数值模拟：第三讲 梁单元

1、三梁单元目标：掌握以梁为单位进行结构有限元分析的原理。3.1简单梁单元_ _ _直梁3.1.1，节点位移和节点载荷，图(A)对于直梁，根据结构和载荷情况分为三个单元，分别为一个单元。单元之间和端点是节点。3个单元4个节点。梁的任意节点具有两个位移元件：挠曲和转角。节点I的偏移以图案表示。名为节点I的节点偏移。与节点位移元件相对应，梁的节点I的负载也有两个项目。侧向力和弯矩(称为广义力)。名为节点I的节点负载。如果梁具有分布载荷，则可能近似等于节点。节点I的负载以阵列表示：3.1.2，简单梁储存格的储存格性质，储存格中有两个节点，节点本端号码：I，J。每个节点有两个位移元件，储存格总共有四个位移

2、元件四个自由度。单元节点位移零部件：分析从上述梁结构中获取的典型梁单元E。单元长度l，弹性系数e，截面惯性矩为j。名为单元e的单元节点位移数组(矢量)。(1)单元的说明，结构的一个单元通常受节点截面中结构的另一部分作用于梁单元的力称为单元节点力。每个节点两个节点力分量：剪切力q、弯矩m(每个对应于节点的两个位移分量)。单元节点力分量：称为单元E的单元节点力阵列(矢量)。注意：节点偏移和节点力元件的正向与局部轴的正向一致，如图所示。因此，节点力的正向与材料动态中内力的正向定义不同！节点力是梁的内力。节点负载是梁结构从节点接收的外力。(参见P5的第1115行)，(2)单元特性研究，结构中梁单元的变

3、形由节点位移确定，对于力平衡单元，特定节点位移总是与特定节点力相关联。此关系是单元的弹性特性(刚度特性)。以下是材料动力学结果和单元刚度矩阵特性，用于设置梁单元的特性。之前的分析表明，在弹性、小变形前提下，单元保持平衡时，节点力和节点位移之间存在线性关系，以矩阵形式表示。总之，梁单元的刚度方程，在常识中称为单元刚度矩阵，每个元素都是常数。为了方便起见，节点力和节点位移元件以新符号显示。刚性表达式为：为了分析单元刚度矩阵元素的物理意义，上述命令：(其中1，2，3，4是单元自由度的序列号)。)，其中一栏的刚性系数表示相应的节点位移元件为1，其他位移元件均为0。现在，根据刚度矩阵的物理意义确定刚度系

4、数。设置，梁单元变形如图所示。根据材料力学梁变形公式得出节点力，如下：挠曲：转角：同时分析：由梁储存格中的静态平衡条件得出。这将计算刚度矩阵中的第一列元素。复位：梁单元变形如图所示。适用于刚性表达式。同样，通过梁的变形公式和平衡条件，求解刚度矩阵的第二列元素：以相同的方法求解剩馀的两列元素，计算单元刚度矩阵。显然，与弹簧和杆单元一样，2)特异性；3)主对角元素恒定。得到刚度矩阵后，单位特性完全确定。(3)利用单位刚度方程的分块、矩阵分割方法和运算规则，将梁单元的刚度方程逐节点划分。单元节点力阵列块、单元节点位移阵列块、块形式的单元刚度矩阵：上述每个子块都是21个子阵列。每个子块是22个子矩阵，

5、因此单元刚度表达式分块显示为：上部以区块形式展开，得到两个矢量方程(共四个代数方程)。以上述块格式表示的单元节点力和节点位移之间的关系在结构的整体分析中更为简洁。，3.1.3，离散结构的完整分析，设置已知块形式的每个单位特性：使用离散结构的每个节点作为隔离体分析力平衡。以细胞节点力的反作用、外部载荷、细胞节点力、细胞节点力、节点2为例，分析力和平衡。节点2的力分为两类。1)外部负载：2)由储存格(1)和(2)中节点力的反作用：节点2的静态平衡条件得出。单元节点力的反作用力、外部载荷、单元节点力、单元节点力、节点2(即节点2)的外部载荷分布在连接的单元上。前面给出的单元(1)，(2)块格式单元刚

6、度方程，是节点2的平衡方程：，单元刚度矩阵总刚度矩阵的很多元素为零，因此矩阵稀疏。非零元素沿主对角线分布ribbon(节点编号满足特定条件吗？)。总之，从前面弹簧、直杆和梁结构的FEA总刚度矩阵的特性，可以总结结构FEA总刚度矩阵的特性，如下所示：1)对称2)特异性；3)稀缺性；4)非零元素带状分布，结构总刚度矩阵的讨论，结构有限元平衡方程的讨论，平衡方程左侧总刚度矩阵和位移数组的乘积等于结构中每个节点的总节点力。因此，每个子块的每一行表示该节点位移对该行节点总力的贡献。平衡方程式的右端是每个节点的外部负载。因此，有限元平衡方程(FEA)表示系统每个节点接收的外部载荷和接收的单位反作用总力之间

7、的平衡。对于特定结构，方程式必须具有已知位移及其未知载荷(原力)，因此在求解平衡方程式之前，必须进行约束处理，以分离未知位移的方程式。然后，使用求出的位移，通过剩余方程求出反作用力。3.2平面内的常规梁单元，仿真，平面刚架，拉伸，弯曲组合，单位变形特征，节点位移零部件，节点载荷零部件，平面梁单位，结构节点位移，结构节点载荷，节点自由度：3，3.2.j本端座标系统中的节点位移元件：轴位移：横向挠曲：转角：本端座标系统中的节点力元件：轴向力：侧向剪切力：弯矩：储存格中有6个位移元件6个自由度储存格节点位移阵列：储存格节点力阵列：(1)储存格描述，(2)设定储存格性质在两种变形模式下的刚性性质利用前

8、面所学的杆单元和简单梁单元的节点力和节点位移关系(单位刚度方程)，以矩阵形式进行整理，得到以下组合变形下的平面梁单元刚度方程。上述刚度表达式缩写如下：块格式：其中：刚度矩阵子块：3.2.节点位移向量座标转换：节点转换矩阵：储存格节点位移阵列的转换：储存格座标转换矩阵，储存格节点力阵列的转换：节点力向量和节点位移向量符合相同的座标转换关系。，单元刚度矩阵的坐标变换：，3.2.4，平面刚度框架的完整分析，平面刚度框架的完整分析原理与弹簧系统、桁架、直梁的完整分析相同，根据每个节点外部载荷和结构的节点力平衡导出系统的平衡方程。重新引入约束条件，然后解决约束条件。总刚度矩阵由总坐标中每个单元的刚度矩阵

9、重叠。完整平衡方程式：3.3 3D空间梁储存格简介，3.3.1储存格功能：模拟3D固定框架3.3.2储存格性质分析。基本想法与平面梁单元相同。首先在本地坐标系中设定单元特性说明，然后将其转换为整个坐标系。局部坐标系下的节点位移：单元为12个自由度，全局坐标系下的节点位移：分析局部坐标系下的单元刚度特性，三维梁单元的变形模式：轴拉伸，两个主平面内的弯曲，扭曲变形的组合。以前，我们在本地坐标系下设置了杆、简单梁的单元特性表达式。使用材料力学的扭转理论，可以在以下局部坐标系中以相同的原理得到单元的扭转刚度方程：因为在小变形条件下，这些变形徐璐不适合。在分别设置了这三种变形的刚度特性后进行装配，可以在本地坐标系中获得3D梁单位的组合刚度特性。包括一个拉伸刚度矩阵、两个简单的梁刚度矩阵和一个扭转刚度矩阵。组合上述三种类型的刚度矩阵，可以在局部坐标系中获得3D梁单元的单元刚度矩阵。通过单元节点的位移