高三数学总复习学案61

1、学案学案 61古典概型古典概型 导学目标导学目标： 1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所含的基本事件 数及事件发生的概率 自主梳理 1基本事件有如下特点： (1)任何两个基本事件是_的 (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成_ 2一般地，一次试验有下面两个特征 (1)有限性试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； (2)等可能性每个基本事件出现的可能性相同，称这样的概率模型为古典概型 判断一个试验是否是古典概型，在于该试验是否具有古典概型的两个特征 ： 有限性和等 可能性 3如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么 每一个基本事件的

2、概率都是_；如果某个事件 A 包括的结果有 m 个，那么事件 A 的 概率 P(A)_. 自我检测 1(2011滨州模拟)若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的横、纵坐标， 则点 P 在直线 xy5 下方的概率为() A. B. C. D. 1 6 1 4 1 12 1 9 2(2011临沂高新区期末)一块各面均涂有油漆的正方体被锯成 1 000 个大小相同的小 正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个，其两面涂有油漆的概率是 () A. B. C. D. 1 12 1 10 3 25 12 125 3(2010辽宁)三张卡片上分别写上字母 E，E，B，将三张

3、卡片随机地排成一行，恰好 排成英文单词 BEE 的概率为_ 4有 100 张卡片(编号从 1 号到 100 号)，从中任取 1 张，取到卡号是 7 的倍数的概率 为_ 5(2011大理模拟)在平面直角坐标系中，从五个点：A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,2)， E(2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是_(用分数表示). 探究点一基本事件的概率 例 1 投掷六个面分别记有 1,2,2,3,3,3 的两颗骰子 (1)求所出现的点数均为 2 的概率； (2)求所出现的点数之和为 4 的概率 变式迁移 1一只口袋内装有大小相同的 5 只球，其中 3 只白球，2 只黑球，从中一

4、次 摸出两只球问： (1)共有多少个基本事件？ (2)摸出的两只球都是白球的概率是多少？ 探究点二古典概型的概率计算 例 2 班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定 3 个男生和 2 个女生来参与，把 5 个人分别编号为 1,2,3,4,5，其中 1,2,3 号是男生，4,5 号是女 生，将每个人的号分别写在 5 张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机 地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目 (1)为了选出 2 人来表演双人舞，连续抽取 2 张卡片，求取出的 2 人不全是男生的概率； (2)为了选出 2 人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡

5、片后，又放回箱子中，充 分混合后再从中抽取第二张卡片，求独唱和朗诵由同一个人表演的概率 变式迁移 2同时抛掷两枚骰子，求至少有一个 5 点或 6 点的概率 探究点三古典概型的综合问题 例 3 (2009山东)汽车厂生产 A，B，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种 型号，某月的产量如下表(单位：辆)： 轿车 A轿车 B轿车 C 舒适型100150z 标准型300450600 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆，其中有 A 类轿车 10 辆 (1)求 z 的值； (2)用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本 将该样本看成一个总体， 从中任取 2 辆

6、，求至少有 1 辆舒适型轿车的概率； (3)用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆，经检测它们的得分如下： 9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0，8.2.把这 8 辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数 与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率 变式迁移 3为了了解中华人民共和国道路交通安全法在学生中的普及情况，调查 部门对某校 6 名学生进行问卷调查，6 人得分情况如下：5,6,7,8,9,10.把这 6 名学生的得分看 成一个总体 (1)求该总体的平均数； (2)用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽取 2 名，他们的得分组成一个样本求该样 本

7、平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率 分类讨论思想的应用 例 (12 分)甲、乙二人用 4 张扑克牌(分别是红桃 2、红桃 3、红桃 4、方片 4)玩游戏， 他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一 张 (1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的牌面数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况 ； (2)若甲抽到红桃 3，则乙抽到的牌面数字比 3 大的概率是多少？ (3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜你认为此 游戏是否公平，说明你的理由 多角度审题 本题属于求较复杂事件的概率，关键是理解题目的实际含义，把实际问 题

8、转化为概率模型，联想掷骰子试验，把红桃 2、红桃 3、红桃 4 和方片 4 分别用数字 2,3,4,4表示，抽象出基本事件，把复杂事件用基本事件表示，找出总体 I 包含的基本事件 总数 n 及事件 A 包含的基本事件个数 m，用公式 P(A) 求解 m n 【答题模板】 解(1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片 4 用 4表示，其他用相应的数字表示)为 (2,3)，(2,4)，(2,4)，(3,2)，(3,4)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4，2)，(4，3)， (4，4)，共 12 种不同情况6 分 (2)甲抽到红桃 3，乙抽到的牌的牌面数字只能是 2,4,4，因此乙

9、抽到的牌的牌面数字 比 3 大的概率为 .9 分 2 3 (3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4，2)，(4，3)，共 5 种，故甲胜的概率 P1，同理乙胜的概率 P2.因为 P1P2，所以此游戏公平12 分 5 12 5 12 【突破思维障碍】 (1)对一些较为简单、基本事件个数不是太大的概率问题，计数时只需要用枚举法即可 计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率， 但应特别注意 ： 计算时要严防遗漏， 绝不重复 (2)取球模型是古典概型计算中的一个典型问题，好多实际问题都可以归结到取球模型 上去，特别是产品的抽样检验，解题时要分清“有放回”

10、 与“无放回” ，“有序” 与“无序” 等条件的影响 【易错点剖析】 1题目中“红桃 4”与“方片 4”属两个不同的基本事件，应用不同的数字或字母标 注 2注意“抽出的牌不放回”对基本事件数目的影响 1基本事件的特点主要有两条：任何两个基本事件都是互斥的；任何事件都可以 表示成基本事件的和 2古典概型的基本特征是：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基 本事件出现的可能性相等 3计算古典概型的基本步骤有：判断试验结果是否为等可能事件；求出试验包括 的基本事件的个数 n， 以及所求事件 A 包含的基本事件的个数 m； 代入公式 P(A) ， m n 求概率值 (满分：75 分) 一、选择

11、题(每小题 5 分，共 25 分) 1(2011浙江宁波十校联考)将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为 b，c，则 方程 x2bxc0 有实根的概率为() A. B. C. D. 19 36 1 2 5 9 17 36 2 (2009福建)已知某运动员每次投篮命中的概率低于 40%.现采用随机模拟的方法估计 该运动员三次投篮恰有两次命中的概率 ： 先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数，指 定 1,2,3,4 表示命中，5,6,7,8,9,0 表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结 果经随机模拟产生了如下 20 组随机数： 90796619192527193281

12、2458 569683431257393027556488 730113537989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为() A0.35 B0.25 C0.20 D0.15 3(2011西南名校联考)连掷两次骰子分别得到点数 m、n，则向量(m，n)与向量(1,1) 的夹角 90的概率是() A. B. C. D. 5 12 7 12 1 3 1 2 4设集合 A1,2，B1,2,3，分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b，确定平 面上的一个点 P(a，b)，记“点 P(a，b)落在直线 xyn 上”为事件 Cn(2n5，nN)， 若事件 Cn的概率最大，则 n 的所有

13、可能值为() A3 B4 C2,5 D3,4 5在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球，这些小球除标注的数字外完 全相同现从中随机取出 2 个小球，则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是() A. B. C. D. 1 12 1 10 1 5 3 10 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 6在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多 12 人，从这些教师中随机挑选一人 表演节目若选到男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有_人 9 20 7(2011上海十四校联考)在集合x|x，n1,2,3，10中任取一个元素，所取元 n 6 素恰好满足方程 cos x

14、 的概率是_ 1 2 8(2009江苏)现有 5 根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为 2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中 一次随机抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3 m 的概率为_ 三、解答题(共 38 分) 9(12 分)(2011北京朝阳区模拟)袋子中装有编号为 a，b 的 2 个黑球和编号为 c，d，e 的 3 个红球，从中任意摸出 2 个球 (1)写出所有不同的结果； (2)求恰好摸出 1 个黑球和 1 个红球的概率； (3)求至少摸出 1 个黑球的概率 10(12 分)(2010天津滨海新区五校联考)某商场举行抽奖活动，从装有编号 0,1,2,3 四 个小球

15、的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于 5 中 一等奖，等于 4 中二等奖，等于 3 中三等奖 (1)求中三等奖的概率； (2)求中奖的概率 11(14 分)(2011广州模拟)已知实数 a，b2，1,1,2 (1)求直线 yaxb 不经过第四象限的概率； (2)求直线 yaxb 与圆 x2y21 有公共点的概率 学案学案 61古典概型古典概型 自主梳理 1(1)互斥(2)基本事件的和3. 1 n m n 自我检测 1A2.D3. 4.0.145. 1 3 4 5 课堂活动区 例 1 解题导引确定古典概型的基本事件有两条：一、每个事件发生的可能性相等； 二、事件

16、空间 中的任一个事件都可以表示为这些基本事件的和，基本事件的确定有一定 的相对性，并非一成不变的 解因为掷骰子出现 1,2,3 的概率不一样，所以，记 6 个面为 1，a，b，x，y，z，其中 a，b 都表示 2，x，y，z 都表示 3，则投掷两颗骰子，基本事件为(1,1)，(1，a)，(1，b)，(1， x)，(1，y)，(1，z)，(a,1)，(a，a)，(a，b)，(a，x)，(a，y)，(a，z)，(z,1)，(z，a)，(z， b)，(z，x)，(z，y)，(z，z)共 36 种结果 (1)掷两颗骰子出现点数均为 2 的基本事件有(a，a)，(a，b)，(b，a)，(b，b)共 4

17、种， 概率为 P1 . 4 36 1 9 (2)出现点数之和为 4，说明有两种情况，即 13 或 22，基本事件有(1，x)，(1，y)， (1，z)，(x,1)，(y,1)，(z,1)，(a，a)，(a，b)，(b，a)，(b，b)共 10 种， 概率为 P2. 10 36 5 18 变式迁移 1解(1)分别记白球为 1,2,3 号，黑球为 A，B 号，从中摸出 2 只球，有如 下基本事件： (1,2)，(1,3)，(1，A)，(1，B)，(2,3)，(2，A)，(2，B)，(3，A)，(3，B)，(A，B)，因此， 共有 10 个基本事件 (2)上述 10 个基本事件发生的可能性相同， 且

18、只有 3 个基本事件是摸到两只白球(记为事 件 A)，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故 P(A). 3 10 例 2 解题导引古典概型的概率计算公式是 P(A) .由此可知，利用列举法算出所 m n 有基本事件的个数 n 以及事件 A 包含的基本事件数 m 是解题关键必要时可以采用画树状 图或列表法辅助列举基本事件 解(1)利用树形图我们可以列出连续抽取 2 张卡片的所有可能结果(如下图所示) 由上图可以看出，试验的所有可能结果数为 20，因为每次都随机抽取，因此这 20 种结 果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型 用 A1表示事件“连续抽取 2 人一男一女” ，A2表示事件“连续

19、抽取 2 人都是女生” ，则 A1与 A2互斥，并且 A1A2 表示事件“连续抽取 2 张卡片，取出的 2 人不全是男生” ，由列 出的所有可能结果可以看出，A1的结果有 12 种，A2的结果有 2 种，由互斥事件的概率加法 公式，可得 P(A1A2)P(A1)P(A2) 0.7， 12 20 2 20 7 10 即连续抽取 2 张卡片，取出的 2 人不全是男生的概率为 0.7. (2)有放回地连续抽取 2 张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可 能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出 2 号，第 二次取出 4 号”就用(2,4)来表示，所有的

20、可能结果可以用下表列出. 第二次抽取 第一次抽取 12345 1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5) 2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5) 3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5) 4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5) 5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5) 试验的所有可能结果数为 25，并且这 25 种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典 概型 用 A 表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演” ，由上表可以看出，A 的结果共有 5 种， 因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率 P(A)0.2. 5 25 变式迁移 2解方法一同

21、时抛掷两枚骰子，所有基本事件如下表： 123456 1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6) 2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6) 3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6) 4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6) 5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6) 6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6) 共有 36 个不同的结果，其中“至少有一个 5 点或 6 点”的基本事件数为 20，所以至少 有一个 5 点或 6 点的概率为 P . 20 36 5 9 方法二利

22、用对立事件求概率“至少有一个 5 点或 6 点” 的对立事件是“没有 5 点或 6 点” ，如上表，“没有 5 点或 6 点”包含 16 个基本事件，没有 5 点或 6 点的概率为 P16 36 .至少有一个 5 点或 6 点的概率为 1 . 4 9 4 9 5 9 例 3 解题导引本题主要考查抽样的方法及古典概型概率的求法，考查用概率知识 解决实际问题的能力 解(1)设该厂这个月共生产轿车 n 辆， 由题意得，所以 n2 000. 50 n 10 100300 则 z2 000(100300)(150450)600400. (2)设所抽样本中有 a 辆舒适型轿车， 由题意得 ，即 a2. 4

23、00 1 000 a 5 因此抽取的容量为 5 的样本中，有 2 辆舒适型轿车，3 辆标准型轿车 用 A1， A2表示 2 辆舒适型轿车， 用 B1， B2， B3表示 3 辆标准型轿车 用 E 表示事件 “在 该样本中任取 2 辆，其中至少有 1 辆舒适型轿车” ， 则基本事件空间包含的基本事件有： (A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)， (B1，B3)，(B2，B3)共 10 个事件 E 包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)， (A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)

24、，(A2，B3)共 7 个 故 P(E)，即所求概率为. 7 10 7 10 (3)样本平均数 (9.48.69.29.68.79.39.08.2)9.x 1 8 设 D 表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5” ，则 基本事件空间中有 8 个基本事件，事件 D 包括的基本事件有：9.4,8.6,9.2,8.7,9.3，9.0，共 6 个，所以 P(D) ，即所求概率为 . 6 8 3 4 3 4 变式迁移 3解(1)总体平均数为 (5678910)7.5. 1 6 (2)设 A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5” 从总体中抽取 2 个

25、个体全部可能的基本结果有：(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)， (6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)，共 15 个基本结 果 事件 A 包括的基本结果有：(5,9)，(5,10)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，共有 7 个 基本结果 所以所求的概率为 P(A). 7 15 课后练习区 1A 2B由题意知在 20 组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、 812、393，共 5 组随机数，故所求概率为 0.25. 5 20 1

26、 4 3A由题意知，(m，n)(1,1)mnn. 基本事件总共有 6636(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)， (5,1)，(5,4)，(6,1)，(6,5)，共 1234515(个) P. 15 36 5 12 4D落在直线 xy2 上的概率 P(C2) ，落在直线 xy3 上的概率 P(C3) ； 1 6 2 6 落在直线 xy4 上的概率 P(C4) ；落在直线 xy5 上的概率 P(C5) ，故当 n 为 3 2 6 1 6 和 4 时，事件 Cn的概率最大 5D由袋中随机取出 2 个小球的基本事件总数为 10，取出小球标注数字和

27、为 3 的事 件为 1,2.取出小球标注数字和为 6 的事件为 1,5 或 2,4. 取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率为 P. 12 10 3 10 6120 解析设男教师有 n 人，则女教师有(n12)人 由已知从这些教师中选一人，选到男教师的概率 P，得 n54， n 2n12 9 20 故参加联欢会的教师共有 120 人 7.1 5 解析cos cos ，共 2 个 3 5 3 1 2 x 总体共有 10 个，所以概率为 . 2 10 1 5 80.2 解析从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根竹竿共有 10(种)抽取方法，而抽取的两根竹竿 长度恰好相差 0.3 m的情况是

28、2.5 和 2.8,2.6 和 2.9 两种， 概率 P0.2. 2 10 9解(1)ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.共 10 种不同结果(2 分) (2)记“恰好摸出 1 个黑球和 1 个红球” 为事件 A，则事件 A 包含的基本事件为 ac，ad， ae，bc，bd，be，共 6 个基本事件所以 P(A)0.6. 6 10 所以恰好摸出 1 个黑球和 1 个红球的概率为 0.6.(7 分) (3)记“至少摸出 1 个黑球”为事件 B，则事件 B 包含的基本事件为 ab，ac，ad，ae， bc，bd，be，共 7 个基本事件， 所以 P(B)0.7. 7 10 所以至少摸出 1 个黑球的概率为 0.7.(12 分) 10解设“中三等奖”的事件为 A，“中奖”的事件为 B，从四个小球中有放回的取 两个共