4.4-函数的最值和导数在经济中的应用课件

1、经济数学,3.4.1 函数的最值,最值的定义,如果函数f（x）在其定义域a，b上的函数值满足 其中 则称 为函数的最小值， 为函数的最大值。,3.4 函数的最值与导数在经济中的应用,经济数学,3.4.1 函数的最值,我们知道，连续函数 在闭区间 上一定存在最大值和最小值，且最大值和最小值只可能在区间 内的极值点和端点处得到因此可直接求出一切可能的极值点（驻点及个别不可导点）和端点处的函数值，比较这些数值的大小，即可得出函数的最大值和最小值。,经济数学,3.4.1 函数的最值,经济数学,3.4.1 函数的最值,如图所示，如果在 上单调增加，则函 数的最小值是， 最大值是。,经济数学,3.4.1

2、函数的最值,经济数学,3.4.1 函数的最值,如右图所示，如果在 上单调减少，则函 数的最小值是， 最大值是。,经济数学,3.4.1 函数的最值,在什么情况下函数 的极大值一定是最大值，在什么情 况下函数 的极小值一定是最小值,?,经济数学,3.4.1 函数的最值,如果连续函数 在 上仅有一个极大值而 没有极小值，则此极大值就 是 在 上的最大值， 如右图所示。,经济数学,3.4.1 函数的最值,如果连续函数 在 上仅有一个极小值而 没有极大值，则此极小值就 是 在 上的最小值， 如右图所示。,经济数学,3.4.1 函数的最值,求函数 在上的最值。,解：,因为,经济数学,3.4.1 函数的最值

3、,求函数 在上的最大值和最小值。,解：,因为,显然 与 是 的不可导点，令 ，,得驻点为 ，,比较各值，得函数最大值为 ，最小值为 。,经济数学,(4) 训练题一,3.4.1 函数的最值,1 . 求函数 在 上的最大值和最小值。,答案：最大值f（-1）=10，最小值f（3）=-22,经济数学,3.4.2 最值在经济问题中的应用举例,设某产品的总成本函数为 （元）（为产品的产量），求当产量为多少时，该产品的平均成本最小，并求最小平均成本？,解：,该产品的平均产品函数为,令 ，即,求得唯一驻点 ，,所以 在 处取得最小值，最小值为,又因为,经济数学,(2) 训练题二,3.4.2 最值在经济问题中的

4、应用举例,1. 设某产品的价格与需求的关系为 ，总成本函数 （元），求当产量和价格分别是多少时，该产品的利润最大，并求最大利润,答案：当产品为250个单位，价格为175元/单位时， 利润最大，最大利润为16950元,经济数学,3.4.3 导数在经济分析中的应用,1.边际与边际分析,定义3.2,边际函数 反映了函数 在点 处的变化率。,设函数 在点 处可导，则导函数 称为函数 的边际函数。 也称为函数在 处的边际函数值。,经济数学,3.4.3 导数在经济分析中的应用,1.边际与边际分析,因为 ，当 ， 时有 因此，函数 在点 处的边际函数值的具体意义是， 当 在点 处改变一个单位时，函数 近似地

5、改变 个单位。,经济数学,3.4.3 导数在经济分析中的应用,1.边际与边际分析,求函数 在点 处的边际函数值。,解:,它表示函数在 处，当 改变一个单位时，函数近似地改变14个单位。,经济数学,3.4.3 导数在经济分析中的应用,2.边际函数在经济学中的应用,边际需求的定义,设需求函数 在点 处可导（其中 为需求量，为价格），则其边际函数 称为边际需求函数。简称边际需求。,经济数学,3.4.3 导数在经济分析中的应用,边际供给的定义,若供给函数 在点 处可导（其中 为供给量，为价格），则其边际函数 称为边际供给函数。简称边际供给。,2.边际函数在经济学中的应用,经济数学,3.4.3 导数在经

6、济分析中的应用,边际成本的定义,设成本函数 可导（其中 表示总成本， 表示产量），则其边际函数 称为边际成本函数，简称边际成本。 称为当产量为 时的边际成本。,其经济意义为：当产量达到 时，如果增减一个单位产品，则成本相应增减个单位。,2.边际函数在经济学中的应用,经济数学,3.4.3 导数在经济分析中的应用,边际收益的定义,设收益函数 可导（其中 表示收益，表示商品销售量），则其边际函数 称为边际收益函数，简称边际收益。 称为当商品销售量为 时的边际收益。,经济意义：销售量达到 时，如果销售量增减一个单位产品，则收益相应增减个单位。,2.边际函数在经济学中的应用,经济数学,3.4.3 导数在

7、经济分析中的应用,边际利润的定义,设利润函数 可导，则其边际函数 称为边际利润。称为当产量为 时的边际利润。,经济意义：当产量达到 时，如果增减一个单位产品，则利润相应增减 个单位。,2.边际函数在经济学中的应用,经济数学,3.4.3 导数在经济分析中的应用,2.边际函数在经济学中的应用,设总成本函数 （元），求： 边际成本函数； 生产50个单位时的平均单位成本，和边际成本值，并解释后者的经济意义。, q=50时的平均单位成本为,q=50时的边际成本为,经济意义：当生产达到50个单位产品时，如果再多生产1个产品所最加的成本为17.5元。,经济数学,3.4.3 导数在经济分析中的应用,2.边际函

8、数在经济学中的应用,某工厂日产能力最高为1000吨，每日产品的总成本C（元）是日产量x（吨）的函数： 求当日产量为100吨时的边际成本，并解释经济意义。,答案：边际成本： 经济意义是：当产量是100吨时，每增加1吨产量，成本增加9.5元。,经济数学,3.4.3 导数在经济分析中的应用,3.弹性函数,定义3.3,设函数 在点 处可导，称极限 为函数的弹性函数，记为 ，即,经济数学,3.4.3 导数在经济分析中的应用,3.弹性函数,在点 处，弹性函数值 称为函数 在点 处的弹性值，简称弹性。它表示在点 处，当 变动1%时， 的值近似地变动 。,经济数学,3.4.3 导数在经济分析中的应用,3.弹性

9、函数,设函数 ，求其弹性函数以及在 处的弹性。,解：因为,所以弹性函数,于是，,经济数学,3.4.3 导数在经济分析中的应用,4.需求弹性和供给弹性,定义3.4,设需求函数 在 处可导，则,称为该商品在 处的需求弹性，记作 或 ，即,经济数学,3.4.3 导数在经济分析中的应用,4.需求弹性和供给弹性,定义3.5,设供给函数 在 处可导，则,称为该商品在 处的供给弹性，记作 或 ，即,经济数学,3.4.3 导数在经济分析中的应用,4.需求弹性和供给弹性,设某商品的需求函数为 ，求 需求弹性函数； 时的需求弹性，并说明其经济意义； 时，价格上涨1%，其总收益增加还是减少？变化的幅度是多少？ 当 取多少时，总收益最大？,经济数学,3.4.3 导数在经济分析中的应用,4.需求弹性和供给弹性, 需求弹性函数：, 当p=4时的需求弹性,这说明，在p=4时，价格每上涨1%，则需求减少0.54%；而价格若下降1%,则需求增加0.54%。,经济数学,3.4.3 导数在经济分析中的应用,4.需求弹性和供给弹性,解：, 当p=4时的收益弹性：,所以，当P=4时，价格上涨1%，总收益增加0.46% 。, 要使总收益R（p）最大，应有需求弹性 ，即,得p=5，p=-5（舍去）