高考数学专题复习练习第五章数列质量检测

1、第五章第五章 数列数列 (时间 120 分钟，满分 150 分) 一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的) 1已知实数列已知实数列1，x，y，z，2 成等比数列，则成等比数列，则 xyz 等于等于 () A4B4 C2 D222 解析：解析：xz(1)(2)2，y22，y(正不合题意)，xyz2.22 答案：答案：C 2等差数列等差数列an的通项公式是的通项公式是 an12n，其前，其前 n 项和为项和为 Sn，则数列，则数列的前的前

2、 11 项和为项和为 Sn n () A45 B50 C55 D66 解析：解析：Sn，n， a 1 an n 2 Sn n a1an 2 的前 11 项的和为66. Sn n 答案：答案：D 3记数列记数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，且，且 Sn2n(n1)，则该数列是，则该数列是 () A公比为公比为 2 的等比数列的等比数列 B公比为 的等比数列公比为 的等比数列 1 2 C公差为公差为 2 的等差数列的等差数列 D公差为公差为 4 的等差数列的等差数列 解析：解析：由条件可得 n2 时，anSnSn12n(n1)2(n1)(n2)4(n1)，当 n 1 时，a1S10，代入适

3、合，故 an4(n1)，故数列an表示公差为 4 的等差数 列 答案：答案：D 4在古希腊，毕达哥拉斯学派把在古希腊，毕达哥拉斯学派把 1,3,6,10,15,21,28，这些数叫做三角形数，这是因为，这些数叫做三角形数，这是因为 这些数目的点可以排成一个正三角形这些数目的点可以排成一个正三角形(如图如图) 试问三角形数的一般表达式为试问三角形数的一般表达式为 () An B. n(n1) 1 2 Cn21 D. n(n1) 1 2 解析：解析：由 123n n(n1)可得 1 2 答案：答案：B 5在数列在数列an中，中，a11，a22，an 2 an1(1)n，那么，那么 S100的值等于

4、的值等于 () A2500 B2600 C2700 D2800 解析：解析：据已知当 n 为奇数时， an2an0an1， 当 n 为偶数时，an2an2ann， 故 anError!， 故 S100 1 1 1 2 46100 50502600. 2 100 2 答案：答案：B 6在函数在函数 yf(x)的图象上有点列的图象上有点列xn，yn，若数列，若数列xn是等差数列，数列是等差数列，数列yn是等比数是等比数 列，则函数列，则函数 yf(x)的解析式可能为的解析式可能为 () Af(x)2x1 Bf(x)4x2 Cf(x)log3x Df(x)( )x 3 4 解析：解析：结合选项，对于

5、函数 f(x)( )x上的点列xn，yn，有 yn( )xn.由于xn是等差数 3 4 3 4 列，所以 xn1xnd，因此( )xn1xn( )d，这是一个与 n 无关的常 yn 1 yn 3 4 x n 1 3 4 x n 3 4 3 4 数，故yn是等比数列 答案：答案：D 7各项都是正数的等比数列各项都是正数的等比数列an中，中，a2， a3，a1成等差数列，则的值为成等差数列，则的值为 () 1 2 a4a5 a3a4 A. B. 51 2 51 2 C D.或或 1 5 2 51 2 51 2 解析：解析：设an的公比为 q(q0)，由 a3a2a1，得 q2q10， 解得 q.从

6、而q. 1 5 2 a4a5 a3a4 1 5 2 答案：答案：B 8已知等比数列已知等比数列an的各项均为不等于的各项均为不等于 1 的正数，数列的正数，数列bn满足满足 bnlgan，b318，b6 12，则数列，则数列bn前前 n 项和的最大值等于项和的最大值等于 () A126 B130 C132 D134 解析：解析：由题意可知，lga3b3，lga6b6. 又b318，b612，则 a1q21018，a1q51012， q3106. 即 q102，a11022. 又an为正项等比数列， bn为等差数列，且 d2，b122. 故 bn22(n1)(2)2n24. Sn22n(2) n

7、 n 1 2 n223n(n)2. 23 2 529 4 又nN*，故 n11 或 12 时， (Sn)max132. 答案：答案：C 二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 35 分请把正确答案填在题中横线上分请把正确答案填在题中横线上) 9设等比数列设等比数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，若，若 a11，S64S3，则，则 a4_. 解析：解析：设等比数列的公比为 q，则由 S64S3知 q1. S6.q33.a1q33. 1 q6 1 q 4 1 q3 1 q 答案：答案：3 10已知数列已知数列an满足满足(nN*)，且，且 a1

8、1，则，则 an_. an 1 an n 2 n 解析：解析：由已知得， an an 1 n 1 n 1 ， an 1 an 2 n n 2 ， a2 a1 3 1 a11， 左右两边分别相乘得 an1 3 1 4 2 5 3 6 4 n 1 n 3 n n 2 n 1 n 1 n n 1 2 答案：答案：n n 1 2 11 已知 已知an是等差数列，是等差数列， a415， S555， 则过点， 则过点 P(3， a3)， Q(4， a4)的直线斜率为的直线斜率为_ 解析：解析：an是等差数列， S55a355，a311. a4a315114， kPQ 4. a4a3 4 3 4 1 答案

9、：答案：4 12在等差数列在等差数列an中，若中，若 a2a4a6a8a1080，则，则 a7 a8的值为的值为_ 1 2 解析：解析：由已知得：(a2a10)(a4a8)a65a680a616，又分别设等差数列首项 为 a1，公差为 d，则 a7 a8a16d (a17d) (a15d) a68. 1 2 1 2 1 2 1 2 答案：答案：8 13数列数列an满足：满足：a11，且对任意的，且对任意的 m，nN*都有：都有：am n amanmn，则，则 1 a1 1 a2 _. 1 a3 1 a2008 解析：解析：因为 anmanammn，则可得 a11，a23，a36，a410，则可

10、猜 得数列的通项 an， n n 1 2 2( )， 1 an 2 n n 1 1 n 1 n 1 1 a1 1 a2 1 a3 1 a2008 2(1 )2(1) 1 2 1 2 1 3 1 2008 1 2009 1 2009 4016 2009 答案：答案：4016 2009 14“欢欢” 按如图所示的规则练习数数，记在数数过程中对应中“欢欢” 按如图所示的规则练习数数，记在数数过程中对应中 指的数依次排列所构成的数列为指的数依次排列所构成的数列为an，则数到，则数到 2 008 时对应的时对应的 指头是指头是_，数列，数列an的通项公式的通项公式 an_.(填出指填出指 头的名称，各指

11、头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名 指、 头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名 指、 小指小指) 解析：解析：注意到数 1,9,17,25，分别都对应着大拇指，且 18(2511)2 001， 因此数到 2 008 时对应的指头是食指对应中指的数依次是：3,7,11,15，因此 数列an的通项公式是 an3(n1)44n1. 答案：食指答案：食指4n1 15等差数列等差数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，且，且 a4a28，a3a526.记记 Tn，如果存在正整，如果存在正整 Sn n2 数数 M，使得对一切正整数，使得对一切正整数 n，TnM 都成立，则都成立，则

12、M 的最小值是的最小值是_ 解析：解析：an为等差数列，由 a4a28，a3a526， 可解得 Sn2n2n， Tn2 ，若 TnM 对一切正整数 n 恒成立，则只需 Tn的最大值M 即可 1 n 又 Tn2 2，只需 2M，故 M 的最小值是 2. 1 n 答案：答案：2 三、解答题三、解答题(本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 75 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤算步骤) 16(本小题满分本小题满分 12 分分)已知已知an是一个等差数列，且是一个等差数列，且 a21，a55. (1)求数列求数列an的通项的通项 an； (

13、2)求求an前前 n 项和项和 Sn的最大值的最大值 解：解：(1)设an的公差为 d， 由已知条件得，Error!解出 a13，d2， 所以 ana1(n1)d2n5. (2)Snna1dn24n4(n2)2. n n 1 2 所以 n2 时，Sn取到最大值 4. 17(本小题满分本小题满分 12 分分)已知数列已知数列an满足：满足：a1 ， ，a2 ， ，an 1 2anan 1(n 2， 1 4 3 4 nN*)， 数列数列bn满足满足 b10,3bnbn 1 n(n2，nN*)，数列，数列bn的前的前 n 项和为项和为 Sn. (1)求数列求数列an的通项的通项 an； (2)求证：

14、数列求证：数列bnan为等比数列为等比数列 解：解：(1)证明2anan1an1(n2，nN*)， an是等差数列 又a1 ，a2 ，an (n1) ， 1 4 3 4 1 4 1 2 2n 1 4 (2)证明：bn bn1 (n2，nN*)， 1 3 n 3 bn1an1 bn bn 1 3 n 1 3 2n 1 4 1 3 2n 1 12 (bn) (bnan) 1 3 2n 1 4 1 3 又b1a1b1 0， 1 4 bnan是以 b1 为首项，以 为公比的等比数列 1 4 1 3 18 (本小题满分本小题满分 12 分分)(2010衡阳联考)已知数列已知数列an是等差数列，是等差数列

15、， a23， a56， 数列， 数列bn 的前的前 n 项和是项和是 Tn，且，且 Tn bn1. 1 2 (1)求数列求数列an的通项公式与前的通项公式与前 n 项的和项的和 Mn； (2)求数列求数列bn的通项公式的通项公式 解：解：(1)设an的公差为 d，则：a2a1d，a5a14d. a23，a56，所以Error!， a12，d1 an2(n1)n1.Mnna1d. n n 1 2 n23n 2 (2)证明：当 n1 时，b1T1， 由 T1 b11，得 b1 . 1 2 2 3 当 n2 时，Tn1 bn，Tn11 bn1， 1 2 1 2 TnTn1 (bn1bn)， 1 2

16、即 bn (bn1bn) 1 2 bn bn1. 1 3 bn是以 为首项， 为公比的等比数列 2 3 1 3 bn ( )n1. 2 3 1 3 2 3n 19(本小题满分本小题满分 13 分分)用分期付款的方式购买一批总价为用分期付款的方式购买一批总价为 2300 万元的住房，购买当天 首付 万元的住房，购买当天 首付 300 万元，以后每月的这一天都交万元，以后每月的这一天都交 100 万元，并加付此前欠款的利息，设月利 率为 万元，并加付此前欠款的利息，设月利 率为 1%，若从首付，若从首付 300 万元之后的第一个月开始算分期付款的第万元之后的第一个月开始算分期付款的第 1 个月，问

17、分期 付款的第 个月，问分期 付款的第 10 个月应付多少万元？全部贷款付清后， 买这批住房实际支付多少万元？个月应付多少万元？全部贷款付清后， 买这批住房实际支付多少万元？ 解：解：购买时付款 300 万元，则欠款 2000 万元，依题意分 20 次付清， 则每次交付欠款的数额顺次构成数列an， 故 a110020000.01120(万元)， a2100(2000100)0.01 119(万元)， a3100(20001002)0.01 118(万元)， a4100(20001003)0.01 117(万元)， an1002000100(n1)0.01120(n1) 121n(万元)(1n2

18、0，nN*) 因此an是首项为 120，公差为1 的等差数列 故 a1012110111(万元)， a2012120101(万元)， 20 次分期付款的总和为 S202210(万元) a 1 a20 20 2 120 101 20 2 实际要付 30022102510(万元) 即分期付款第 10 个月应付 111 万元；全部贷款付清后，买这批住房实际支付 2510 万元 20 (本小题满分本小题满分 13 分分)已知数列已知数列an的每一项都是正数， 满足的每一项都是正数， 满足 a12 且且 aanan 1 2a 2n1 2 n 0；等差数列；等差数列bn的前的前 n 项和为项和为 Tn，b

19、23，T525. (1)求数列求数列an、bn的通项公式；的通项公式； (2)比较与比较与 2 的大小；的大小； 1 T1 1 T2 1 Tn (3)理理若若c 恒成立，求整数恒成立，求整数 c 的最小值的最小值 b1 a1 b2 a2 bn an 解：解：(1)由 aanan12a 0， 2n12 n 得(an12an)(an1an)0， 由于数列an的每一项都是正数，an12an，an2n. 设 bnb1(n1)d，由已知有 b1d3,5b1d25， 5 4 2 解得 b11，d2，bn2n1. (2)由(1)得 Tnn2， 1 Tn 1 n2 当 n1 时，12. 1 T1 当 n2 时， . 1 n2 1 n 1 n 1 n 1 1 n 1 2 2. 1 T1 1 T2 1 Tn 1 1 1