的稳定波 (驻波),由驻波条件,波动学基础波的干涉、驻波,5.5.4 半波损失,

11、(1) 驻波节点的半波损失,课堂讨论：将驻波节点考虑为反射点，讨论波的反射存在半波损失,课堂讨论：分析半波振子天线的通带和阻带,(2) 一般界面反射的相位突变问题,波阻抗 Z： ， 介质密度，v 波速 波密媒质：具有较大波阻抗的介质 波疏媒质：具有较小波阻抗的介质 界面反射系数,波由波疏媒质垂直和掠入射波密媒质，存在半波损失；而一般情形较复杂,波动学基础波的干涉、驻波,例5.5.2：o 点处波源振动方程 u(x,t) =Acost，在 x= - 3/4 的Q点有反射壁 求：(1) 沿x轴正向、负向传播的波动方程 (2) 反射的波动方程 (3) oQ 区域内合成波的方程 (4) x0 区域内的合

12、成波动方程,解：(1) 沿 x 轴正向传播的波动方程,沿 x 轴负向传播的波动方程,(2) 反射的波动方程，入射到 Q 点的振动方程为,考虑半波损失，经Q 点反射、且在oQ区域内的波方程,波动学基础波的干涉、驻波,在 x0 区域的反射波方程,在所有区域的反射波方程,(3) oQ区域内合成波的方程,(4) x0 区域内的合成波动方程,5.6 多普勒效应,波动学基础多普勒效应,波源、观察者存在相对运动时，观测频率随相对运动状态变化而变化,5.6.1 机械波典型情形下的多普勒效应,(1) 观察者与波源相对静止,相对静止时，观察者测得波的频率为单位时间内经过观察点的完整波数,观察者测得的频率等于振源的

13、振动频率,(2) 波源相对静止，观察者观察者以 vr 运动,观察者相对运动时 (相向)，单位时间多测得的波数为,波动学基础多普勒效应,观察者测得的波的频率为静止时的 1+vR/v 倍,(3) 观察者相对静止，波源以 vs 运动,波源相对于媒质以速度 vs 运动 (相向) ，测得的波长改变量为,观察者测得的波的频率升高 (降低),课堂讨论：马赫锥、声障与声爆,波动学基础多普勒效应,讨论,I 当 vsv 时，波源前方不引起振动，波前构成马赫锥；机械波形成冲击波,II 当 vs=v 时，=90 ，波源发出的机械波同时到达接收器，形成声爆,III 当 vsv 时，90 ，机械波近似同时到达接收器，形成声障,M 称为马赫数,该情形可分解为波源相对观察者运动，再叠加观察者相对于波源运动,波动学基础多普勒效应,当两者相向运动时,当两者远离运动时,5.6.2 电磁波典型情形下的多普勒效应,电磁波的多普勒效应仅依赖波源和观察者的相对运动 (不需要介质),(1) 纵向多普勒效应,波源的速度 v 共线于波源与接收器的连线,设电磁波周期为 T，依洛伦兹变换,(4) 观察者、波源同时相对 媒质运动,波动学基础多普勒效应,课堂讨论：微