第5讲 电磁场的能量

1、电磁场与电磁波,电子工程学院 陈其科,第五讲 电磁场的能量,问题一：为什么说电磁场具有能量？,电场对位于场域中电荷有作用力，磁场对位于场域中电流有作用力，说明电磁场具有能量。,问题二：电磁场能量来源于何处？,建立电磁场的过程中，外源做功转换为电磁场能量。,问题三：电磁场能量分布于何处？,只要电、磁场不为零的空间，均存在电磁能量分布。,在某一 时刻：电荷分布为 、电位分布为 。,一、静电场的能量,静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。,1、分布电荷静电场能量,设系统从零开始充电，最终的电荷分布为、电位为。电荷增加系数为,当 增加为,体积元 dV 中增加电荷,外电源所做的功转换为电场

2、能量We ，即,外电源对dV做功为:,一、静电场的能量,2、多点电荷静电场能量,对N个点电荷组成的系统，电荷体密度为,利用函数的选择性,点电荷相互作用能,式中 为其他电荷在i电荷位置处产生电位，不含i电荷在自身处产生电位,多点电荷静电场能量：,一、静电场的能量,3、多带电导体系统静电场能量,N个带电导体组成的系统的总电场能量为：,式中 为所有带电导体(含i导体)在i导体处产生电位,多带电导体系统静电场能量,导体带电时，电荷均分布于导体表面面电荷。,i导体电荷面密度,i导体电荷电位,能量是分布在有电场存在的整个空间，并非仅仅存在于有电 荷分布的区域，所以被积函数 不表示能量密度,关于静电场能量表

3、达式的说明,讨论的是充电完成系统稳定后的情况，所以只适用于静电场,积分区域为存在电荷分布的空间，由于在无电荷分布的区域 积分为零，所以积分也可以为整个空间,一、静电场的能量,一、静电场的能量,4、电场能量密度,电场能量密度：,电场总能量：,对于线性、各向同性介质，有：,推证,考查第一项：,在上式中， 为整个空间，即S为包围整个空间的闭合面，,电场能量密度,式中： 为整个电场空间,电场能量密度公式推导：,二、恒定磁场的能量,恒定磁场能量来源于建立电流过程中外源提供的能量。 恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势做功所供给能量，全部转化成磁场能量。,1、体电流的磁场能量,若电流为体电流分布，则其在

4、空间中产生的磁能为：,式中： 为体电流 在dV处产生的磁位。 V为整个空间。,上式只适用于恒定磁场 被积函数 不代表能量密度,二、恒定磁场的能量,2、多电流回路系统的磁场能量,N个回路系统，i回路自感为 ，i回路与j回路间互感为 ，i回路电流为 ，则磁回路系统的磁场能量为:,若回路为单回路系统，则,若回路为双回路系统，则,关于电流回路系统磁场能量的讨论,二、恒定磁场的能量,3、磁场能量密度,磁场能量密度：,磁场能量：,对于线性、各向同性媒质，则有,推证,得：磁能密度为,磁场能量密度公式推导：,三、电磁能量及电磁能量守恒定律,1、电磁能量,电磁能量密度：单位体积中电磁场的能量。为电场能量和磁场能

5、量之和。,电场能量密度：,磁场能量密度：,电磁场能量密度：,体积V内总能量：,进入体积V的能量体积V内增加的能量体积V内损耗的能量,问题：数学表示？,2、坡印廷定理电磁能量守恒定律,三、电磁能量及电磁能量守恒定律,坡印廷定理描述了有限区域内的电磁能量守恒关系。,2、坡印廷定理电磁能量守恒定律,三、电磁能量及电磁能量守恒定律,区域V内电磁场能量密度： 单位体积中电磁场的能量，为电场能量和磁场能量之和。,体积V内总能量：,启示：围绕体积内储能随时间 的变化来描述能量关系,三、电磁能量及电磁能量守恒定律,2、坡印廷定理电磁能量守恒定律,坡印廷定理积分形式：,体积V 内增加的电磁功率,体积V内损耗的电

6、磁功率,流入体积V 的电磁功率 （新物理量）,坡印廷定理物理意义：单位时间内流入体积V内的电磁能量等于体积V内增加的电磁能量与体积V内损耗的电磁能量之和。,坡印廷定理微分形式：,推证,坡印廷定理推导：,两式相减，得,三、电磁能量及电磁能量守恒定律,2、坡印廷定理电磁能量守恒定律,三、电磁能量及电磁能量守恒定律,3、坡印廷矢量,重要概念：坡印廷矢量,流入体积V 的电磁功率,物理含义：通过垂直于能量传输方向单位面积的电磁功率（功率流密度）。,坡印廷矢量定义：,坡印廷矢量描述了时变电磁场中电磁能量传输（流动）的特性,注：上式与时间有关，故也称瞬时坡印廷矢量。,三、电磁能量及电磁能量守恒定律,3、坡印

7、廷矢量,平均坡应廷矢量,瞬时坡印廷矢量反映某时刻的电磁能量流动情况。 平均坡印廷矢量反映一个时间周期内的电磁能量传递情况。,平均坡印廷矢量：将瞬时形式坡印廷矢量在一个周期内取平均。,注： 与时间t无关。,四、典型例题,【例1】 半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的电荷，试求总静电场能量（球内外介质均为真空）。,解法一:利用 计算,根据高斯定理求得电场强度,故,四、典型例题,(续前),解法二:利用 计算,故,根据高斯定理求得电场强度,【例2】 求同轴线单位长度内储存的磁场能量。,解： 如图所示，同轴线的内导体半径为a ,外导体的内半径为b，外导体的外半径为 c 。,内、外导体之间填充的介质以及导体的磁导率,均为 ,设电流为 I，根据安培环路定律求出磁场分布,四、典型例题,由此即可求出三个区域单位长度内的磁场能量分别为,同轴线单位长度储存的总磁场能量为,四、典型例题,(续前),【例3】 已知无源区域的,场为,。求,(a) 磁场强度，(b) 场存在的必要条件，(c) 单位面积的瞬时功率流和平均功率流。,解: (a),电场为:,，用,求,场。,由,，得,四、典型例题,(续前) (b) 要使场存在，则场量须满足麦克