绝对值不等式的解法

1、不等式,2.2绝对值不等式的解法,（1）实数的绝对值的代数意义：,几何意义：数轴上实数a的对应点到原点的距离。,（2）绝对值的性质：,复习回顾,（3）含绝对值不等式的解法：,（4）绝对值的运算：,（5）,绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a的解集,x|-axa,x|xa或x-a,xR|x0,R,新课,(2)|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法 |ax+b|c _-cax+bc |ax+b|c _.,ax+bc或ax+b-c,(1)思考：不等式|x-c|+|x-b|a的几何意义是什么？ 提示：不等式|x-c|+|x-b|a的几何意义是：数轴上满足到坐标为c的

2、点的距离与到坐标为b的点的距离之和大于或等于a的点的坐标的取值范围. (2)|2x-1|3的解集是_. 【解析】 即不等式|2x-1|3的解集是x|-1x2. 答案：x|-1x2,绝对值不等式的解法 【方法点睛】 1.解绝对值不等式的基本方法有 (1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式； (2)当不等式两端均为正时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式； (3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.,2.几种绝对值不等式的等价形式 解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等式(组)，根据式子的特点可用下列公式进行转化. (1)|f(x

3、)|a(a0)f(x)a或f(x)-a; (2)|f(x)|a(a0)-af(x)a; (3)|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)-g(x); (4)|f(x)|g(x)-g(x)f(x)g(x); (5)|f(x)|g(x)|f(x)2g(x)2.,【例1】(1)不等式|2x-1|1的解集为_； (2)不等式|x2-9|x+3的解集为_； (3)(2011江西高考)对于xR，不等式|x+10|-|x-2|8的解集为_. 【解析】(1)转化为不含绝对值的不等式；(2)利用绝对值 的定义或|f(x)|a(a0) -af(x)a去掉绝对值符号或利 用数形结合思想求解；(3)不等式的左边含

4、有两个绝对值符 号，可以采用“零点分段法”.,解：(1)由|2x-1|1得-12x-11, 解得0x1, 原不等式的解集为x|0x1. (2)方法一：原不等式 或 不等式组 或3x4. 不等式组 原不等式的解集是x|2x4或x=-3.,方法二：原不等式等价于 原不等式的解集是x|2x4或x=-3.,方法三：设y1=|x2-9|, y2=x+3(x-3)， 由|x2-9|=x+3， 解得x1=4,x2=-3,x3=2. 在同一坐标系下作出y1,y2的图像. 从图中可看出使y1y2的x的取值范围是x=-3或2x4. 原不等式的解集为x|x=-3或2x4.,(3)当x-10时，原不等式变为：-x-1

5、0+x-28,即-128，不符合要求； 当-10x2时，原不等式变为：x+10+x-28,即2x0,解得0 x2; 当x2时，原不等式变为：x+10-x+28,即128,恒成立，x2. 综上所述，原不等式的解集为x|x0.,【互动探究】若将本例(3)中“|x+10|-|x-2|8”改为“|x+10|+|x-2|20”,则不等式的解集为_. 【解析】当x-10时，原不等式变为-x-10+2-x20，即 -2x-820， 即x-14,故-14x-10; 当-10x2时，原不等式变为x+10+2-x20,即1220,恒成立；,当x2时，原不等式变为x+10+x-220，即2x+820,即x6.2x6

6、. 综上所述，原不等式的解集为x|-14x6. 答案：x|-14x6,【反思感悟】用“零点分段法”解|x-a|+|x-b|c或 |x-a|+|x-b|c型不等式的一般步骤为： (1)令每个含绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根； (2)将这些根按从小到大排序并把实数集分为若干个区间； (3)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出解集； (4)取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集.,练：(1)不等式1|x-2|3的解集为_； (2)不等式|x+3|-|2x-1| +1的解集为_； (3)(2011江苏高考改编)不等式x+|2x-1|3的解集为_. 【解析】(1)方法一

7、:原不等式等价于不等式组 解得-1x1或3x5, 所以原不等式的解集为x|-1x1或3x5.,方法二:原不等式可转化为: 由得3x5，由得-1x1, 所以原不等式的解集是x|-1x1或3x5.,方法三:原不等式的解集就是1(x-2)29的解集, -1x1或3x5. 原不等式的解集是x|-1x1或3x5.,(2)当x2,x2. 综上可知：原不等式的解集为x|x2.,(3)原不等式可化为 解得 所以原不等式的解集是 答案：(1)x|-1x1或3x5,含绝对值不等式的恒成立问题 【方法点睛】 对于恒成立不等式求参数范围问题，常见类型及其解法如下 (1)分离参数法 运用“f(x)af(x)maxa,f

8、(x)af(x)mina”可解决恒成立中的参数范围问题.,(2)更换主元法 不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决问题时，可转换思维角度，将主元与参数互换,常可得到简捷的解法. (3)数形结合法 在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观解决问题.,【例2】(1)若不等式|x+1|-|x-3|a的解集为R，则a的取值范围为_. (2)(2011陕西高考)若不等式|x+1|+|x-2|a对任意xR恒成立，则a的取值范围是_. 【解析】(1)求出|x+1|-|x-3|的取值范围，只要a小于|x+1|-|x-

9、3|的最小值即可；(2)求出|x+1|+|x-2|的取值范围，只要a不大于|x+1|+|x-2|的最小值即可.,解：(1)方法一：因为|x+1|-|x-3|表示数轴上的点P(x)与两定点A(-1)，B(3)距离的差，即 |x+1|-|x-3|=|PA|-|PB|.由绝对值的几何意义知，|PA|-|PB|的最大值为|AB|=4，最小值为-|AB|=-4，即-4|x+1|-|x-3|4. 不等式|x+1|-|x-3|a的解集为R， a的取值范围为a-4.,方法二：由|x+1|-|x-3|x+1-(x-3)|=4. |x-3|-|x+1|(x-3)-(x+1)|=4. 可得-4|x+1|-|x-3|

10、4. 不等式|x+1|-|x-3|a的解集为R， a的取值范围为a-4.,(2)当x-1时，|x+1|+|x-2|=-x-1-x+2=-2x+13; 当-12时，|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-13; 综上可得|x+1|+|x-2|3,所以只要a3, 即实数a的取值范围是(-,3. 答案：(1)(-,-4) (2)(-,3,【互动探究】若本例(1)中不等式有解，则a的取值范围是_； 若不等式的解集为，则a的取值范围是_. 【解析】由本例(1)的解析过程可知，-4|x+1|-|x-3|4.故若不等式|x+1|-|x-3|a有解，只要a比|x+1|-|x-3|的最大值小即可，即aa的

11、解集为，只要a不小于|x+1|-|x-3|的最大值即可，即a4. 答案：a4 a4,【反思感悟】对于含参数不等式的存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式的解集为R是指不等式恒成立问题，而不等式的解集为的对立面(如f(x)m的解集是，则f(x)m恒成立)也是不等式恒成立问题，要注意区别.,练：已知函数f(x)=|x-a|. (1)若不等式f(x)3的解集为x|-1x5,则实数a的值为_； (2)在(1)的条件下，若f(x)+f(x+5)m对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为_. 【解析】(1)由f(x)3得|x-a|3, 解得a-3xa+3. 又已知不等式f(x)3的解集为x|-1x5, 所以 解得a=2.,(2)方法一：当a=2时，f(x)=|x-2|. 设g(x)=f(x)+f(x+5), 于是 所以当x-3时，g(x)5; 当-3x2时，g(x)=5; 当x2时，g(x)5. 综上可得，g(x)的最小值为5. 从而，若f(x)+f(x+5)m，即g(x)m对一