《线性代数》总复习

1、线性代数综合评论，2013年6月，第1章矩阵，M行和N列表由mn数组成，加法：A B=(aij bij)，A和B是同态矩阵A B=B A，(A B) C=A (B C)，A O=A，A (A)=O，数的乘法：ka=k (AIJ) k (la)=(KL) a，(k l) a=ka la，k (a b)=ka kb，(ab) c=a (BC)， a (b c)=ab AC，(a b) c=AC BC，(ka换位：A=(aij)，AT=(aji)，方阵的行列式：(at) t=a，(ka) t=kat，(ab) t=atbt，(ab) t=btat。设A=aijnn为方阵，元素aij的代数余因子为Ai

2、j矩阵概念，矩阵运算，伴随矩阵，逆矩阵，特殊矩阵，矩阵的秩，初等变换，定义：设A为方阵，如果有方阵B，使AB=BA=E，那么A称为可逆的，B称为A的逆矩阵。(AB)1=B1A1。运算性质，逆矩阵3360的解，定义方法，伴随矩阵，初等行变换(AE) (EA-1)，逆矩阵：的证明，A0，R(A)=n，反证，否，恒等式矩阵，对角矩阵，初等矩阵，对称矩阵，定义：非零子形式的最高阶数，解：初等变换或定义方法，性质：初等变换后矩阵的秩不变，第一章矩阵，矩阵，矩阵概念，矩阵运算，伴随矩阵，逆矩阵，特殊矩阵，矩阵的秩它被标为A B(注意相似性、合同和正交相似性的区别)，A和B等价于R(A)=R(B)定理。方阵

3、a可逆的充要条件是a可以写成有限个初等矩阵的乘积。推论1。方阵a可逆的充要条件是a等价于单位矩阵行。推论2。M阶可逆矩阵A和B等价的充要条件是M阶可逆矩阵P和N阶可逆矩阵Q的存在，从而使PAQ=B。mn矩阵a的初等行变换等价于将a左侧相应的初等矩阵相乘；在A上实现初等列变换相当于将A右侧对应的初等矩阵相乘，第一章矩阵，行列式，第一章矩阵，A11A12A12A1Na1N，它是由数学归纳法根据第一行展开定义的，第一章矩阵，行列式，行列式，代数余因子，它可以根据任意行(列)，克莱姆法则(一种求解线性方程的唯一解的方法)，齐次线性方程非零解的充分条件， 第一章矩阵、行列式、等重要定理和结论：定理n阶行

4、列式的一行(列)元素与另一行(列)元素的代数余因子的乘积之和为零，即ai1aj 1 ai2 ajainaj=0(Ij)a1ia1ja2a 2 aianj=0(Ij)，上(下)三角行列式的值等于主对角元素的乘积，第一章矩阵，例1，解，第一章矩阵，第一章矩阵，第二章矩阵，运算，线性表示，线性相关，第一章解：第一章矩阵，第二章N维向量，第二章N维向量，运算，线性表示只要有一个线性相关且最大线性独立的群，其ki不是0，1，2，N:在向量群A中，R向量可以被发现是线性独立的，并且任何r 1线性相关，那么由这些R向量组成的向量群就是A的最大线性独立群.解答：非零子公式法，初等变换法，向量组与矩阵的关系，注

5、：行向量问题与列向量问题相同，第2章N维向量，定义：向量内积，对称：=，(2)线性度： k11，k22，=k11，k22，(3)，0；并且，=0=0。属性：正交：施密特正交化方法，如果，=0，则称为正交。第2章，N维向量，正交矩阵，A是正交矩阵，ATA=E，第2章，N维向量，第2章，N维向量，线性方程在第3章，线性方程，向量系统的线性相关与非齐次方程的解之间的关系，有解，无解，有无穷解，有解，无解，有非零解。只有零解，无穷多组非零解，不，是，第三章线性方程，例5。找到基本解决方案系统和一般解决方案。解3360，方程的基本解系统可以看作，一般解是，第三章线性方程，解：这说明原方程有解，例如，可以

6、看出原方程有解，第三章是线性方程，(EA)=0基本解系统方法，第四章是平方矩阵的特征值和特征向量，平方矩阵的特征值和特征向量，A=，0，定义方法，定义方法，概念，解法，性质，相似矩阵，实对称矩阵，k的多个特征值最多有k个线性独立的特征向量。A有n个线性独立的特征向量，P-1AP=B，R(iE-A)=n-r，I是R的重特征值，安=P-1nP，第4章，方阵的特征值和特征向量，概念，解，性质，相似矩阵的性质，实对称矩阵，特征值和特征向量K重特征值必须有K个线性独立的特征向量，这些特征向量用对角矩阵表示。在第四章中，方阵的特征值和特征向量是等价的、相似的、收缩的和正交的。A，BMN，A与B相似，有可逆

7、矩阵P，它使P-1AP=B，A与B收缩，可逆矩阵C，它使CTAC=B，A与B收缩。A，BMmn，A与B是等价的，有m阶可逆矩阵P，n阶可逆矩阵q，它使PAQ=B，公共性质：自反性，对称性，传递性，平方矩阵的特征值与特征向量在第四章，等价，相似性，收缩，正交相似关系，等价的不变量，相似性，收缩，正交相似性，等价。 合同：秩，即R(A)=R(B)对称，即如果A是对称的，那么B也是关于对应于正(负)惯性指数对称矩阵A和B的二次型的正规型对称的。根据(所有特征值的多个根度之和等于N)求出A的所有特征值，对于每个ki多个特征值I，求出方程(A- iE)的基本解系x=0， 我们可以得到与特征值I相对应的k

8、i个线性独立的特征向量，并使它们正交化(总共可以得到N个成对的正交单位特征向量)，从而形成正交矩阵P，并满足P-1AP=求方阵的特征值和特征向量的步骤，计算|EA|，求|EA|=0的根，求(EA)x=0的基本解系，第4章方阵的特征值和特征向量，例7，方阵的解，特征值和特征向量，得到基本解系，第4章方阵的特征值和特征向量a能被对角化吗？在第四章，方阵的特征值和特征向量，得到了基本的解系，因此它是可对角化的。第四章，方阵的特征值和特征向量，第五章，二次型，二次型，第五章，定义：具有n个变量x1，x2，xn的二次齐次函数，矩阵表示：f=xTAxA对称标准型：只包含平方项，范式：ki取值于-1，0，1，二次型的秩：R(f)=R(A)，惯性定理，基本概念，归一化，正定二次型，二次型，配点法，正交变换