高三数学（文数）总复习练习专题二十 坐标系与参数方程

1、1(2015湖南，12，易)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系，若曲线 C 的极坐标方程为 2sin ，则曲线 C 的直角坐标方程为_ 【解析】因为 2sin ，所以 22sin ，所以 x2y22y，即 x2y22y0. 【答案】x2y22y0 2(2015课标，23，10 分，中)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x2，圆 C2：(x1)2(y2)2 1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求 C1，C2的极坐标方程； (2)若直线 C3的极坐标方程为 (R)，设 C2与 C3的交点为 M，N，求C2MN 的面积 4 解

2、：(1)因为 xcos ，ysin ，所以 C1的极坐标方程为 cos 2， C2的极坐标方程为 22cos 4sin 40. (2)将 代入 22cos 4sin 40，得 2340，解得 12，2.故 12 4 222 ，即|MN|. 22 由于 C2的半径为 1，所以C2MN 的面积为 . 1 2 1(2014陕西，15C，易)在极坐标系中，点到直线sin1 的距离是_ (2， 6)( 6) 【解析】将极坐标转化为直角坐标为(，1) (2， 6) 3 极坐标方程 sin1 转化为直角坐标方程为 xy20， 则点(， 1)到直线 xy20 ( 6) 333 的距离 d 1. | 3 3 1

3、2| 1（ 3）2 2 2 【答案】1 2(2012陕西，15C，易)直线 2cos 1 与圆 2cos 相交的弦长为_ 【解析】由 2cos 1，得 x ；由 2cos ，得 22cos ，即 x2y22x，即(x1)2y2 1 2 1，该圆的圆心为(1，0)，半径为 1，圆心到直线的距离为 ，利用直线与圆的位置关系可得所求的弦 1 2 长为 2. 12( 1 2 ) 2 3 【答案】 3 3(2011湖南，9，易)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为( 为参数)在 x2cos ， y 3sin ) 极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x

4、轴正半轴为极轴)中，曲线 C2 的方程为 (cos sin )10，则 C1与 C2的交点个数为_ 【解析】由题意得， 曲线 C1的普通方程为1， 曲线 C2在直角坐标系下的方程为 xy1 x2 4 y2 3 0，直线 xy10 经过椭圆1 内的点(0，1)，故两者的交点个数为 2. x2 4 y2 3 【答案】2 4(2014辽宁，23，10 分，中)将圆 x2y21 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍， 得曲线 C. (1)写出 C 的参数方程； (2)设直线 l： 2xy20 与 C 的交点为 P1，P2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系，求过线段 P1

5、P2的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程 解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，经变换为 C 上点(x，y)，依题意，得xx 1， y2y1，) 由 x y 1 得 x21.2 12 1 ( y 2 ) 2 即曲线 C 的方程为 x21. y2 4 故 C 的参数方程为(t 为参数) x cos t， y2sin t ) (2)由解得或 x2 y2 4 1， 2xy20) x 1， y0 ) x 0， y2. ) 不妨设 P1(1，0)，P2(0，2)，则线段 P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为 k ，于是所求直 ( 1 2，1) 1 2 线方程为 y1.化为极坐标方程，并整理得 1 2(

6、 x1 2) 2cos 4sin 3， 即 . 3 4sin 2cos 考向 1极坐标与直角坐标的互化 极坐标和直角坐标的互化公式 如图所示，设 M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)(0)，于是极 坐标与直角坐标的互化公式如下表： 点 M直角坐标(x，y)极坐标(，) 互化公式 xcos ， ysin ) 2x2y2， tan y x（x 0）) (1)(2014广东， 14)在极坐标系中， 曲线 C1与 C2的方程分别为 2cos2sin 与 cos 1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线 C1与 C2交 点的直角坐

7、标为_ (2)(2015吉林长春二模，23，10 分)在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐 标系，曲线 C 的极坐标方程为 cos1，M，N 分别为曲线 C 与 x 轴，y 轴的交点 ( 3) 写出曲线 C 的直角坐标方程，并求 M，N 的极坐标； 设 M，N 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程 【解析】(1)将 2cos2sin 两边同乘以 ，得 2(cos )2sin ，化为直角坐标方程为 2x2 y， C2：cos 1 化为直角坐标方程为 x1， 联立可解得x1， y2，) 所以曲线 C1与 C2交点的直角坐标为(1，2) (2)cos1， ( 3)

8、 cos cos sin sin 1. 3 3 又 xy1， xcos ， ysin ，) 1 2 3 2 即曲线 C 的直角坐标方程为 xy20. 3 令 y0，则 x2；令 x0，则 y. 2 3 3 M(2，0)，N. (0， 2 3 3 ) M 的极坐标为(2，0)，N 的极坐标为. ( 2 3 3 ， 2) M，N 连线的中点 P 的直角坐标为， (1， 3 3 ) P 的极角为 . 6 直线 OP 的极坐标方程为 (R) 6 注：极坐标下点的坐标表示不唯一 【点拨】解答题(1)的关键是掌握直角坐标化为极坐标的方法；题(2)先转化为直角坐标问题求解， 再转化为极坐标 极坐标与直角坐标

9、互化的常见方法 (1)将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(，)时，运用公式 ，tan (x0)即可在0，x2y2 y x 2)范围内，由 tan (x0)求 时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限如果允许 y x R，再根据终边相同的角的意义，表示为 2k(kZ)即可 (2)极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法等，还经常会用到同乘(同除以) 等技 巧 (2012湖南，10)在极坐标系中，曲线 C1： (cos sin )1 与曲线 C2：a(a0)的一个交点在极轴上，则 a_.2 【解析】曲线 C1的直角坐标方程为xy1，曲线 C2的直角坐标方程为 x2y2a2. 2 由题

10、意可知曲线 C1与曲线 C2在 x 轴上的交点为(a，0)(a0)， a01，解得 a. 2 2 2 【答案】 2 2 考向 2极坐标方程的综合应用 1直线的极坐标方程 (1)过极点倾斜角为 的直线：(R)； (2)过 A(a，0)(a0)且垂直于极轴的直线：cos a； (3)过 A(a0)且平行于极轴的直线：sin a. (a， 2) 2圆的极坐标方程 (1)圆心在极点，半径为 R 的圆的极坐标方程为 R； (2)圆心在极轴上的点(a，0)处，且过极点 O 的圆的极坐标方程为 2acos ； (3)圆心在点处且过极点的圆的极坐标方程为 2asin ，0. (a， 2) (2013课标，23

11、，10 分)已知曲线 C1的参数方程为(t 为参数)，以坐 x45cos t， y55sin t) 标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2sin . (1)把 C1的参数方程化为极坐标方程； (2)求 C1与 C2交点的极坐标(0，02) 【解析】(1)将消去参数 t，化为普通方程为(x4)2(y5)225， x 45cos t， y55sin t ) 即 C1：x2y28x10y160. 将代入 x2y28x10y160，得 x cos ， ysin ) 28cos 10sin 160. 所以 C1的极坐标方程为 28cos 10sin 160. (2)

12、C2的普通方程为 x2y22y0. 联立 C1，C2的方程x 2y28x10y160， x2y22y0， ) 解得或 x 1， y1 ) x 0， y2. ) 所以 C1与 C2交点的极坐标分别为，. ( 2， 4) (2， 2) 【点拨】本题主要考查圆的参数方程、极坐标方程和标准方程以及圆与圆的位置关系，解题的关 键是将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程求解 求解与极坐标有关的问题的主要方法 (1)直接利用极坐标系求解，求解时可与数形结合思想结合使用； (2)转化为直角坐标系后，用直角坐标求解 使用后一种时应注意，若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标 (2012辽宁，23，10

13、分)在直角坐标系 xOy 中，圆 C1：x2y24，圆 C2：(x2)2y24. (1)在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 C1，C2的极坐标方程，并求出圆 C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)； (2)求圆 C1与 C2的公共弦的参数方程 解：(1)由知圆 C1的极坐标方程为 2，圆 C2的极坐标方程为 4cos . xcos ， ysin ， x2y22 ) 解得 2， ， 2， 4cos ) 3 故圆 C1与圆 C2的交点坐标为，. (2， 3) (2， 3) 注：极坐标系下点的表示不唯一 (2)方法一：由得圆 C1与 C2交点的直角坐标分别为(1，)，(1，)

14、 x cos ， ysin ) 33 故圆 C1与 C2的公共弦的参数方程为(t) x 1， yt ) 3 3 (或参数方程写成 x1， yy，) 3 y 3) 方法二：将 x1 代入xcos ， ysin ，) 得 cos 1，从而 . 1 cos 于是圆 C1与 C2的公共弦的参数方程为 . x 1， ytan )( 3 3) 1(2014陕西宝鸡一模，15C)在极坐标系中，过圆 6cos 的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐 标方程为_ 【解析】把 6cos 两边同乘 ， 得 26cos ， 所以圆的普通方程为 x2y26x0， 即(x3)2 y29，圆心为(3，0)，故所求直线的极坐标方程

15、为 cos 3. 【答案】cos 3 2 (2014陕西师大附中调研， 15C)在已知极坐标系中， 已知圆 2cos 与直线 3cos 4sin a0 相切，则实数 a_. 【解析】把圆 2cos 化为普通方程得 x2y22x，即(x1)2y21，圆心(1，0)，半径为 1， 直线 3cos 4sin a0 化为普通方程得 3x4ya0.直线与圆相切，dr1， |3a| 5 a2 或8. 【答案】2 或8 3(2015湖南长沙一模，12)在极坐标系中，已知两圆 C1：2cos 和 C2：2sin ，则过两圆 圆心的直线的极坐标方程是_ 【解析】由极坐标系与直角坐标系的互化关系知： 圆 C1的直

16、角坐标方程为 x2y22x0，即(x1)2y21，圆心 C1(1，0)， 圆 C2的直角坐标方程为 x2y22y0，即 x2(y1)21，圆心 C2(0，1) 过两圆圆心的直线方程为 xy10， 对应的极坐标方程为 (cos sin )1. 【答案】(cos sin )1 4(2015广东广州二模，14)在极坐标系中，曲线 4cos()与直线 sin()1 的两个交点 3 6 之间的距离为_ 【解析】由极坐标系与直角坐标系的互化关系，可知曲线 4cos对应的直角坐标方程为 ( 3) x2y22x2y0， 即(x1)2(y)24， 直线 sin1 对应的直角坐标方程为 xy2 33 ( 6) 3

17、 0，所以两交点间的距离即为直线被圆截得的弦长的大小，圆心坐标为(1，)，圆心到直线 xy2 33 0 的距离为1，所以直线被截得的弦长为 22，即两交点之间的距离为 2. |132| 2 413 3 【答案】2 3 5(2015河北邯郸二模，23，10 分)已知圆 C 的极坐标方程为 2cos ，直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，点 A 的极坐标为，设直线 l 与圆 C 交于点 P，Q. x1 2 3 2 t， y1 2 1 2t ) ( 2 2 ， 4) (1)写出圆 C 的直角坐标方程； (2)求|AP|AQ|的值 解：(1)因为圆 C 的极坐标方程为 2cos ， 所以 22co

18、s ， 将其转化成直角坐标方程为 x2y22x， 即(x1)2y21. (2)由点 A 的极坐标得直角坐标为 A. ( 2 2 ， 4) ( 1 2， 1 2) 将直线 l 的参数方程(t 为参数)代入圆 C 的直角坐标方程(x1)2y21，得 t2t x 1 2 3 2 t， y 1 2 1 2t ) 31 2 0. 1 2 设 t1，t2为方程 t2t 0 的两个根，则 t1t2 ， 31 2 1 2 1 2 所以|AP|AQ|t1t2| . 1 2 1(2015 广东，14，中)在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极 坐标系曲线 C1的极坐标方程为

19、(cos sin )2，曲线 C2的参数方程为(t 为参数)， xt2， y2 2t) 则 C1与 C2交点的直角坐标为_ 【解析】将 C1的极坐标方程化为直角坐标方程，即 (cos sin )2 转化为 xy2. 将 C2的参数方程(t 为参数)， x t2， y2 2t，) 转化为 y28x. 联立解得 x y2， y28x， )x 2， y4.) 【答案】(2，4) 2(2015课标，23，10 分，中)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：(t 为参数，t0)， xtcos ， ytsin ，) 其中 0.在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：2sin ，C3：

20、2cos 3 . (1)求 C2与 C3交点的直角坐标； (2)若 C1与 C2相交于点 A，C1与 C3相交于点 B，求|AB|的最大值 解：(1)曲线 C2的直角坐标方程为 x2y22y0， 曲线 C3的直角坐标方程为 x2y22x0. 3 联立x 2y22y0， x2y22 3x0，) 解得或 x 0， y0 ) x 3 2 ， y 3 2. ) 所以 C2与 C3交点的直角坐标为(0，0)和. ( 3 2 ，3 2) (2)曲线 C1的极坐标方程为 (R，0)，其中 00)有一个公共点在 x 轴上，则 a_. xasin ， y3cos ) 【解析】把曲线 C1的参数方程化为普通方程为

21、 y2x3，曲线 C2的普通方程为1，直 x2 a2 y2 9 线 y2x3 与 x 轴的交点为，即 a . ( 3 2，0) 3 2 【答案】3 2 5(2014课标，23，10 分，中)在直线坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建 立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为 2cos ，. 0， 2 (1)求 C 的参数方程； (2)设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 l：yx2 垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定3 D 的坐标 解：(1)C 的普通方程为(x1)2y21(0y1) 可得 C 的参数方程为(t 为参数，0t) x 1cos t， ysin

22、t ) (2)设 D(1cos t，sin t)由(1)知 C 是以 G(1，0)为圆心，1 为半径的上半圆因为 C 在点 D 处的切 线与 l 垂直，所以直线 GD 与 l 的斜率相同，tan t，t . 3 3 故 D 的直角坐标为，即. (1cos 3，sin 3) ( 3 2， 3 2 ) 6(2014江苏，21C，10 分，中)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 x1 2 2 t， y2 2 2 t) (t 为参数)，直线 l 与抛物线 y24x 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长 解：将直线 l 的参数方程代入抛物线方程 y24x，得4. x1 2 2

23、t， y2 2 2 t) (2 2 2 t)2 (1 2 2 t) 解得 t10，t28. 2 所以 AB|t1t2|8. 2 7(2013课标，23，10 分，中)已知动点 P，Q 都在曲线 C：(t 为参数)上，对应参 x2cos t， y2sin t) 数分别为 t 与 t2(02)，M 为 PQ 的中点 (1)求 M 的轨迹的参数方程； (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点 解：(1)依题意有 P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2)， 因此 M(cos cos 2，sin sin 2) M 的轨迹的参数方程为 (

24、为参数，02) xcos cos 2， ysin sin 2 ) (2)M 点到坐标原点的距离 d(00； 若动点 P 在定点 P0的下方，则 tb0)的参数方程为 x2 a2 y2 b2 ( 为参数) xacos ， ybsin ) (4)双曲线1(a0，b0)的参数方程为 x2 a2 y2 b2 ( 为参数) x a cos ， ybtan ) (5)抛物线 y22px(p0)的参数方程为 (t 为参数) x2pt2， y2pt) (2014课标，23，10 分)已知曲线 C：1.直线 l：(t 为参数) x2 4 y2 9 x2t， y22t) (1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l

25、的普通方程； (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小值 【思路导引】(1)由基本关系式可消参求出普通方程；(2)把|PA|用参数 来表示，从而求其最值 【解析】(1)曲线 C 的参数方程为( 为参数) x2cos ， y3sin ) 直线 l 的普通方程为 2xy60. (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos ，3sin )到 l 的距离为 d|4cos 3sin 6|. 5 5 则|PA|5sin()6|，其中 为锐角，且 tan . d sin 30 2 5 5 4 3 当 sin()1 时，|PA|取得最大值，最大值为

26、. 22 5 5 当 sin()1 时，|PA|取得最小值，最小值为. 2 5 5 1.将参数方程化为普通方程的方法 (1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方 法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关 系式消参，如 sin2cos21. (2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解 2将普通方程化为参数方程的方法 只要适当选取参数 t， 确定 x(t)， 再代入普通方程， 求得 y(t)， 即可化为参数方程x（t）， y（t）.) 选取参数的原则是：曲线上任意一点的坐标与参数的

27、关系比较明显且关系相对简单；当参数取 某一值时，可以唯一确定 x，y 的值一般地，与时间有关的问题，常取时间作参数 ； 与旋转有关的问题， 常取旋转角作参数此外也常常用线段的长度，直线的倾斜角、斜率、截距等作参数 确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围必要时通过限制参数的 范围去掉多余的解 (1)(2013湖南，11)在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l1：(s 为参数)和直线 x2s1， ys) l2：(t 为参数)平行，则常数 a 的值为_ xat， y2t1) (2)(2013广东，14)已知曲线 C 的极坐标方程为 2cos .以极点为原点，极轴为 x 轴

28、的正半轴建 立直角坐标系，则曲线 C 的参数方程为_ (1)【解析】将直线方程化为平面直角坐标方程，得 l1的方程是 x2y10，l2的方程是 x y a 2 0.因为两直线平行，所以 2，且 1，所以 a4. a 2 a 2 a 2 【答案】4 (2)【解析】先将极坐标方程化为直角坐标方程为(x1)2y21， 再令则有( 为参数) cos x1， sin y， )x cos 1， ysin ) 【答案】( 为参数) x cos 1， ysin ) 考向 2参数方程与极坐标方程的综合应用 (2013辽宁，23，10 分)在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐 标系

29、圆 C1，直线 C2的极坐标方程分别为 4sin ，cos2. ( 4) 2 (1)求 C1与 C2交点的极坐标； (2)设 P 为 C1的圆心，Q 为 C1与 C2交点连线的中点，已知直线 PQ 的参数方程为(tR xt3a， yb 2t 31 ) 为参数)，求 a，b 的值 【解析】(1)圆 C1的直角坐标方程为 x2(y2)24， 直线 C2的直角坐标方程为 xy40. 解得 x 2（y2）24， xy40 ) x 10， y14，) x22， y22. ) 所以 C1与 C2交点的极坐标为，. (4， 2) (2 2， 4) 注：极坐标系下点的表示不唯一 (2)由(1)可得，P 点与

30、Q 点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)故直线 PQ 的直角坐标方程为 xy2 0. 由参数方程可得 y (xa)1 x1， b 2 b 2 ab 2 所以 b 2 1， ab 2 12，) 解得 a1，b2. 【点拨】解答本题的关键是明确转化思想的运用，即把极坐标化为直角坐标，把参数方程化为普 通方程求解问题 转化与化归思想在参数方程、极坐标问题中的运用 在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以使问题得到 简捷的解答例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角 坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题

31、求解的“化生为熟”原则，充分体现 了转化与化归的数学思想 (2011课标全国， 23， 10 分)在直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程为x2cos ， y22sin ) ( 为参数)，M 是 C1上的动点，P 点满足2，P 点的轨迹为曲线 C2.OP OM (1)求 C2的方程； (2)在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与 C1的异于极点的交点为 A，与 3 C2的异于极点的交点为 B，求|AB|. 解：(1)设 P(x，y)， 则由条件知 M. ( x 2， y 2) 由于 M 点在 C1上，所以 x 2 2cos ， y 2 22sin ，) 即x4co

32、s ， y44sin .) 从而 C2的参数方程为( 为参数) x 4cos ， y44sin ) (2)C1化为普通方程为 x2(y2)24，故曲线 C1的极坐标方程为 4sin ，同理可得曲线 C2的极 坐标方程为 8sin . 射线 与 C1的交点 A 的极径为 3 14sin 2， 3 3 射线 与 C2的交点 B 的极径为 3 28sin 4. 3 3 所以|AB|21|2. 3 1(2015陕西榆林一模，15C)在平面直角坐标系中，已知直线 l 与曲线 C 的参数方程分别为 l： (s 为参数)和 C：(t 为参数)，若 l 与 C 相交于 A，B 两点，则|AB|_. x1s，

33、y1s) xt2， yt2) 【解析】直线 l 的普通方程为 xy2， 曲线 C 的普通方程为 y(x2)2(y0)， 联立两方程得 x2 3x20，求得两交点坐标为(1，1)，(2，0)，所以|AB|. 2 【答案】 2 2(2015湖南株洲二模，12)已知直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为(t 为参数)以 xt3， y 3t) 直角坐标系 xOy 中的原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，圆 C 的极坐标方程为 24cos 3 0，则圆心 C 到直线 l 的距离为_ 【解析】将曲线 24cos 30 化成直角坐标方程为 x2y24x30，将直线 l 的参数方程 化为直角坐标方程 y(x3)，即xy30， 333 圆心(2，0)到直线 l 的距离是 d. 3 23 3 2 5 3 2 【答案】5 3 2 3(2015陕西宝鸡质检，15C)若直线(t 为参数，0且 )与圆 xtcos ， ytsin ) 2 ( 为参数)相切，则 _. x42cos ， y2sin ) 【解析】直线的普通方程为 yxtan ，即 kxy0，其中 ktan ，圆的普通方程为(x4)2y2 4，由于直线与圆相切，得2，解得 k，