等差数列的前n项和性质及应用ppt课件

1、等差数列的前n项和 的性质及应用,1,若a8=5，你能求出S15吗？,结论：等差数列an的前2n-1项和公式：,性质6:若数列an与bn都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则,学案76 达标7,2,3： 在a、b之间插入10个数，使它们同这两个数成等 差数列，求这10个数的和。,3,4： 已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36. 求前16项的和?,解: 由等差数列的性质可得: a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18 Sn=（16/2 ） 18=144 答:前16项的和为144。,分析：可以由等差数列性质，直接代入前n 项和公式,4,例1 已知数列an中Sn

2、=2n2+3n， 求证：an是等差数列.,变式训练2若数列an的前n项和Sn32n，求an.,题型(二)已知Sn，求通项公式an：,课本P45 ex2,等差数列的前n项和公式:,形式1:,形式2:,复习回顾,7,1.将等差数列前n项和公式 看作是一个关于n的函数，这个函数 有什么特点？,当d0时,Sn是常数项为零的二次函数,则 Sn=An2+Bn,令,8,等差数列前n项和的最值 (1)若a10，d0，则数列的前面若干项为_项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最_值； (2)若a10，d0，则数列的前面若干项为_项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最_值 特别地，若a10，d0，则_是Sn的

3、最_值；若a10，d0，则_是Sn的最_值,负数,小,正数,大,S1,小,S1,大,题型(三)等差数列前n项和Sn的最值问题：,9,10,等差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法1,由S3=S11得, d=2,当n=7时,Sn取最大值49.,11,等差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法2,由S3=S11得,d=20,当n=7时,Sn取最大值49.,则Sn的图象如图所示,又S3=S11,所以图象的对称轴为,12,等差数列的前n项的最值问题,例1.已

4、知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法3,由S3=S11得,d=2,当n=7时,Sn取最大值49., an=13+(n-1) (-2)=2n+15,由,得,13,a7+a8=0,等差数列的前n项的最值问题,例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.,解法4,由S3=S11得,当n=7时,Sn取最大值49.,a4+a5+a6+a11=0,而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8,又d=20,a70,a80,14,求等差数列前n项的最大(小)的方法,方法1:由 利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的

5、值.,方法2:利用an的符号当a10,d0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an 0且an+1 0求得.,15,练习:已知数列an的通项为an=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则n的值为( ) A.12 B.13 C.12或13 D.14,C,16,例6：已知数列an是等差数列，且a1= 21，公差d=2，求这个数列的前n项和Sn的最大值。,17,【点评】综合上面的解法我们可以得到求数列前n项和的最值问题的解法： (1)二次函数法：运用配方法转化为二次函数，借助函数的单调性及数形结合，从而使问题得解； (2)通项公式法： 当a10,d0时,数列前面有若干

6、项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an 0且an+1 0求得.,求Sn的最值问题的方法：,18,变式训练3数列an的前n项和Sn33nn2. (1)求证：an是等差数列； (2)问an的前多少项和最大,解：(1)证明：当n2时，anSnSn1342n， 又当n1时，a1S1323421满足an342n. 故an的通项为an342n.,所以an1an342(n1)(342n)2. 故数列an是以32为首项，2为公差的等差数列,19,变式训练3数列an的前n项和Sn33nn2. (1)求证：an是等差数列； (2)问an的前多少项和最大,(2)令an0，得342n0，所以n17，

7、故数列an的前17项大于或等于零 又a170，故数列an的前16项或前17项的和最大,学案P74 ex10,20,练习:已知数列an的通项为an=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则n的值为( ) A.12 B.13 C.12或13 D.14,C,21,1、数列前n项和,五、小结,2、等差数列前n项和公式,题型(一)等差数列前n项和的有关计算,3、三种题型,题型(二)已知Sn，求通项公式an,题型(三)等差数列前n项和Sn的最值问题,(A,B为常数，nN*),注意 的整体代换,知三求二,22,4求等差数列前n项和的最值方法 (1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要

8、注意nN*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观,23,裂项求和法,24,3.等差数列前n项和的性质：,性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n, 也是等差数列,公差为,在等差数列an中,其前n项的和为Sn,则有,性质2:若Sm=p,Sp=m(mp),则Sm+p=,性质3:若Sm=Sp (mp),则 Sp+m=,性质4:(1)若项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中间两项), 此时有:S偶S奇= ,n2d,0,nd, (m+p),性质4:(1)若项数为奇数2n1,则 S2n-1=(2n 1)an (an为中间项), 此时有:S偶S奇=

9、 ,两等差数列前n项和与通项的关系,性质6:若数列an与bn都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则,性质5: 为等差数列.,an,4.等差数列前n项和的性质的应用：,例1.设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( ) A.63 B.45 C.36 D.27,例2.在等差数列an中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+a99=60,a2+a4+a6+a100=( ) A.85 B.145 C.110 D.90,B,A,例3.一个等差数列的前10项的和为100,前100项的和为10,则它的前110项的和为 .,110,4.等差数列前n项和的性质的应用：,4.等差数列前n项和的性质的应用：,例5.一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为 .,例6.(09宁夏)等差数列an的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m= .,例7.设数列an的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+|a15|= .,5,10,153,1.