第六章薄壳.ppt

1、第六章，薄壳，是一个概述。在工程结构中，为了减轻重量、美观实用，经常使用一些壳体结构，如圆柱形和球形屋顶、各种压力容器、航空航天和飞机的薄壁结构等。机器本身有许多部件是外壳，如涡轮叶片、各种外壳等。壳体的几何形状和变形非常复杂。为了便于分析，对不同的壳体情况做了不同的假设，建立了不同的壳体理论和相应的有限元分析方法。厚度比其他尺寸如长度和曲率半径小得多的壳叫做薄壳。由壳体厚度中点形成的曲面称为中间曲面。当薄壳在载荷作用下发生轻微变形时，与薄板相似，沿壳厚方向的挤压变形和应力可以忽略不计，认为符合直法线假设，即薄壳中间面法线上的每一点在变形后都保持在中间面的法线上。壳体变形时，中间面不仅弯曲，而

2、且在平面内伸缩，这与薄板不同。当薄壳弯曲时，中间表面的曲率改变，导致横截面(通过法线的截面)上的法向应力和平行于中间表面的剪应力。这些应力在横截面上组合成弯矩和扭矩。这些弯曲内力可以统称为弯矩。薄壳变形时，中间面也发生面内膨胀变形，对应于中间面的法向应力和剪应力，统称为中间面力和薄膜力。薄壳的薄膜力和弯矩相互影响，共同承受壳体上的外载荷。由于壳体变形和承载力的复杂性及其自身几何形状的复杂性，壳体结构的分析已成为力学中的一个相当困难的问题。在一些不同的假设下，可以列出各种控制方程。然而，只有在特殊情况下才能得到位移和应力的解析解，而且解的形式一般都很复杂，不便于工程应用。采用有限元方法对壳体进行

3、分析，可以将整个结构分成多个单元。当单元很小时，每个单元可以近似为平板、折板或具有恒定曲率的壳块等。对于这种几何简单的单元，其变形和应力分析要方便得多。如果作为平板单元，平板的弯曲和平面内变形互不影响，这可视为平板弯曲和平面问题的叠加。如果取一个特殊的曲壳块单元，一方面，该单元的几何性质(如圆柱壳、二次曲面等。)被简化；另一方面，由于曲壳很小，靠近平板，因此可以用比一般壳理论更简化的平板壳理论进行单元计算。因此，对于单元分析，通常不涉及复杂壳理论。在薄壳法向为直线的假设下，位移法只能分析壳内曲面的位移。通常，正交曲线坐标(例如图6-1中的s1和s2)用于将中间表面上的点的空间位移分成沿着中间表

4、面的切线方向的两个位移u和v以及垂直于中间表面的法向位移w(图6-1)。当壳体变形时，这三个位移是相互关联的，必须同时进行分析。然而，这三个位移只是中间表面中两个坐标(通常沿两条主曲率线)的函数，这是一个二维解域问题。矩形板单元用于圆柱壳分析。圆柱壳结构具有平行的直母线，圆柱壳沿母线方向和垂直于母线方向可分为四边形壳块，如图6-2所示。当网格足够密集时，小的四边形圆柱壳块足够平坦，它们可以近似为由四个顶点组成的矩形板。由这些矩形平板单元组装而成的折板结构可以近似代替原来的平板结构当圆柱壳结构加载时，每个单元都变形。在每个单元的局部坐标系中，沿X、Y和Z轴的位移表示为U、V和W，其中U和V是板平

5、面内的位移，W是横向位移。在小变形条件下，水平位移w和平面内位移u和v互不相关和耦合，它们各自的单元刚度可以分别研究。以矩形板单元的四个顶点为节点，任意节点I有三个线性位移分量ui、vi和wi，以及点I法线的两个角位移分量xi和yi，每个点有五个自由度，而单元有四个节点，共20个自由度(图6-3)。平板元件的变形可以分为两个独立的部分：平面内变形和弯曲部分。面内变形，与面内变形相关的I节点位移包括ui和vi，每4个节点为一个单元，有8个面内节点位移和8个自由度。在局部坐标系中，面内变形部分与平面问题的四节点矩形单元相同，其单元刚度矩阵可由公式(2.22)给出。与弯曲变形相关的节点位移为wi、x

6、i、yi，单元中4个节点有12个节点位移和12个自由度。在局部坐标系中，它具有与四节点薄板单元相同的单元刚度矩阵。用于分析圆柱壳的四节点矩形平板单元的刚度矩阵是由这两个单元的刚度矩阵组合而成的。这个单元有20个自由度，它的刚性矩阵应该是20X20的正方形矩阵。然而，为了便于转换到整体坐标系，在单位局部坐标系中，每个节点补充有围绕Z轴旋转的角位移zi，并且每个节点被认为具有6个节点位移分量和6个自由度。这样，单位刚性阵列被扩展成24X24正方形阵列。如果刚性矩阵中对应于zi的行和列被赋予零元素，则扩展元素刚性矩阵在局部坐标系中具有四行和四列零元素。如果单元的四个节点的数目是K、L、M和N，并且任

7、何节点I的六个位移分量被排列为ui、vi、wi、xi、yi和zi，那么在局部坐标系中，单元的刚性矩阵由节点块表示，其中每个子矩阵是(r，s=k，L，M，N)的形式，其中平面变形，其余的空白部分都是零元素，这反映了平面变形和弯曲变形在局部坐标系中彼此独立。(6.1)，坐标变换和单元刚性矩阵的叠加，公式(6.1)是在单元的局部坐标系xyz中给出的矩阵，但显然组成圆柱壳的所有平板单元不会在同一平面上，所以每个单元的局部坐标一般是不一致的。这样，与同一节点相邻的单元可以具有不同的局部坐标。与第一章的刚架分析相似，这种不同坐标系给出的单元刚度矩阵不能直接叠加，必须转化为统一的坐标系。圆柱壳的母线相互平行

8、。如果一般坐标系xyz的Y轴与圆柱壳的母线方向相同，则平面中每个单元的局部坐标系的一个坐标轴也可以与Y轴一致。这里，Y轴与Y轴一致，Z轴和Z轴之间的角度设置为。参见图6-4。局部坐标系中的线性位移分量u，v，w和全局坐标系中的线性位移分量u，v，w之间的关系是，其中是局部坐标系xyz到全局坐标系xyz的方向余弦矩阵。类似地，当壳体的变形很小时，其法线的旋转角度很小，并且在不同坐标系的旋转角度分量之间存在转换关系，其中x、y和z是壳体法线围绕x、y和z轴的旋转角度。任意节点I的六个节点位移分量的变换关系为，其中(6.2)，任意单元e有四个节点，所有节点位移的变换为，变换矩阵为，其中e和e分别是单

9、元e在局部坐标和整体坐标中的节点位移数组，每个数组有46=24个分量。(6.3)、(6.4)，类似于坐标变换I然而，在根据公式(6.5)转换到一般标度系统之后，单元刚性矩阵不是这种形式，而是一般的全矩阵。在统一坐标系中，单元刚度矩阵可以叠加形成结构的总刚度矩阵。在荷载作用下，所有节点的位移都可以求解。当两个相邻元素不共面时，它们各自的Z轴不平行，并且一个元素的X旋转角度将导致围绕另一个元素的法线的Z旋转角度。当元素被堆叠时，最初为Z保留的零行和零列将被转换或与非零元素堆叠。这样，它可以在一般坐标系中求解。然而，当节点I周围的所有元素都平行于一个坐标平面(例如平行的X和Y平面，见图6-5)时，每

10、个元素刚性矩阵中对应于围绕法线的旋转角zi的元素都是零，并且它们在叠加后仍然都是零，即zi的位移与整个刚性矩阵k无关。 即使给整个结构施加了必要的位移约束(限制其刚体位移)，总的刚性矩阵仍然是奇异的，不能求解(zi可以是任何值)。 当I节点周围的元素共面但不平行于一个统一的坐标平面时，坐标变换后的曲面上没有零行和零列，但叠加后的总刚性矩阵仍然有线性相关的行和列，总刚性矩阵仍然是奇异的。为了解决这个问题，可以删除自由度zi，或者可以在I节点处添加围绕z轴的约束(例如，旋转角度可以被限制为零)。用矩形平面单元分析圆柱壳时，形状函数是在单元的局部坐标系中定义的。如果结构承受分布载荷，还应将其分配给局

11、部坐标系中的每个节点。由于平板的面内变形和弯曲变形是不耦合的，所以载荷分布可以单独计算，然后组合计算。如果该单元在板的平面内受到x和y方向上的单位面积力px和py，它将被分配到该单元的四个节点，并且在该单元的节点上将有面内载荷，其中Np是矩形单元的形状函数矩阵(2.20)，对于平面问题有四个节点。因此，单元e的任何节点I将被分配x和y方向上的节点载荷和Yi。如果单元沿法向z方向承受单位面积的横向力pz，则单元节点的弯曲载荷将分布到四个节点，其中Nb是四节点矩形平弯曲单元的形状函数矩阵(5.11)的公式。因此，单元e的任何节点I将在Z方向上分布有集中力Z i，并且集中力围绕x轴和y轴耦合M xi和M yi。在局部坐标系中，节点I的荷载数组为，其中零元为绕Z轴的力偶，这样经过坐标变换后，可以叠加到统一坐标系中结构的总荷载数组Q中。如果用Qe和Qe分别表示局部坐标系和统一坐标系下的单位荷载阵列，则类似于单位节点的位移，它们之间的转换关系为，t为转换矩阵(6.4)。因此，可以得到方向余弦矩阵是一个正交矩阵，如果有，就可以得到它。这样，分布荷载可以作为节点荷载分布在局部坐标系中，经过坐标变换后，可以叠加为统一坐标系中结构的总荷载数组。如果圆柱壳结构仍受集中力，也应加到q中。壳结构的应力计算和位移方程列在统一坐标系中，求解的位