高三数学总复习学案77

1、学案学案 77不等式选讲不等式选讲 (二)证明不等式的基本方法 导学目标导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩 法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式 自主梳理 1 三个正数的算术几何平均不等式 ： 如果 a， b， c0， 那么_， 当且仅当 abc 时等号成立 2基本不等式(基本不等式的推广)： 对于 n 个正数 a1，a2，an，它们的算术平均不 小于它们的几何平均，即，当且仅当_时等 a1a2an n n a1a2an 号成立 3二维形式的柯西不等式及推论：若 a，b，c，d 都是实数，则(a2b2)(c2d2)(a

2、c bd)2，当且仅当 adbc 时等号成立；|acbd|，当且仅当 adbc 时等号成a2b2c2d2 立；|ac|bd|，当且仅当_时等号成立a2b2c2d2 4证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其 基本思想是_与 0 比较大小或_与 1 比较大小 (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、_、_、性质等，经过一系列的推 理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法也叫顺推证法或由因导果法 (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的_条件，直至所需条件 为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性

3、质等)，从而得出要证 的命题成立为止，这种证明方法叫分析法也叫逆推证法或执果索因法 (4)反证法 反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性 质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛 盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法 反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾， 或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾 (5)放缩法 定义 ： 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值_或_，简化不 等式，从而达到证明的目的，我们把这种

4、方法称为放缩法 思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键 自我检测 1已知 Ma2b2，Nabab1，则 M，N 的大小关系为() AMN BMb0，p，q，那么()abab Apq Bpq CpQ 4已知 ab0，nN*，则使不等式 a2n成立的 n 的最大值为() 4 b2ab A4 B8 C10 D16 5(2011南阳月考)已知 a，b，c0，且 abc，设 M，N，则 M a 4a b 4b c 4c 与 N 的大小关系是_. 探究点一比较法证明不等式 例 1 已知 a0，b0，求证：. a b b a ab 变式迁移 1(2011福建)设不等式|2x1|b0，求证：0，

5、求证： a 2.a2 1 a2 2 1 a 转化与化归思想的应用 例 (10 分)已知 f(x)x2pxq.求证： (1)f(1)f(3)2f(2)2； (2)|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于 . 1 2 多角度审题 已知 f(x)，要证 f(1)f(3)2f(2)2，只须化简左边式子，看是怎样的形 式，然后才能视情况而定如何证明求证|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于 包括： 1 2 |f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中有一个大于等于 ，其余两个小于 ； 三个中有 2 个大于等于 ，另一 1 2 1 2 1 2 个小于 ；三个都大于等于

6、.如果从正面证明，将有 7 种情况需要证明，非常繁杂，可考虑 1 2 1 2 用反证法证明 【答题模板】 证明(1)f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2.2 分 (2)假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于 ， 1 2 则|f(1)|2|f(2)|f(3)|2；(2)将分子或分 (a 1 2) 3 4(a 1 2) 母放大(缩小)，如 ， (kN*且 k1) 1 k2 1 kk1 1 k2 1 kk1 1 k 2 k k1 1 k 2 k k1 等 (满分：75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 20 分) 1(2011烟台月考)已知 a、b、mR且

7、 ab，则() A. a b am bm B. a b am bm C. a b am bm D. 与间的大小不能确定 a b am bm 2(2010黄冈期中)设 a、bR，且 ab，ab2，则必有() A.ab1 Bab1 a2b2 2 a2b2 2 Cab1 D1ab a2b2 2 a2b2 2 3设 aR 且 a0，以下四个式子中恒大于 1 的个数是() a31；a22a2；a ；a2. 1 a 1 a2 A1 B2 C3 D4 4(2011保定调研)在下列不等式中，一定成立的是() A48aabba Ca3a2a1 D()m20，y0，lg 2xlg 8xlg 2，则 的最小值为_

8、1 x 1 3y 7设 xa2b25，y2aba24a，若 xy，则实数 a，b 应满足的条件为 _ 三、解答题(共 43 分) 8(10 分)已知 x，y，z 均为正数，求证： . x yz y zx z xy 1 x 1 y 1 z 9(10 分)(2011包头模拟)已知正数 a、b、c 满足 ab2c，求证： ca (xyz)x2xyy2y2yzz2z2zxx2 3 2 学案学案 77不等式选讲不等式选讲 (二)证明不等式的基本方法 自主梳理 1.2.a1a2an3.adbc 且 abcd04.(1)差商(2)公理定 abc 3 3 abc 理(3)充分(5)放大缩小 自我检测 1CMN

9、a2b2abab1 (2a22b22ab2a2b2) 1 2 (a22abb2)(a22a1)(b22b1) 1 2 (ab)2(a1)2(b1)20，当且仅当 ab1 时“”成立MN. 1 2 2Ap2q2ab2abab 2()0.pq.bba 3CQaxcy b x d y axcy(b x d y) abcdbcy x adx y P.PQ.abcd2 abcdabcd 4Bna2，b(ab) ( 20) 4 bab a2 4 ( a 2b) a2a228(a2，b1 时取“”) 4 bab 16 a2 a216 a2 即 a2的最小值为 8，nmax8. 4 bab 5MN 解析a，b

10、，c0，且 abc， M a 4a b 4b a 4ab b 4ba ab 4ab 设 f(x) (x0)，f(x)0， x 4x 4xx 4x2 4 4x2 即 f(x)在(0，)上为增函数， f(ab)f(c)，即，MN. ab 4ab c 4c 课堂活动区 例 1 解题导引不等式左、右两边是多项式形式，可用作差或作商比较法，也可用 分析法、综合法 证明() a b b a ab a3 b3 a bab ab ， a ba b2 ab 又0，0，()20，ababab ()0.故. a b b a ab a b b a ab 变式迁移 1解(1)由|2x1|1 得12x11， 解得 0x1

11、， 所以 Mx|0x1 (2)由(1)和 a，bM 可知 0a1,0b0， 故 ab1ab. 例 2 解题导引本例不等式中的 a、b、c 具有同等的地位，证明此类型不等式往往 需要通过系数的变化，利用基本不等式进行放缩，得到要证明的结论 证明a、b、c 均为正数， ， 1 2( 1 2a 1 2b) 1 2 ab 1 ab 当且仅当 ab 时等号成立； 同理：， 1 2( 1 2b 1 2c) 1 2 bc 1 bc 当且仅当 bc 时等号成立； ， 1 2( 1 2c 1 2a) 1 2 ca 1 ca 当且仅当 ac 时等号成立 三个不等式相加即得 ， 1 2a 1 2b 1 2c 1 b

12、c 1 ca 1 ab 当且仅当 abc 时等号成立 变式迁移 2证明x 是正实数，由基本不等式知， x12，1x22x，x312，xx3 故(x1)(x21)(x31) 22x28x3 xx3 (当且仅当 x1 时等号成立) 例 3 解题导引当要证的不等式较复杂，已知条件信息量太少，已知与待证间的联 系不明显时，一般可采用分析法分析法是步步寻求不等式成立的充分条件，而实际操作时 往往是先从要证的不等式出发， 寻找使不等式成立的必要条件， 再考虑这个必要条件是否充 分，这种“逆求” 过程能培养学生的发散思维能力，也是分析问题、解决问题时常用的思考 方法 证明欲证， ab2 8a ab 2 ab

13、 ab2 8b 只需证b0， 只需证， ab 2 2a a b 2 ab 2 2b 即1.欲证1， a b 2 a a b 2 b a b 2 a 只需证2，即.该式显然成立ababa 欲证 1， a b 2 b 只需证 2，即.该式显然成立babba 1成立，且以上各步均可逆 a b 2 a a b 2 b 0，只须证 22， ( a2 1 a22) (a 1 a 2) 从而只要证 2 ，a2 1 a2 2(a1 a) 只要证 42， (a 21 a2) (a 221 a2) 即 a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立 1 a2 课后练习区 1A 0， a b am bm abamab

14、bm bbm mab bbm . a b am bm 2C当 a0，b0 时，2ab2，0ab1；ab 当 ab0 时，ab1. 又(ab)2a2b22ab2，1，又 ab.选 C. a2b2 2 3A只有 a221，故选 A. 1 a2 4D取 ab1，显然有 444 48a 84b ( 4 8 ) 4161，4884，A 不成立； ( 1 2 ) abab， aabb abba ( a b ) ( b a )( a b ) 当 ab0 时， ab1， ( a b ) B 不一定成立； a3a2a1(a1)(a21)， 当 a1 时，C 不成立； ()272，5210 2(2 )272， ( 1 2 3) 312 ，又 m2m21，52 1 2 3 ()m2y，得 a2b252aba24a (ab1)2(a2)20，所以有 ab1 或 a2. 8证明因为 x，y，z 均为正数， 所以 ， x yz y zx 1 z( x y y x) 2 z 同理可得 ， ，(5 分) y zx z xy 2 x z xy x yz 2 y 当且仅当 xyz 时，以上三式等号都成立，将上述三个不等式两边分别相加，并除以 2， 得 .(10 分) x yz y