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文档简介

1、第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度,一、斯托克斯公式 二、简单应用 三、物理意义环流量与旋度 四、小结 思考题,定积分,二重积分,三重积分,曲线积分,曲面积分,格林公式,高斯公式,计算公式,（平面）,斯托克斯公式,（空间）,各类积分之间的关系示意图,基本假定：,（1） 是分片光滑的有向曲面， 是其,边界， 为分段光滑的有向曲线。,（2） 的方向与 的侧向之间符合右手规则。,（3）P、Q、R 在 及 上具有一阶连续偏导数。,情形1： 与平行于 z 轴的直线相交不多于一点。,此时 的方程可以表为：,（1） 取上侧。, 在 xoy 面上的投影区域记为,相应地， 在 xoy 面上的投影为 C,C 的方

2、向为逆时针方向。,（1） 取上侧。,首先，可以证明,因为若,则必有,是 上对应的点，,且对于 上的一个小弧段,它在 xoy 面上的投影记为,则,在 x 轴上的投影,完全一样，都为 d x,所以上面等式两边的被积表达 式相等。,（1） 取上侧。,首先，可以证明,由格林公式,所以,又,（1） 取上侧。,所以,（2）若 取下侧，上式仍成立,（3）若平行于 z 轴的直线与 的交 点多于一个，则类似于格林公式的处 理，可以说明上式也成立。,总之，在基本假定下，上式总 成立。,同理：,三式相加，并归类得,该等式称为斯托克斯公式,该等式称为斯托克斯公式,（1）在公式中， 的侧向与 的方向要符合右手规则,（2

3、）为帮助记忆，引入如下行列式记号,按第一行展开，并约定,该等式称为斯托克斯公式,再利用关系式,公式又可以写成,（3）若 是 xoy 面上的平面区域 D， 则,（4）斯托克斯公式的一个典型应用是将左边的曲线 积分化为右边的曲面积分，再利用曲面积分的方法或 高斯公式进行计算，从而达到简化曲线积分的计算。,解,应用斯托克斯公式的一个关键步骤或技巧是,找一张曲面 ：,它以 为边界，,且它的侧向,与 的方向符合右手规则。,本题中取 为 所围的三角形区域， 上侧。,又设 在 xoy 面上的投影区域为,例1: 计算曲线积分,解,例1: 计算曲线积分,解,例2：计算,其中： 为球面,与圆柱面,的交线 ，,若从

4、 oz 轴正向看去，取逆时针方向,取以 为边界的球面为 ：,上侧，,在 + 上应用斯托克斯 公式,例2：计算,解,例2：计算,解,二、物理意义-环流量与旋度,1. 环流量的定义:,设有向量场, 为场中一条有向闭曲线，,则称曲线积分,为该向量场沿有向闭曲线 的环流量。,其中,2. 旋度的定义:,设有向量场,称向量,为该向量场的旋度，记为,即,设斯托克斯公式中的有向曲面 在点 (x , y , z) 处的 单位法向量为,则有,考察斯托克斯公式,故斯托克斯公式又可写成如下向量形式,物理意义：向量场,沿有向闭曲线 的环流量等于,的旋度场通过 所张的曲面 的通量（或流量）,其中， 的正向与 的侧向应符合右手规则。,习题107: 1, 2, 3

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