高中数学 第二章 第2节 对数函数 新人教A版必修1知识精讲（通用）

1、高一数学第二章 第2节 对数函数 新人教A版必修1一、学习目标： 1. 理解对数的概念及其运算性质，知道换底公式。2. 理解对数函数的概念，图象和性质。3. 了解对数函数与指数函数互为反函数的关系。二、重点、难点：重点是理解对数的概念及其运算性质，对数函数的概念、图象和性质。难点是换底公式和对数函数模型的应用，以及反函数的概念。三、考点分析：对数函数是高中数学的重要函数。高考中，既考查定义与图象及主要性质，又在数学思想方法上考查分类讨论的方法及字母运算能力。既有选择题、填空题，又可以解答题出现，且对综合能力要求较高。学习过程中不仅要从概念，图象，性质三方面理解对数、对数函数，还要增强运用分类讨

2、论的思想方法以及综合运用函数图像及性质解题的能力。1. 对数对数的定义：。对数式是由指数式转化而来的。两式底数相同，对数式中的真数就是指数式中的幂值，而对数值则是指数式中的幂指数。这是指数式与对数式互化的依据。关于对数的几个结论：（1）零和负数没有对数；（2）；（3）；（4）。底数的对数叫做常用对数，记作；底数的对数叫做自然对数，记作，其中是一个无理数，。2. 对数的运算性质如果，且，那么：（1）；（2）；（3） . 3. 换底公式（，且；，且；）. 利用换底公式推导下面的结论（1）；（2）. 4. 对数函数的概念 一般地，把函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，）。5. 对

3、数函数的图象与性质知识点一：对数及对数运算性质例1. 计算思路分析：1）题意分析：对数性质和对数运算法则的综合应用。2）解题思路：先利用对数的运算法则将指数和对数的底统一，然后利用对数恒等式化简。 解答过程：原式 解题后的思考：本题容易忽视对数运算法则成立的条件，即M0，由得出，从而计算错误。 例2. 已知loglog（logx）loglog（logy）loglog（logz）0，试比较x、y、z的大小。思路分析：1）题意分析：这是三个对数方程。2）解题思路：在解题前需要先将x、y、z分别求出再比较大小，也就是将已知对数式化为指数式。解答过程：由loglog（logx）0得，log（logx）

4、1，logx，即x；由log log（logy）0得，log（logy）1，logy ，即y；由log log（logz）0得，log（logz）1，logz ，即z。y ，x ，yx，又x ，z，xz。故yxz。解题后的思考：在解决底数和指数互不相同的数比较大小的题目时，一是可以借助特殊值，二是像本题一样两两化成同底或同指数，然后比较大小。知识点二：对数函数例3. 若实数满足，求的取值范围。思路分析：1）题意分析：已知函数值的大小，求自变量的取值范围。2）解题思路：把1化为并对进行分类讨论。 解答过程：当时，； 当时，即。 故。 解题后的思考：解含有对数符号的不等式时，必须注意对数的底数是大

5、于1还是小于1，然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答。 例4. 若满足，则满足区间（ ） A. （0，1） B. （1，2） C. （1，3） D. （3，4） 思路分析：1）题意分析：本题是估计一个超越方程解的范围。2）解题思路：本题左边是一个对数函数，右边是一个一次函数，可通过作图象来求解。 解答过程：在同一直角坐标系中画出，的图象，如图所示，可观察两图象交点的横坐标满足，答案选C。 解题后的思考：仅根据图象其做法有时是不可靠的，这是因为所画图象大多都是草图，并不十分准确，因此还要结合选项提供的数据验证：当0x1时，log2x03x；当1x2时，log2x13x；当3x03x.判断出应

6、选C答案；要注意数形结合思想的应用。 例5. 已知在上为的减函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 思路分析：1）题意分析：已知函数在某个区间上的单调性，求参数的取值范围。2）解题思路：由函数的单调性求底数的取值范围，逆向考查，难度较大，可采用特殊值法进行判断。 解答过程：取特殊值，则有，与是的减函数矛盾，排除和； 取特殊值，则，所以，排除。 答案选B。 解题后的思考：本题由常规的已知具体函数判断其单调性，变换为已知函数的单调性反过来确定函数中底数的范围，提高了思维层次。 例6. 若，求函数的值域。思路分析：1）题意分析：通过对函数式进行变形来解题，此题是一个求二次函数值域的问题。

7、2）解题思路：可运用换元法进行求解。 解答过程：设，即。又，当时，有最小值，为4；当或时，值相等且最大，的最大值为。 故函数的值域为。 解题后的思考：运用换元法是一种常见的数学思想，也是一种常用的解题技巧，希望同学们在今后的学习中合理转化，灵活运用。例7. 是否存在实数a，使得在区间2，4上是增函数；若存在，求出a的值，若不存在，说明理由。思路分析：1）题意分析：已知函数在某个区间上的单调性，求参数的取值范围。2）解题思路：解答过程：当时，是由二次函数与对数函数复合而成的，由复合函数单调性判断方法知，区间2，4应在函数的对称轴的右侧，即在单调增区间上，故有，所以又由于在x2时，取得最小值，所以

8、0，所以。故。同理当时，2，4应在函数的对称轴的左侧，即在单调减区间上，故有，所以又由于在x4时取得最小值，所以，所以。所以此时无解。 综合以上两种情况，a的取值范围为解题后的思考：研究函数的性质，定义域意识是非常重要的，没有定义域的函数是不存在的。本题就易忽视真数大于零而致误。对数函数比指数函数复杂，主要受两方面的影响，一是对数的性质和法则较指数要难，二是对数函数的定义域是正实数，这个条件容易忽略。做题时要注意以上两点，尤其是第二点。一、预习新知我们先看几个具体问题：（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付pw元，这里p是w的函数；（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面

9、积Sa2，这里S是a的函数；（3）如果立方体的边长为a，那么立方体的体积Va3，这里V是a的函数；（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长，这里a是S的函数；（5）如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度，这里v是t的函数。以上问题中的函数具有什么共同特征？请同学们预习2.3幂函数。二、预习点拨1. 什么叫幂函数 。2. 我们要掌握的幂函数有哪些 。3. 画出要掌握的幂函数的图象 。（答题时间：45分钟）一、选择题1. 若的取值范围是（ ）A. B. C. D. 2. 已知的值为（ ）A. 3 B. 8 C. 4 D. 3. 若下列命题正确的个数为（ ）A. 0 B

10、. 1 C. 2 D. 34. 已知（ ）A. 15 B. C. D. 2255. 若（ ）A. B. C. D. 6. 如果两个实数根，则等于（ ）A. B. C. D. 15二、填空题7. 函数ylog（x1）（3x）的定义域是 。8. 已知函数f（x）log0.5 （x24x5），则f（3）与f（4）的大小关系为 。9. 若函数ylgx2（k2）x的定义域为R，则k的取值范围是 。三、解答题10. 设函数。（1）确定函数f （x）的定义域；（2）判断函数f （x）的奇偶性；（3）证明函数f （x）在其定义域上是单调增函数；（4）求函数f（x）的反函数.11. 如图，A，B，C为函数的图象

11、上的三点，它们的横坐标分别是t，t2，t4（t1）。（1）设ABC的面积为S，求Sf （t）；（2）判断函数Sf （t）的单调性；（3）求Sf （t）的最大值。12. 求函数的单调区间。一、选择题1. B 提示：由对数函数的定义可知2. A 提示：3. B 提示：根据对数的运算性质易知只有是正确的。4. B 提示：5. B 提示：由换底公式可得：6. A 提示：原方程可化为二、填空题7. x且x 提示：由 解得1x3且x。8. f（3）0解得1x5。又ux24x5（x2）29， 当x（1，2）时，ylog0.5（x24x5）单调递减；当x2，5时，ylog0.5（x24x5）单调递减，f（3）0恒成立，则（k2）250，即k24k10，由此解得2k2三、解答题10. 解：（1）由得xR，定义域为R。（2）是奇函数。 （3）设x1，x2R，且x1x2，则. 令，则.x1x20，t1t20，0t1t2，f （x1）f