光学成像系统的传递函数

1、第六章 光学成像系统的传递函数由衍射理论知道，即使一个没有象差的完善的透镜或光学系统，也得不到理想的几何象，而是一个由孔径决定的衍射光斑。衍射斑的存在影响光学系统分辨物体细节的能力。对于有象差存在的实际光学系统，还因为象差的存在而影响衍射斑中光能的分布，从而降低了光学系统的质量。在常用的评价成象质量的方法中，如星点法是通过研究一个点物的衍射图形来判断象差的大小；分辨率法是用一个具有一定空间分布的鉴别率板作为物体来判断成象的好坏。这些方法都存在一定的局限性。实际的物体是有复杂的光强分布或振幅分布的，可以看作一个包含有各种空间频率的复杂光栅。按照阿贝成象理论，一个只受衍射限制而无象差的理想光学系统

2、，因为物体的频谱中的高频部分受到孔径的限制而不能参与成象，致使象面的复振幅分布不同于物面，即表示细节的高频部分丢失而使分辨率下降。对于有象差存在的实际光学系统，不仅反映细节的高频部分由于孔径的限制而丢失，其它较低频率成分的光波也由于象差的存在而使得其振幅降低或位相改变，从而影响成象质量。为了全面评价一个光学系统的成象质量的优劣，必须全面考察物面上的各种频率成分经过光学系统的传播情况，用来衡量这个传播状况的函数就是传递函数。现在，光学传递函数的概念和理论已经较普遍地应用于光学设计结果的评价、控制光学元件的自动设计过程、光学镜头质量检验、光学系统总体设计的考虑及光学信息处理等方面。特别是光学传递函

3、数为光学仪器的设计、制造和使用提供了统一的评价标准，成为一个更全面更客观的质量评价方法。本章主要讲授在频率域中描写衍射受限系统的成像特性。所谓衍射受限系统即成像只受到有限大小孔经衍射的影响，无几何光学像差的理想系统。对于有象差存在的实际光学系统对传递函数的影响也将作原理性的介绍。6-1 透镜、衍射受限系统的点扩展函数一、 透镜的点扩展函数在2-4中我们在学习脉冲响应和叠加积分时，引入了线性系统的点扩展函数（脉冲响应）的概念。把函数作为分解输入函数g1的基元函数，系统对输入的响应即输出函数g2：其中称为系统的脉冲响应（点扩展）函数，其表示系统在输出平面(x2, y2)的点上对输入平面坐标(，)上

4、的函数的输入响应。现在我们研究的系统是透镜。这里即物平面上光场分布；即像平面上光场分布，所以在5-2里，我们知道，对于下图所示的光路，观察面上的复振幅分布为其中，如果我们用单位振幅的平面波照明透明片，即，则，按照下图的符号标示，则，用平面波照明透明片，透明片的透过率函数也就是物平面上光场分布，即考虑到透镜的孔径函数P(x，y)，并将以上各量代入下式得与系统的脉冲响应（点扩展）函数的定义相比知道便是透镜的点扩展函数。当象面是物面的共轭，即时，透镜的点扩展函数为又因为象面是物面的共轭面，若透镜孔径比较大，衍射效应不明显，在近轴近似下，则 其中是横向放大率所以此时若我们研究的是象面的光强度分布，显然

5、的存在并不影响象面的光强度分布，此时透镜的点扩展函数可以写为显然的变量是两个线性组合，即，所以可以记为。如果令，则透镜的点扩展函数为我们知道，透镜孔径的衍射作用明显与否，是由孔径线度相对于波长和像距的比例决定的。为了便于比较，我们对作变量替换如下 将其代入点扩展函数表达式，得这就是我们最终我们所求得透镜的点扩展函数。从上式可以看出，在傍轴近似下，薄透镜为一种简单的空不变系统，其点扩展函数就是透镜的孔径函数的傅里叶变换。它决定了在像面上形成的夫琅和费衍射斑的复振幅分布，而理想像点就位于衍射斑的中心。当透镜孔径远大于时，即x, y在很大的范围内(也就是变量在很大范围内)，则点扩展函数可以近似为上式

6、为一种极限情况，即无限大口径的理想光学系统，这时点物成点像。二、衍射受限系统(DLS Diffraction-Limited System)的点扩展函数一个衍射受限的成象系统，无论它由多少个光学元件组成，总可以用下图所示的系统来表示它的一般模型。其中，入瞳和出瞳反映了系统实际孔径对光束的限制，因此一个系统的衍射受限就相当于受到入瞳或出瞳的限制，可以证明对整个系统，入瞳和出瞳是共轭的。有了光瞳的概念，我们可以不去涉及光线在系统中行进的具体路径，而把整个系统的衍射受限看作由入瞳和出瞳边缘的作用。按照衍射受限系统的定义，系统是没有几何像差的。对于一个没有像差的复杂光学系统，其成像过程可描述为：任一物

7、点发出的发散球面波自由传播到入瞳，由于入曈孔径为有限大，光波发生衍射，入瞳面上每一点都成为次级子波源，次级子波再传播到出瞳面，叠加成会聚球面波，最终在像面上给出以为中心的出瞳的夫琅和费衍射图样。我们将透镜的点扩展函数按出瞳进行推广，就得到衍射受限系统的点扩展函数（采用系统的出瞳对光波的衍射作用）其中K是与无关的系数，M是系统的横向放大率，是出射光曈面到像平面的距离（不是通常意义下的像距），是出曈函数，其表示为如果作变量替换，；，可以得到当光曈时，则认为在无限大的区域内都有，所以上式表明，当可以忽略光曈衍射作用时，点的脉冲通过衍射受限系统后在物平面上得到的仍然是点脉冲，即点物成点像，位置为，这便

8、是几何光学理想成象的情况。6-2 相干照明下衍射受限系统的成像规律相干照明下透镜成象是复振幅的线性系统，因此我们在上节导出的象面振幅应是复振幅的叠加积分。根据上节导出的衍射受限系统的点扩展函数其中K是与无关的系数，M是系统的横向放大率，是出射光瞳面到像平面的距离。当光曈(x, y)时，则认为在无限大的区域内都有光瞳函数，所以在象面上得到理想象点，其点扩散函数为所以在理想成象的情况下，象面上的复振幅分布为可以看出，理想象分布与物函数分布U0是一样的，只是在xi，yi的方向上都放大了M倍（若Mf0II，镜头I的分辨率也比II的高。但是分辨率仅是一个指标，仅用截止频率来评价镜头的质量是不够的。镜头I

9、I的中低频响应特性都优于I，总的来看，镜头II的清晰度比镜头I的高。为了反映不同的使用要求，通常选取OTF曲线在一个或几个特征频率下的值作为镜头评价或对比的指标，例如要求高分辨率的镜头，可以选一个高频下的OTF值作为指标。有时还按下面的原则来选择特征频率：1 理论分析和实验都表明，接近于截止频率一半处的OTF值，对于成像质量比较敏感，当像质有所不同时，该频率的OTF值变化最快，因此常常选择它为特征频率。2 对于一类特定的产品，往往做大量的实验，确定特征频率，该特征频率与产品镜头的某一个或几个性能指标有较好的相关性。3 用特征频率下的OTF值代替OTF曲线作为像质评价指标，在处理上比较方便，因为

10、它是单值指标，容易互相比对；此外，测定单个频率下的OTF值的装置也比完整的光学传递函数仪容易制造。二、 中心点亮度和等效带宽K.Strehl在1984年提出了一个像质评价标准，即有像差时的点像的最大亮度与衍射受限系统点像最大亮度之比，称为“中心亮度”，简记为S.D。设衍射受限系统的点像最大亮度为S0，则像差光学系统的中心亮度上式表明中心亮度S.D等于OTF的积分。在一维情况下，上式变为Beq又称为有效带宽。它的物理意义是：设位相传递函数PTF=0，则Beq相当于下图中矩形的宽，该矩形的面积与MTF即曲线下的面积相等。显然光学系统传递空间频率信息的性能越好，曲线下的面积就越大，Beq也就越大。B

11、eq对于光学系统的视场的积分称为系统的信道容量。三、 锐度和能量集中度A. Richard在1974年提出了锐度(Sharpness)的概念，定义为点像光强分布平方的积分：假定点光源的能量全部传递到像面，则以总能量为单位的归一化点像强度积分为1，即但光强的分布随着像质的不同而不同。一般说来，能量越集中，光强的变化梯度越大，从总体来看点像越尖锐。可以作为点像锐度或能量集中度的度量。由Parserval定理，得S2有时又用E表示。由此可见，锐度和能量集中度是同一个概念，其数值等于光学传递函数平方的积分。在一维情形下上式化为式中l(x)为线扩散函数。四、 清晰度点像的强度分布曲线越陡，梯度越大，系统

12、对于一般目标物体所成像的边缘越清晰，可见清晰度是和有关的，因此定义清晰度(acutance)acutance也常译作锐度，可见清晰度和锐度这两个概念可以混用。利用Parserval定理，容易证明五、 高对比直边的弥散和等效带宽光学系统所观察的目标，常常是由不同亮度或不同色泽的区域构成。设用工具显微镜对目标物进行长度测量，必须先用目镜中的分划线对准物体边缘（即不同区域的边界）通过物镜形成的像，然后读数。因为衍射效应和像差，边缘的像是有弥散的。显然弥散范围是引起测量误差的直接原因，为此我们先定义。一个与y轴重合的高对比直边的几何像，可以用step(x)函数表示。在非相干照明的情况下，像平面上的实际

13、光强分布则为式中l(x)为线扩散函数，由于沿y方向没有光强的变化，以下用表示光强变化。卷积的结果使直边像平滑（见上图），这就是直边像的弥散效应，它造成对准误差。通常是以在几何阴影处（即图中x=0处）斜率的倒数作为边缘像弥散范围的度量，可称为“等效线宽”，由线扩散函数l(x)与一维光学传递函数的关系得到Beq就是前面提到的等效带宽。所以上式表明直边像的弥散程度与光学系统的带宽之间有深刻的约束关系：Beq越大，系统对空间频率信息的响应特性越好，像的信息量就越接近物的信息量，从而边缘的弥散就越小。由于光波在光学系统有限大小的光瞳上的衍射效应，光学系统的通频带总是有限的，因此直边像的加宽效应不可避免，

14、而系统的像差一般来讲又使这一效应更为严重，进一步加大了弥散，降低了测量精度。类比于量子力学中的测不准原理，我们可以把称为光学系统的测不准关系式。很明显，Beq或可以作为小像差光学系统的像质评价指标。六、 光学传递函数的测量以上各种像质评价指标，都是以OTF为基础数据，经进一步计算得到的。OTF是对像质的定量评价，具有客观、准确的特点。目前已有各种类型的OTF测量仪器在镜头的设计、生产和检测部门使用，测量波段从可见光到红外光。光学系统作为一个线性系统，被它的脉冲响应完全确定。因此在OTF仪中，常常用点源作为系统的输入信号（OTF也常用狭缝、刀口、或变频光栅作为输入信号），只要测出系统对它的脉冲响

15、应（点扩散函数），就可以通过傅立叶变换得到OTF。OTF用一套复杂的光学系统来精密地测量点扩散函数，并用计算机算出OTF及其它相关的指标。下面以显微物镜为例，来说明OTF的测量原理和方法。下图为显微物镜的OTF仪。星点板Ps（即小孔光阑，其孔径在0.5m以下）被非相干光源S（通常是碘钨灯）通过聚光镜Lc照亮，被测物镜Lt把星点的像成在狭缝Ns上，Ns以匀速扫描，它的输出用扫描函数C()表示，即狭缝位于处通过狭缝进入探测器Dt的光能量。Dt将C()转换成电信号。一套精密机械系统完成镜头Lt的对焦、视场转换及狭缝Ns的匀速扫描等动作。目镜E用于监视目标（星点）的对准和视场选择；复合滤光片F用于校正

16、系统的光谱特性。例如对于目视系统，校正后的光谱曲线大体与人眼的视见函数一致。由Dt输出的模拟信号，通过预处理后，经抽样、平滑滤波（滤掉高频噪声）后通过A/D转换成为数字信号，送入计算机进行快速傅立叶变换得到OTF的抽样值，进一步的计算便可获得上面的Beq、锐度、清晰度等像质指标。下面介绍具体的计算公式。设星点是一个被均匀照明的无限薄透光圆孔，其理想像为式中为星孔理想像的半径。实际光强分布设用一条宽2的无限长狭缝（因点扩展函数的弥散范围不大，故可以近似认为所用狭缝为无限长）对进行扫描，狭缝平行于y轴，定义狭缝函数式中为狭缝的中心坐标。扫描函数为通过狭缝的光能量，故有所以式中A0为常数。上式表明扫

17、描函数C()的傅立叶变换和OTF成正比，式中后两个因子是有限直径的星孔和有限宽度的狭缝引起的误差，它们越小结果越准确，但同时Dt接受的光能量也越少。通常需要对结果加以修正才得到。由于实际镜头都不满足等晕条件，因此全面的评价要求测量不同视场、不同扫描方向的OTF值。本章部分习题解答2 正弦光栅，复振幅透过率，放在一个直径为l，焦距为f的会聚透镜前用单位振幅的单色平面波倾斜照射，平面波传播方向在面内，与z轴夹角为。求解：假定（1） 入射光场：物面透射光场的复振幅：其频谱为可见相对于垂直入射情况，物体的谱沿fx轴整体位移了的距离。（2） 物的空间频谱仅包含三个分量，其中任一频谱分量对应空间域是某一特

18、定方向的平面波，所以仅让一个分量通过系统，像面是不会有强度变化的。欲使像面有强度变化至少要有两个频谱分量通过系统。而相干光照明下，系统的截止频率是一定的，只有选择最低的两个截止频率分量，使它们在系统通频带内，角才可能取尽量大的值。这两个分量的空间频率是和则要求：，根据（已知条件）得（同时满足两个频谱两分量通过系统的条件）角最大值为：（3） 直径为l的圆形透镜相干传递函数为当取最大值，此时物场的三个分量中只有一个较高频率分量超出系统截止频率。所以像的频谱像面复振幅分布光强分布当时，设，则三个空间频率的光皆可通过，此时即像的复振幅分布与物分布相同，而强度分布为比较时，在时，可以看出时光强含倍频成分。在情况，像调制度（可见度）：在情况，像调制度（可见度）：可见在，条纹对比度高。由不等式：得，所以，即时要求光栅频率不大于系统