高三数学（理数）总复习练习专题七 三角恒等变换与解三角形

1、(2015课标，2，易)sin 20cos 10cos 160sin 10() A B. C D. 3 2 3 2 1 2 1 2 【答案】D原式sin 20 cos 10cos 20 sin 10sin 30 . 1 2 1(2013重庆，9，易)4cos 50tan 40() A. B. C. D212 2 3 2 32 【答案】C4cos 50tan 404sin 40sin 40 cos 40 4cos 40sin 40sin 40 cos 40 2sin 80sin 40 cos 40 2sin（12040）sin 40 cos 40 3cos 40sin 40sin 40 cos

2、40 ，故选 C. 3cos 40 cos 40 3 2(2012重庆，5，易)设 tan ，tan 是方程 x23x20 的两根，则 tan()的值为() A3 B1 C1 D3 【答案】A由根与系数关系知tan tan 3， tan tan 2，) 而 tan()3，故选 A. tan tan 1tan tan 3 12 3(2012四川，4，易)如图，正方形 ABCD 的边长为 1，延长 BA 至 E，使 AE1，连接 EC，ED， 则 sinCED() A. B. 3 10 10 10 10 C. D. 5 10 5 15 【答案】B方法一：由题意可得 sinAEDcosAED， 2

3、2 sinAEC， 1 1222 5 5 cosAEC， 2 1222 2 5 5 sinCEDsin(AEDAEC) . 2 2 2 5 5 2 2 5 5 10 10 方法二 ： 在 RtEAD 和 RtEBC 中， 易知 ED， EC， 在DEC 中， 由余弦定理得 cosCED25 .sinCED，故选 B. ED2EC2CD2 2EDEC 251 2 2 5 3 10 10 10 10 4(2013四川，13，易)设 sin 2sin ，则 tan 2的值是_ ( 2 ，) 【解析】方法一：sin 2sin 2sin cos sin ， ， ( 2，) sin 0，cos ，则 si

4、n ， 1 2 3 2 tan ，而 tan 2. 3 2tan 1tan2 2 3 13 3 方法二：同方法一，得 cos ， 1 2 又 ，则 . ( 2，) 2 3 tan 2tan. 4 3 3 【答案】 3 5(2013课标，15，中)设当 x 时，函数 f(x)sin x2cos x 取得最大值，则 cos _ 【解析】由辅助角公式得 f(x) 5( 5 5 sin x 2 5 5 cos x) sin(x)， 5 其中 sin ，cos ， 2 5 5 5 5 由 x 时，f(x)取得最大值得 sin()1， 2k ，kZ， 2 即 2k， 2 cos cossin . ( 2)

5、 2 5 5 【答案】2 5 5 6(2013课标，15，中)设 为第二象限角，若 tan ，则 sin cos _ ( 4) 1 2 【解析】tan tan ， ( 4) 4 1 2 1 11 2 1 3 sin cos ，将其代入 sin2cos21 得cos21， 1 3 10 9 cos2，易知 cos 0， 9 10 cos ，sin ， 3 10 10 10 10 故 sin cos . 10 5 【答案】 10 5 7(2014江西，16，12 分，易)已知函数 f(x)sin(x)acos(x2)，其中 aR， . ( 2 ， 2) (1)若 a，时，求 f(x)在区间0，上的

6、最大值与最小值；2 4 (2)若 f0，f()1，求 a，的值 ( 2) 解：(1)f(x)sincos (x 4) 2 (x 2) (sin xcos x)sin x 2 2 2 cos xsin x 2 2 2 2 sin， ( 4 x) 因为 x0， 所以 x. 4 3 4 ， 4 故 f(x)在0，上的最大值为，最小值为1. 2 2 (2)由f( 2 )0， f（）1 ) 得cos （12asin ）0， 2asin2sin a1， ) 由 知 cos 0， ( 2， 2) 解得 a1， 6. ) 考向三角函数式的化简与求值 1两角和与差的三角函数公式 sin()sin cos cos

7、 sin ；(S) sin()sin cos cos sin .(S) cos()cos cos sin sin ；(C) cos()cos cos sin sin .(C) tan()；(T) tan tan 1tan tan tan().(T) tan tan 1tan tan 2二倍角公式 sin 22sin cos ；(S2) cos 2cos2sin22cos2112sin2；(C2) tan 2.(T2) 2tan 1tan2 3公式的变形与应用 (1)两角和与差的正切公式的变形 tan tan tan()(1tan tan )； tan tan tan()(1tan tan )

8、(2)升幂公式 1cos 2cos2；1cos 2sin2. 2 2 (3)降幂公式 sin2；cos2. 1cos 2 2 1cos 2 2 (4)其他常用变形 sin 2； 2sin cos sin2cos2 2tan 1tan2 cos 2； cos2sin2 cos2sin2 1tan2 1tan2 1sin ； (sin 2 cos 2) 2 tan. 2 sin 1cos 1cos sin 4辅助角公式 asin bcos sin()，a2b2 其中 cos ，sin . a a2b2 b a2b2 5角的拆分与组合 (1)已知角表示未知角 例如，2()()，2()()， ()()

9、， . ( 4 ) 4( 3) 3 (2)互余与互补关系 例如， ( 4 ) (3 4 ) . ( 3 ) ( 6 ) 2 (3)非特殊角转化为特殊角 例如，154530，754530. (1)(2013浙江，6)已知 R，sin 2cos ，则 tan 2() 10 2 A. B. C D 4 3 3 4 3 4 4 3 (2)(2014课标，8)设 ，且 tan ，则() (0， 2)(0， 2) 1sin cos A3 B3 2 2 C2 D2 2 2 (3)(2014广东，16，12 分)已知函数 f(x)Asin，xR，且 f . (x 4)( 5 12) 3 2 求 A 的值； 若

10、 f()f() ，求 f. 3 2(0， 2)( 3 4 ) 【解析】(1)(sin 2cos )2 ，展开得 3cos24sin cos ，再由二倍角公式得 5 2 3 2 cos 22sin 20， 3 2 故 tan 2 ，故选 C. sin 2 cos 2 3 2 2 3 4 (2)由 tan 得， 1sin cos sin cos 1sin cos 即 sin cos cos cos sin ， sin()cos sin. ( 2 ) ， (0， 2) (0， 2) ， ， ( 2， 2) 2 (0， 2) 由 sin()sin，得 ， ( 2 ) 2 2 ，故选 C. 2 (3)f

11、Asin ( 5 12 )( 5 12 4) AsinA ， 2 3 3 2 3 2 A. 3 f()f() sinsin 3 ( 4) 3 ( 4) 3(sin cos 4 cos sin 4) 3sin（）cos 4 cos（）sin 4 2cos sin 3 4 cos . 6 3 2 cos ，又 ，sin . 6 4 (0， 2) 10 4 fsin()sin . ( 3 4 ) 33 30 4 【点拨】解题(1)的关键是准确利用平方关系及诱导公式进行转化；解题(2)的关键是利用诱导公式 进行转化或利用“切化弦” ；解题(3)的思路是由 f的值直接求出 A 的值；化简 f()f()

12、( 5 12 ) 3 2 可得 cos 的值，由同角三角函数的基本关系及角的范围可求得 sin ，再化简 f可得答案 ( 3 4 ) 1.三角函数式的化简遵循的三个原则 (1)一看“角” ，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确 使用公式 (2)二看“函数名称” ，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦” (3)三看“结构特征” ，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分” 等 2三角函数求值的类型及方法 (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定 关系解题时，要利用

13、观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数 (2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角” ， 使其角相同或具有某种关系 (3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值” ，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示， 由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围 在求值的题目中，一定要注意角的范围，要做到“先看角的范围，再求值” (2014江苏，15，14 分)已知 ，sin . ( 2 ，) 5 5 (1)求 sin的值； ( 4 ) (2)求 cos的值 ( 5 6 2) 解：(1)因为 ，sin ， ( 2，)

14、5 5 所以 cos . 1sin2 2 5 5 故 sinsin cos cos sin ( 4 ) 4 4 . 2 2 ( 2 5 5) 2 2 5 5 10 10 (2)由(1)知 sin 22sin cos 2 ， 5 5 ( 2 5 5) 4 5 cos 212sin212 ， ( 5 5 ) 2 3 5 所以 cos(5 6 2) coscos 2sinsin 2 5 6 5 6 ( 3 2) 3 5 1 2 ( 4 5) . 43 3 10 1(2015河南许昌一模，5)已知 sin 2 ，则 cos2等于() 1 3( 4) A. B C. D 1 3 1 3 2 3 2 3

15、【答案】Ccos2 . ( 4) 1cos(2 2) 2 1sin 2 2 2 3 2(2015安徽阜阳期末，7)化简() cos 40 cos 25 1sin 40 A1 B. C. D232 【答案】C原式 cos220sin220 cos 25 sin2202sin 20cos 20cos220 cos220sin220 cos 25（cos 20sin 20） . 2sin 65 cos 25 2cos 25 cos 25 2 3(2014江西新余三模，6)若 ，且 3cos 24sin，则 sin 2的值为() ( 4 ，) ( 4 ) A. B 7 9 1 9 C D. 7 9 1

16、 9 【答案】B由已知得 3(cos2sin2)2(cos sin )，2 ，cossin 0， ( 4 ，) 3(cos sin )2，2 cos sin ，1sin 2 ， 2 2 3 8 9 sin 2 . 1 9 4(2015河北邯郸一模，9)已知 为第二象限角，sin()，则 cos的值为() 24 25 2 A. B. 3 5 4 5 C D 3 5 4 5 【答案】C 为第二象限角， 2k2k，kZ， 2 即 kk，kZ， 4 2 2 又 sin()， 24 25 sin ，cos ， 24 25 7 25 cos .故选 C. 2 1cos 2 3 5 5(2015山西运城质检

17、，7)已知向量 a，b(4，4cos )，若 ab，则 sin (sin( 6)，1) 3 () ( 4 3) A B 3 4 1 4 C. D. 3 4 1 4 【答案】Bab， ab4sin4cos ( 6) 3 2sin 6cos 33 4sin0，3 ( 3) 3 sin . ( 3) 1 4 sinsin . ( 4 3)( 3) 1 4 6(2014湖北鄂州期末，12)_. 3tan 123 （4cos2122）sin 12 【解析】原式 3 sin 12 cos 12 3 2（2cos2121）sin 12 2 3(1 2sin 12 3 2 cos 12) cos 12 2co

18、s 24sin 12 2 3sin（48） 2cos 24sin 12cos 12 4. 2 3sin 48 sin 24cos 24 2 3sin 48 1 2sin 48 3 【答案】4 3 7(2015河南商丘一模，14)已知 ，且 2sin2sin cos 3cos20，则 (0， 2) _ sin( 4) sin 2cos 21 【解析】 ，且 2sin2sin cos 3cos20，则(2sin 3cos )(sin cos (0， 2) )0，2sin 3cos ， 又 sin2cos21， cos ，sin ， 2 13 3 13 sin( 4) sin 2cos 21 2 2

19、 （sin cos ） （sin cos ）2（cos2sin2） . 26 8 【答案】 26 8 8(2015山东东营二模，16，12 分)已知向量 a(sin ，2)与 b(1，cos )互相垂直，其中 . (0， 2) (1)求 sin 和 cos 的值； (2)若 5cos()3cos ，0，求 cos 的值5 2 解：(1)ab，absin 2cos 0， 即 sin 2cos . 又sin2cos21， 4cos2cos21， 即 cos2 ，sin2 . 1 5 4 5 又， (0， 2) sin ，cos . 2 5 5 5 5 (2)5cos() 5(cos cos sin

20、 sin ) cos 2sin 3cos ， 555 cos sin ， cos2sin21cos2，即 cos2 . 1 2 又00， (2A 2) 2 所以 A. (0， 4) 于是 sin Asin Csin Asin( 2 2A) sin Acos 2A2sin2Asin A1 2 . (sin A 1 4) 2 9 8 因为 0A ，所以 0sin A，因此 4 2 2 2 . 2 2 (sin A 1 4) 2 9 8 9 8 由此可知 sin Asin C 的取值范围是. ( 2 2 ，9 8 1(2014江西，4，易)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.

21、若 c2(ab)26，C ，则ABC 的面积是() 3 A3 B. 9 3 2 C. D3 3 3 2 3 【答案】Cc2(ab)26， 即 c2a2b22ab6. C，由余弦定理得 c2a2b2ab， 3 由和得 ab6，SABC absin C 6，故选 C. 1 2 1 2 3 2 3 3 2 2(2014课标，4，易)钝角三角形 ABC 的面积是 ，AB1，BC，则 AC() 1 2 2 A5 B. C2 D15 【答案】B由三角形面积公式可知，S ABBCsin B . 1 2 1 2 又AB1， BC， sin B， B或 B.由余弦定理可知， AC2AB2BC22ABBCcos

22、2 2 2 4 3 4 B当 B时，得 AC1，这时不符合钝角三角形的要求，故舍去 ； 当 B时，得到 AC，故选 4 3 4 5 B. 3(2014广东，12，易)在ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c.已知 bcos Cccos B 2b，则 _ a b 【解析】由余弦定理可得 bcos Cccos Bbca，所以 a2b， a2b2c2 2ab a2c2b2 2ac 2a2 2a 所以 2. a b 【答案】2 4(2013福建，13，易)如图，在ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，ADAC，sinBAC，AB 2 2 3 3，AD3，则 BD 的长为_2 【解析

23、】cosBADcossinBAC.故在ABD 中，由余弦定理知 BD2AB2 (BAC 2) 2 2 3 AD22ABADcosBAD3，故 BD. 3 【答案】 3 5(2014天津，12，易)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知 bc a，2sin B 1 4 3sin C，则 cos A 的值为_ 【解析】由 2sin B3sin C 得 2b3c，即 b c，代入 bc a，整理得 a2c，故 cos A 3 2 1 4 . b2c2a2 2bc 9 4c 2c24c2 2 3 2cc 1 4 【答案】1 4 6(2014课标，16，中)已知 a，b，c 分

24、别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC 面积的最大值为_ 【解析】a2，(2b)(sin Asin B)(cb)sin C， (ab)(sin Asin B)(cb)sin C. 由正弦定理得(ab)(ab)(cb)c，a2b2c2bc. 由余弦定理得 cos A ， b2c2a2 2bc 1 2 A60且 b2c24bc， b2c24bc2bc4， 当且仅当 bc 时等号成立, bc4， SABC bcsin A， 1 2 3 ABC 面积的最大值为. 3 【答案】 3 7(2014陕西，16，12 分，中)ABC 的内

25、角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c. (1)若 a，b，c 成等差数列，证明：sin Asin C2sin(AC)； (2)若 a，b，c 成等比数列，求 cos B 的最小值 解：(1)证明：a，b，c 成等差数列， ac2b. 由正弦定理得 sin Asin C2sin B. sin Bsin(AC)sin(AC)， sin Asin C2sin(AC) (2)a，b，c 成等比数列，b2ac. 由余弦定理得 cos B ， a2c2b2 2ac a2c2ac 2ac 2acac 2ac 1 2 当且仅当 ac 时等号成立 cos B 的最小值为 . 1 2 8(2014安徽，16

26、，12 分，中)设ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别是 a，b，c，且 b3，c 1，A2B. (1)求 a 的值； (2)求 sin的值 (A 4) 解：(1)因为 A2B， 所以 sin Asin 2B2sin Bcos B. 由正、余弦定理得 a2b. a2c2b2 2ac 因为 b3，c1，所以 a212， 所以 a2. 3 (2)由余弦定理得 cos A . b2c2a2 2bc 9112 6 1 3 由于 0A，所以 sin A. 1cos2A1 1 9 2 2 3 故 sinsin Acos cos Asin . (A 4) 4 4 2 2 3 2 2 ( 1 3) 2

27、2 4 2 6 考向 1利用正、余弦定理解三角形 1正、余弦定理 定理正弦定理余弦定理 内容 2R a sin A b sin B c sin C (其中 R 是ABC 外接圆的半径) a2b2c22bccos A； b2a2c22accos B； c2a2b22abcos C 变形 形式 a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C； sin A，sin B，sin C； a 2R b 2R c 2R abcsin Asin Bsin C； asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A； 2R abc sin Asin Bsin C cos A； b2

28、c2a2 2bc cos B； a2c2b2 2ac cos Ca 2b2c2 2ab 2利用正、余弦定理解三角形 (1)已知两角一边，用正弦定理，只有一解 (2)已知两边及一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为几种情况 在ABC 中，已知 a，b 和角 A 时，解的情况如下： A 为锐角A 为钝角或直角 图形 关系式absin Absin Aab 解的个数一解两解一解一解 上表中 A 为锐角时，absin A，无解 A 为钝角或直角时，ab，a0，sin A1，即 A ，故选 B. 2 (2)由已知，根据正弦定理得 2a2(2bc)b(2cb)c，即 a2b2c2bc， 由余弦定理得 a2

29、b2c22bccos A， 故 cos A ， 1 2 又 0A，所以 A . 2 3 由得 sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C. 又 sin Bsin C1，得 sin Bsin C . 1 2 因为 0B ，0C ，故 BC ， 2 2 6 所以ABC 是等腰的钝角三角形 【点拨】解题(1)的关键是利用正弦定理进行边角互化，将已知式子转化为角的关系；解题(2)的 思路是利用正弦定理将关系式转化为关于边的关系，再用余弦定理求角；解题时注意应用的结论作 为条件并结合正弦定理，求出角的正弦值，进而求角判断三角形形状 利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路 (1)“角化边”：利用

30、正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出 边的相应关系，从而判断三角形的形状 (2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函 数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 ABC这个结论 在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解 (2012上海，16)在ABC 中，若 sin2Asin2Bsin2C，则ABC 的形状是() A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定 【答案】Csin2Asin2Bsin2C，由正弦定理可得 a2b2c2， cos C0，得

31、C 为钝角，故选 C. 考向 3利用正、余弦定理求有关三角形的面积 三角形的面积公式 设ABC 的三边为 a，b，c，对应的三个角分别为 A，B，C，其面积为 S. (1)S ah(h 为 BC 边上的高)； 1 2 (2)S absin C bcsin A acsin B； 1 2 1 2 1 2 (3)S2R2sin Asin Bsin C(R 为ABC 外接圆半径)； (4)S； abc 4R (5)S；p（pa）（pb）（pc）(p1 2（abc）) (6)Spr(p 同(5)，r 为ABC 内切圆的半径) (2014浙江，18，14 分)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为

32、 a，b，c.已知 ab，c，cos2Acos2Bsin Acos Asin Bcos B.333 (1)求角 C 的大小； (2)若 sin A ，求ABC 的面积 4 5 【思路导引】(1)应用降幂公式化为二倍角，再进行三角恒等变换，得到角 A，B 的关系式，从而 求角 C；(2)应用正弦定理求出 a 的值，再用三角函数的两角和的公式求得 sin B，最后求出面积 【解析】(1)由题意得 1cos 2A 2 1cos 2B 2 sin 2Asin 2B， 3 2 3 2 即sin 2A cos 2Asin 2B cos 2B， 3 2 1 2 3 2 1 2 sinsin. (2A 6)

33、(2B 6) 由 ab，得 AB，又 AB(0，)， 得 2A 2B ， 6 6 即 AB，所以 C . 2 3 3 (2)由 c，sin A ，得 a . 3 4 5 a sin A c sin C 8 5 由 ac，得 AC，从而 cos A ， 3 5 故 sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C ， 43 3 10 所以ABC 的面积为 S acsin B. 1 2 8 318 25 【点拨】解题(1)时注意对角的范围的判断；解题(2)时注意对角大小的比较以便得到 cos A 的符号 为正 与三角形面积有关问题的常见类型及解题策略 (1)求三角形的面积 对于面积

34、公式 S absin C acsin B bcsin A， 一般是已知哪一个角就使用含 1 2 1 2 1 2 哪个角的公式 (2)已知三角形的面积解三角形与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的 互化 (2013湖北，17，12 分)在ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别是 a，b，c.已知 cos 2A 3cos(BC)1. (1)求角 A 的大小； (2)若ABC 的面积 S5，b5，求 sin Bsin C 的值3 解：(1)由 cos 2A3cos(BC)1， 得 2cos2A3cos A20， 即(2cos A1)(cos A2)0， 解得 cos A 或 c

35、os A2(舍去) 1 2 因为 0A，所以 A . 3 (2)由 S bcsin A bcbc5，得 bc20. 1 2 1 2 3 2 3 4 3 又 b5，所以 c4. 由余弦定理得 a2b2c22bccos A25162021， 故 a. 21 又由正弦定理得 sin Bsin C sin A sin Asin2A . b a c a bc a2 20 21 3 4 5 7 考向 4解三角形在实际问题中的应用 1常见的几种题型 测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等 2实际应用中的常用术语 术语名 称 术语意义图形表示 仰角与 俯角 在目标视线与水

36、平视线所成的角中， 目标视线在水平视线上方的叫作仰 角，目标视线在水平视线下方的叫 作俯角 方位角 从某点的正北方向线起按顺时针方 向到目标方向线之间的水平夹角叫 作方位角，方位角的范围是(0， 360) 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所 成的锐角，通常表达为北(南)偏东 (西)度 北偏东m南偏西n 坡角坡面与水平面的夹角 坡度 坡面的垂直高度 h 和水平宽度 l 的 比 设坡角为 ，坡度为 i，则 i tan h l (2013江苏，18，16 分)如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径一 种是从 A 沿直线步行到 C，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从

37、 B 沿直线步行到 C. 现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处停留 1 min 后，再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运行的速度为 130 m/min， 山路 AC 长为 1 260 m，经测量，cos A，cos C . 12 13 3 5 (1)求索道 AB 的长； (2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 【思路导引】(1)利用正弦定理来解；(2)利用余弦定理构造函数，然

38、后再求最值；(3)根据速度、路 程、时间三者之间的关系求范围 【解析】(1)在ABC 中，因为 cos A， 12 13 cos C ，所以 sin A，sin C . 3 5 5 13 4 5 从而 sin Bsin(AC)sin(AC) sin Acos Ccos Asin C . 5 13 3 5 12 13 4 5 63 65 由，得 AB sin C AC sin B ABsin C 1 040(m) AC sin B 1 260 63 65 4 5 所以索道 AB 的长为 1 040 m. (2)设乙出发 t 分钟后，甲、乙两游客距离为 d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离

39、 A 处 130t m， 所以由余弦定理得 d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50) 12 13 因为 0t，即 0t8， 1 040 130 故当 t(min)时，甲、乙两游客距离最短 35 37 (3)由， BC sin A AC sin B 得 BCsin A500(m) AC sin B 1 260 63 65 5 13 乙从 B 出发时，甲已走了 50(281)550(m)，还需走 710 m 才能到达 C. 设乙步行的速度为 v m/min， 由题意得33，解得v， 500 v 710 50 1 250 43 625 14 所以为使

40、两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在(单 1 250 43 ，625 14 位：m/min)范围内 1.解三角形应用题的常见情况及方法 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求 解 (2)实际问题经抽象概括后， 已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形， 这时需作出这些三角形， 先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)， 解方程(组)得出所要求的解 2解三角形应用题的一般步骤 (2014浙江，17)如图，某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击

41、训练 已知点 A 到墙面的距离为 AB，某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动，此人为了准确瞄准目标点 P， 需计算由点 A 观察点 P 的仰角 的大小若 AB15 m，AC25 m，BCM30，则 tan 的最大值 是_(仰角 为直线 AP 与平面 ABC 所成角) 【解析】如图，过点 P 作 PDBC，垂足为 D. 平面 MCB平面 ABC，且平面 MCB平面 ABCBC， PD平面 ABC. 连接 AD，PAD 为由点 A 观察点 P 的仰角 .设 CDx，BCM30， PDx. 3 3 在 RtABC 中，AB15，AC25， sinACB ， 15 25 3 5 cosACB .由

42、余弦定理得 4 5 AD x22522x25cosACB . x240 x625 tan 3 3 x x240 x625 3 3 1 40 x 625 x2 ， 3 3 ( 25 x 4 5) 2 9 25 当 0，即 x时， 25 x 4 5 125 4 tan 最大，最大值为. 5 3 9 【答案】 5 3 9 1 (2015山西朔州一模， 6)若ABC 的三个内角满足 sin Asin Bsin C51113， 则ABC() A一定是锐角三角形 B一定是直角三角形 C一定是钝角三角形 D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【答案】C由于 sin Asin Bsin C51113，结合正

43、弦定理可知，abc51113， 不妨令 a5，b11，c13，由于 cos C0，m. 3 3 【答案】 3 3 9(2015河北秦皇岛一模，17，12 分)在ABC 中，角 A，B，C 对边分别是 a，b，c，满足 2AB AC a2(bc)2. (1)求角 A 的大小； (2)求 2cos2sin的最大值，并求取得最大值时角 B，C 的大小3 C 2( 4 3 B) 解：(1)由已知得 2bccos Aa2(bc)2， 由余弦定理得 a2b2c22bccos A，得 4bccos A2bc， cos A ， 1 2 0A，A. 2 3 (2)A，B C，0C . 2 3 3 3 2cos2

44、sin 3 C 2 ( 4 3 B) 2sin 3 1cos C 2 ( 3 B) 2sin， 3 (C 3) 0C ， C ， 3 3 3 2 3 当 C 时， 3 2 2cos2sin取最大值2， 3 C 2 ( 4 3 B) 3 此时 BC . 6 10(2015福建三明模拟，17，13 分)已知函数 f(x)cos2x2sin xcos xsin2x.3 (1)求 f(x)的最小正周期和值域； (2)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 f2 且 a2bc，试判断ABC 的 ( A 2 ) 形状 解：(1)f(x)cos2x2sin xcos xsin2x 3

45、sin 2xcos 2x2sin， 3 (2x 6) 所以 T，f(x)2，2 (2)因为 f2sin2， ( A 2 )(A 6) 所以 sin1. (A 6) 因为 0A，所以 A ， 6 2 所以 A . 3 由 a2b2c22bccos A 及 a2bc，得 (bc)20，所以 bc，所以 BC . 3 所以ABC 为等边三角形 11(2015安徽八校联考，18，12 分)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，向量 q (2a，1)，p(2bc，cos C)，且 pq. (1)求 sin A 的值； (2)求三角函数式1 的取值范围 2cos 2C 1tan C 解

46、：(1)pq，2acos C2bc， 根据正弦定理，得 2sin Acos C2sin Bsin C. 又ABC， sin Bsin(AC) sin Acos Ccos Asin C， sin Ccos Asin C. 1 2 0C，sin C0，cos A . 1 2 又0A，A ，sin A. 3 3 2 (2)11 2cos 2C 1tan C 2（cos2Csin2C） 1sin C cos C 12cos2C2sin Ccos C sin 2Ccos 2Csin， 2 (2C 4) 0C， 2C ， 2 3 4 4 13 12 sin1， 2 2 (2C 4) 1b，则B() 1 2

47、 A. B. C. D. 6 3 2 3 5 6 【答案】A由正弦定理得 sin B(sin Acos Csin Ccos A) sin B，即 sin Bsin(AC) sin B，因 1 2 1 2 为 sin B0，sin(AC)sin B，所以 sin B ，所以 B或，又因为 ab，所以B，故选 A. 1 2 6 5 6 6 7(2015湖南益阳质检，7)已知 cos ，cos()，且 0，则 等于() 1 7 13 14 2 A. B. 4 6 C. D. 3 5 12 【答案】C0，0， 2 2 0， 2 sin ，sin(). 4 3 7 3 3 14 cos cos() co

48、s cos()sin sin() ， 1 7 13 14 4 3 7 3 3 14 1 2 . 3 8(2013天津，6)在ABC 中，ABC，AB，BC3，则 sinBAC() 4 2 A. B. C. D. 10 10 10 5 3 10 10 5 5 【答案】C在ABC 中，由余弦定理得 AC2AB2BC22ABBCcosABC()232222 35，解得 AC.再由正弦定理得 sin BAC，故选 C. 2 2 5 BCsin ABC AC 3 2 2 5 3 10 10 9(2015福建泉州一模，6)若 sin ，则 cos() ( 3 ) 1 4( 3 2) A B 7 8 1 4

49、 C. D. 1 4 7 8 【答案】Acos 2 ( 3 ) sin ， ( 3 ) 1 4 即 cos ， ( 6 ) 1 4 cos2cos2121 ，故选 A. ( 3 2) ( 6 ) 1 16 7 8 10(2011天津，6)如图，在ABC 中，D 是边 AC 上的点，且 ABAD，2ABBD，BC2BD，3 则 sin C 的值为() A. B. C. D. 3 3 3 6 6 3 6 6 【答案】D设 BD1， 则 ABAD， BC2.在ABD 中， 由余弦定理得 cos A ， 所以 sin 3 2 1 3 A，在ABC 中，由正弦定理，得 sin C，故选 D. 2 2 3

50、 AB sin C BC sin A 6 6 11(2014四川成都五校联考，5)已知锐角满足 cos 2cos，则 sin 2等于() ( 4 ) A. B C. D 1 2 1 2 2 2 2 2 【答案】A， (0， 2) 2(0，)，. 4( 4 ， 4) 又 cos 2cos， ( 4 ) 2或 20， 4 4 或(舍)， 12 4 sin 2sin ，故选 A. 6 1 2 12(2014江西南昌三模，8)设，则的最小值为() (0， 2) sin3 cos cos3 sin A. B. C. D1 27 64 3 2 5 5 3 6 【答案】D sin3 cos cos3 sin

51、 sin4cos4 sin cos （sin 2cos2）22sin2cos2 sin cos 2sin cos . 1 sin cos 令 sin cos t，则 t sin 2. 1 2 ，t. (0， 2)(0， 1 2 令 g(t) 2t，g(t)在上是减函数， 1 t(0， 1 2 当 t 时，g(t)min211，故选 D. 1 2 二、填空题(共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分) 13(2012北京，11)在ABC 中，若 a2，bc7，cos B ，则 b_ 1 4 【解析】由余弦定理 b2a2c22accos B 得 b222(7b)222(7b)，整理得 ( 1 4

52、) 15b60，即 b4. 【答案】4 14(2014福建，12)在ABC 中，A60，AC4，BC2，则ABC 的面积等于_3 【解析】由，得 sin Bsin A1， BC sin A AC sin B AC BC 4 2 3 3 2 B90，故 C30， SABC ACBCsin C 42 2. 1 2 1 2 3 1 2 3 【答案】2 3 15(2011上海，6)在相距 2 千米的 A，B 两点处测量目标 C，若CAB75，CBA60，则 A，C 两点之间的距离是_千米 【解析】如图，C180607545. 由正弦定理 AC sin B AB sin C 得 ACAB2 sin B

53、sin C 3 2 2 2 (千米). 6 【答案】 6 16(2012江苏，11)设 为锐角，若 cos ，则 sin的值为_ ( 6) 4 5 (2 12) 【解析】0 ， 2 . 6 6 2 3 又 cos ， ( 6) 4 5 sin ， ( 6) 1cos2( 6) 3 5 sin2( 6) 2sincos ( 6) ( 6) 2 ， 3 5 4 5 24 25 cos2cos21 2( 6) ( 6) 21， ( 4 5 ) 2 7 25 sinsin (2 12) 2( 6) 4 sincos 2( 6) 4 cossin 2( 6) 4 24 25 2 2 7 25 2 2 .

54、 17 2 50 【答案】17 2 50 三、解答题(共 6 小题，共 74 分) 17(12 分)(2014四川，16)已知函数 f(x)sin. (3x 4) (1)求 f(x)的单调递增区间； (2)若 是第二象限角，f coscos 2， ( 3) 4 5( 4) 求 cos sin 的值 解：(1)因为函数 ysin x 的单调递增区间为，kZ. 2 2k， 2 2k 由 2k3x 2k，kZ，得 x，kZ. 2 4 2 4 2k 3 12 2k 3 所以，函数 f(x)的单调递增区间为，kZ. 4 2k 3 ， 12 2k 3 (2)由已知，有 sin( 4) cos(cos2sin2)， 4 5 ( 4) 所以 sin cos cos sin 4 4 (cos2sin2) 4 5(cos cos 4 sin sin 4) 即 sin cos (cos sin )2(sin cos ) 4 5 当 sin cos 0 时，由 是第二象限角，知 2k，kZ. 3 4 此时，cos sin .